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FUNZIONE VALORE, QUANTITA' PROSPETTICHE, TEMPO CONTINUO, MODELLO DI…

- - - - W(k) = W(k-1) + Δ(k-1, k), specificando W(0) e l'incremento ad ogni k. Ad esempio, ponendo Δ=W(0)qu= Ru, costante, si ottiene di nuovo la legge lineare. Invece, Δ= (e^ru -1)W(k-1), si ottiene la legge esponenziale. Si può riscrivere ponendo Q = e^ru -1, e viene W(k) = G(1+ Q)^k.
  - - - esponenziale
        
        W(t) = Ge^rt ( = Ge^ruk ), che dipende dai parametri G e r. Nota Bene: W(k) - W(k-1) = QW(k-1), cioè gli incrementi crescono nel tempo. Rimane costante l'incremento percentuale Δ / W(k-1) = Q.
        
        limite continuo
        
        scrivendo l'incremento g(t',t)=e^r(t'-t) -1, per t'= t+dt, viene dW= W(t)rdt, che integrata e usando la condizione iniziale, da la legge esponenziale W(t)=W(t.)e^r(t-t.) = W(t.)(1+Q)^(t-t.)/u
        
        le equazioni alle differenze diventano equazioni differenziali, che si possono facilmente integrare. Le soluzioni delle edo sono proprio le leggi discrete originali.
      - lineare
        
        W(t) = G + Gqt ( = G(1+quk) ), che dipende dai parametri G e q. Gli incrementi rimangono costanti.
        
        limite continuo
        
        ΔW = W(t')- W(t) = W(0)q(t'-t) = R(t'-t) == g(t',t), con g incremento della legge lineare. Per t' = t+dt, viene dW = Rdt. Integrata, da W(t')-W(t)=R(t'-t), che rende la legge lineare, con una condizione iniziale: W(t)= W(t.) + R(t-t.)
    - - limite continuo
        
        derivando la trasformazione tra le due leggi, scrivendo l'incremento come cdt, viene dw = dlogW= dW/W = cdt, e si riottengono dw = Rdt e dW= rdWdt. La trasformazione mappa leggi e trasformazioni l'una nell'altra.
- - - - un'operazione definita dal flusso X è equa in t rispetto ad una data W se il suo valore equivalente in t è tale che V(t;X)=0.
- - - - allora v(t,s)= e^-∫δ(u)du, calcolato tra s e t, e m(t,s)=e^∫δ(u)du calcolato tra s e t
        
        Si può dare un modello di struttura a termine dei fattori di sconto, o dei tassi, attraverso δ, invece che W. Infatti, si possono esprimere v e m in termini di δ, per ogni t.
- - - - m, v, h, β e δ sono legate tra loro
      - si trova che il limite h(t, t'→t) è proprio δ(t), che viene a volte indicata con r(t), tasso spot istantaneo
        
        se δ(t)= r, costante, allora h(t,s)= r
        m(t,s)= e^r(s-t)
        W(s)= W(t)*e^r(s-t) che è la forma continua della legge esponenziale
        
        r della legge esponenziale è una intensità (monoperiodale) istantanea di tasso
        
        la legge costante corrisponde quindi ad uno schema di investimento istantaneo lineare al tasso r, disinvestimento con recupero degli interessi e reinvestimento istantaneo di tutto. In un tempo finito, questo corrisponde ad un tasso Q. Nota: r e Q non hanno le stesse dimensioni
        
        la legge finanziaria è scindibile
        
        un cambiamento di scala temporale u = g * u' che mantenga invariata la funzione valore comporta h' = g * h. Nel caso della legge esponenziale, vale che δ' = r' = g * r = g * δ
- - - - 1 + j₁(t,s) = (1 + jR-t(t,s))^1/(R-t) = (1 + js-t(t,s))^1/(s-t)
- - - - Nota Bene: tassi alti, prezzi bassi e viceversa. Inoltre, tanto più è lontana la scadenza, tanto più basso p il prezzo
  - - - (per incremento unitario) D misura la variazione percentuale di presso e quindi il tasso di rischiosità del titolo
        
        in futuro certo, la duration è più una misura di sensibilità. In futuro incerto invece la duration può essere utile.
    - - la duration è quindi il baricentro temporale di una struttura finanziaria.
        
