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Funzioni di due variabili - Coggle Diagram
Funzioni di due variabili
Derivate parziali: servono per determinare massimi e minimi di una funzione studiando il comportamento delle derivate parziali
Derivate parziali prime data una funzione z con dominio D e P0 interno a D. La derivata parziale di f rispetto a x / y nel punto P0 è il limite se esiste finito nel rapporto incrementale di f nel punto P0 per h che tende a 0 rispetto alla variabile x/y
Significato geometrico è il coefficiente angolare della retta r tangente a una curva (che fa parte di una superficie s, che rappresenta la funzione z) nel punto A appartenente alla superficie.
Derivabilità e continuità: L'esistenza delle derivate parziali (derivabilità della funzione) non è condizione sufficiente per la continuità di una funzione di due variabili
Piano tangente a una superficie: la sua equazione è z= f(x0,y0) + f'x (x0,y0)(x-x0) + f'y (x0,y0)(y-y0)
Differenziale: data la funzione z = fx,y, si chiama differenziale della funzione relativa al punto P0 interna al dominio dz=f'x(x0,y0) dx + f'y(x0,y0) dy
Derivate parziali seconde: calcolare derivata parziale rispetto a x delle derivate parziali prime rispetto a x e y e calcolare le derivate parziali rispetto a y delle derivate parziali prime rispetta a x e y
Teorema di Schwarz: se una funzione z ha derivate parziali seconde miste continue in un insieme aperto i, per ogni punto dell'insieme le derivate parziali miste sono uguali.
Massimi e minimi relativi: se z è una funzione definita in un insieme aperto D, P0 appartiene a D ed è un punto di massimo / minimo relativo per la funzione se per tutti i punti di un intorno di P0 incluso in D si verifica che z <= f(x0,y0) / z >= f(x0,y0). f(x0,y0) appartiene all'insieme immagine della funzione e si chiama massimo o minimo relativo.
Ricerca massimi e minimi relativi:
Con le derivate parziali se una funzione z è definita in un insieme D e P0 è un punto di massimo o minimo relativo del dominio, allora se esistono le derivate parziali prime sono uguali a 0
Condizione necessaria ma non sufficiente affinchè un punto sia di massimo / minimo
Con linee di livello: se le linee di livello tendono a ridursi a un punto C per valori crescenti / decrescenti di k, in C c'è un massimo / minimo relativo.
Punto stazionario: data una funzione f(x,y) definita in D, un punto interno a D è stazionario per f se nel punto f è derivabile con derivate parziali continue e entrambe le derivate parziali si annullano.
Punto di sella: punto stazionario che non è ne di massimo ne di minimo relativo.
Hessiano: determinante della matrice 2x2 H(x,y) = f''(x,x)
f''(yy) - (f''xy
f''yx). Facendo il calcolo in un punto (x0,y0) si ottiene un numero reale
Teorema Se P0(x0,y0) è un punto stazionario di f(x,y), continua e con derivate parziali continue allora
Se H > 0 e f''xx > 0, P0 è punto di minimo relativo
Se H < 0 P0 è punto di sella
Se H > di 0 e f''xx < 0, P0 è punto di massimo relativo
Se H = 0 e f''xx > 0, P0 non si pulò dire niente
Il teorema è condizione sufficiente
Massimi e minimi vincolati di una funzione z = f(x,y) soggetta al vincolo g(x,y)=0
Metodo di sostituzione:
Sostituire la variabile nella funzione z
Determinare massimi e minimi con il calcolo delle derivate parziali
Esplicitare una variabile del vincolo
Metodo del moltiplicatore di Lagrange L(x,y, lambda)=fxy + lambda * g(x,y).
Massimi e minimi assoluti
Teorema di Weierstrass: se una funzione z=f(x,y) è continua in un insieme limitato e chiuso A, ha massimo e minimo soluti in A.
Per trovare massimo o minimo assoluto
Determinare massimi e minimi vincolati (vincoli sono le equazioni delle curve che definiscono la frontiera di A)
Confrontare le quote dei punti trovati e scegliere il valore massimo / minimo
Determinare massimi e minimi liberi nel punto A