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Variables aleatorias y sus distribuciones, Variable aleatoria…
Variables aleatorias y sus distribuciones
Variable aleatoria unidimensional
Definición
Función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.
Tipos
Discreta:
toma un número finito de valores, y puede tomar un número infinito, siempre que este sea numerable.
Continuo:
siempre tomará un número infinito NO numerable de valores.
Probabilidad variables discretas
Función cuantía:
asignar a cada valor que tome la variable aleatoria la probabilidad que le corresponde. Teniendo en cuenta los requisitos:
La probabilidad asignada ha de ser siempre mayor o igual que cero.
0 ≤ P(xi) ≤ 1
El total de la probabilidad asignada a la suma de todos los valores ha de valer uno.
Σ P(xi) = 1
Función distribución:
asignar probabilidades a cada valor y a todos los valores que están a su izquierda, es decir, los que son menores que él.
La función de distribución de una variable aleatoria discreta
X
para un valor o punto concreto
x
, se representa por
F(x)
, y se define así:
F(x) = P(X ≤ x) = Σ P(X = xi)
Probabilidad variables continuas
Densidad de la probabilidad:
cociente entre la probabilidad asignada a ese punto y la amplitud del intervalo cuando éste tiende a cero. Da, desde un punto de vista conceptual, una indeterminación (0/0) que se resolverá tomando el número que corresponda a cada valor en cada problema en cuestión.
Probabilidad elemental
Definición:
probabilidad de que la variable tome valores comprendidos entre
x
y
x+dx
.
Fórmula:
Probabilidad elemental = f(x) dx = P(x ≤ X ≤ x + dx)
Métodos
Función densidad:
para cada valor
x
de una variable aleatoria continua
X
se representa por
f(x)
. Los dos requisitos que ha de cumplir
f(x)
para ser una función de densidad son:
f(x) ≥ 0
∫ f(x) dx = 1
Función distribución:
designada por
F(x)
, que es la probabilidad asignada a todos los valores que están a la izquierda de x (son menores que x). Se expresa como:
F(x) = (Px ≤ x) = ∫ f(x) · dx
Propiedades función de distribución
Relación entre densidad de probabilidad
f(x)
y función de distribución
:
F(x) = (Px ≤ x) = ∫ f(x) · dx
Variable aleatoria bidimensional