        per esempio, per un BTP, data la cedola, più lontana è la scadenza, e7o più è grande il nozionale, più grande è rischioso il titolo
- - - - ogni TCNU è combinazione lineare dei titoli Xi pubblicati dal market maker. Ogni titolo del mercato Xi può essere visto come combinazione lineare dei TCNU. Quindi ogni titolo del mercato, inclusi quelli sintetici Z, è combinazione lineare dei titoli Xi del mercato.
  - - - se non se ne riescono a ricavare M, il mercato è incompleto
      - se si riesce a ricavare v per tutti gli M tempi, unica, il mercato si dice completo
        
        razionabilità e completezza implicano replicabilità
        
        assenza di arbitraggio e completezza implicano replicablità
        
        legame tra assenza di arbitraggio e razionalità
      - il mercato potrebbe non essere razionale anche se completo
        
        occorre controllare che v soddisfi i postulati 1 e 2
      - se v(t₀,s) non è unica, il mercato è incompleto
      - N titoli su M tempi. Il mercato è rappresentabile tramite una matrice X le cui righe sono i flussi , escluso il prezzo e un vettore colonna V le cui N righe sono i prezzi. V = vX
        Vi= somme per k che va da 1 a M di v(0,k)*Xik
        
        esistenza e unicità della soluzione (fattori di sconto) tramite teorema di Rouchè Capelli.
        
        se il rango di X coincide con il rango di X|V, esiste almeno una soluzione
        
        se X è quadrata di rango massimo, esiste un'unica soluzione, il mercato è completo
        
        se esistono più soluzioni, il mercato è incompleto
        
        se il rango di X è minore del rango di X|V, non esiste soluzione
        
        se eliminando una riga ammette soluzione, potrebbe indicare un titolo mal prezzato: occasione di arbitraggio
- - - - azioni decise preventivamente in t₀ sulle scadenze s, attuate in tempi successivi, che da origine a un flusso che si realizza lungo t
      - se il portafoglio non cambia da t₀ in poi, la strategia è detta statica (unica possibile nei mercati senza riaperture), altrimenti è detta dinamica. Nel futuro incerto si possono attuare anche strategie contingenti
- - - - nota: in un mercato futuro certo senza riaperture, la violazione del postulato 1) v<1 non è sfruttabile per arbitraggi. Per sfruttarlo, il mercato deve permettere la tesaurizzazione e la riapertura. Nemmeno la violazione del postulato 2) è sfruttabile per arbitraggi. E' sfruttabile in un mercato con futuro certo, con riaperture e dinamico (quota anche strutture future)
- - - - obbligazione semplice: il prestatore ha un uscita Y₀= -E in in t₀ ed una entrata C al tempo finale t₁, tale che C = E + I, dove I è l'interesse. Tra t₀ e t₁ il contratto può essere passato ad un terzo al prezzo P≠E (titolo finanziario circolante).
        
        E: prezzo di emissione, I: prezzo di cedola, C: valore di rimborso (detto facciale), P: prezzo di scambio
        
        se E = C, il titolo si dice "emesso alla pari", se P = C si dice che il titolo "quota alla pari"
        
        il tasso cedolare è I/C. Il tasso nominale per un titolo che stacca n cedole all'anno è n*I/C.
        
        il rateo A rappresenta il valore goduto al tempo T>t della cedola in corso dal tempo t e che sarà staccata al tempo s>T>t: A=I*(T-t)/(s-t)
      - obbligazione composta: flusso di entrate intermedio, a pagamento dei soli interessi, alla fine una restituzione del prestito più interessi. Tra t₀ e t₁ il contratto può essere passato ad un terzo al prezzo P≠E
      - TCN
        
        BOT: viene emesso sotto la pari e rimborsato al facciale C=100 euro. Breve durata (da 1 mese a un anno)
        
        CTZ: simile al BOT, ma durano 24 mesi e vengono tassati al rimborso
      - TCF
        
        BTP: emesso sotto o alla pari e rimborsato al facciale C=100 euro. Ha durate lunghe: da 2 a 50 anni. Stacca una cedola semestrale fissa, contrattata all'emissione, staccata anche al rimborso
        
        se un tcf quota alla pari (P=C), il suo TIR è il tasso cedolare I/C
      - TCI
        
        CCT: titolo a lunga scadenza (7 anni) che garantisce un flusso di cedole ad interesse variabile. La cedola semestrale indicizzata avrà un interesse legato al rendimento del BOT semestrale emesso precedentemente, più uno spread fisso.
        
        CCT viene prezzato alla pari (per rollover): investendo 1 euro in t, si ottiene 1+ j(t,T) in T. Si reinveste 1 in in T fino a s, e si ottiene 1+j(T,s) e allora il prezzo del CCT deve essere 1. Nota: la cedola non viene reinvestita.
        
        BTP indicizzati all'inflazione: cedole con interesse extra indicizzato al tasso di inflazione
  - - - è una forma di prestito emesso dalla banca. Si distingue dall'obbligazione per il modo in cui il capitale è rimborsato.
- - - - quando il prezzo raggiunto sul mercato è reso pubblico, il titolo si dice quotato
        
        il prezzo di scambio P è detto corso tel quel. Il valore S indicato come quotazione è detto corso secco. S = P - A
    - - quindi fissa anche il prezzo equo (spot)
        
        volendo prezzare per equità in t un qualsiasi titolo scambiato sul secondario, basta conoscere la curva dei tassi spot disponibile a t sul mercato (nota bene, i tassi i(0,t) sono espressi in base annuale). Dalla curva si ricavano i fattori di sconto naturali e quindi il valore equivalente
- - - - non lontano dai mercati reali: si trova un modello di mercato
- - - - (°) j(0,k) = I(0,k)/W(0)= quk= Ak (= qt), struttura lineare (A è il tasso uniperiodale del primo periodo)
      - j(k,k+1)= I(k,k+1)/W(k) = qu/(1+quk), i tassi uniperiodali cambiano ad ogni periodo)
    - - (°°) j(0,k) = I(0,k)/W(0)= (1+Q)^k-1, struttura esponenziale
        
        da cui si ottengono leggi per il tasso lordo J, il fattore montante m e il fattore di sconto v
      - j(k,k+1)= I(k,k+1)/W(k) = Q, costante
- - - - p=0, prestito immediato
      - h=p: rendita anticipata
      - h>p: rendita posticipata
      - p>0: prestito differito
      - condizione di chiusura: somme per k che va da 1 a n di Ck = s: il capitale è completamente rimborsato
    - - contratto equo a rate costanti (alla francese) di valore R a fronte di un prestito S, con p=0 e h=1, definita a figurato n al tasso Q la quantità a= v/(1-v)*(1-v^n)=(1-(1+Q)^-n)/Q, l'equità impone la relazione S=R*a
        
        quindi un contratto IM/PO a rate costanti è stabilito a condizioni eque:
        1) fissato n, Q e R, S = R*a
        2) fissato n, Q e S, R = S / a
        3) fissati n, S e R, si fissa Q di conseguenza
        4) fissati R, S, Q segue n (intero)
      - rendita perpetua: prestare S e non essere mai rimborsati, a patto di ricevere per sempre gli interessi sulla somma. Il contratto è equo se S=Ra= R*v/(1-v)= R/Q
      - rate non costanti: ricordare che sotto legge esponenziale, un contratto equo in un istante è equo in tutti gli istanti. Quindi se vale V(0;Y)=0, vale anche V(k;Y)=0, per ogni k=0,..,n+1.
        
        V(k;Y) distinto tra montante Mdi k(Y) del flusso che precede einclude X di k e il valore residuo D di k(Y) di quello che resta: V(k;Y) = Mk(Y)+ Dk(Y) = 0
        
        vale una relazione di ricorrenza per Mk, la cui condizione iniziale è data dalla condizione di equità in t=0
        
        si introducono due variabili accessorie: Ck = (Mk-1 - Mk) e Ik=Q*Mk-1=-QDk-1
        
        il valore della quota di interesse decresce nel tempo. Se il contratto è interrotto in k, Dk è il valore attuale di quando bisogna ancora restituire, esclusi gl interessi.
        
        il sistema si risolve per iterazione, partendo da M₀ si calcola I₁, da cui si calcola C₁, da cui si calcola M₁...
- - - - se v(T,s) è noto e accessibile (ci sono riaperture) allora si ha che -XT=v(t,s) / v(t,T) = v(T,s). Cioè la struttura deve essere scindibile.
        
        Il valore equivalente in T di Xs è V(T;Xs) = v(T,s)*Xs, quindi per Xs=1, si ha P(T,1s)=v(T,s)
        
        quindi V(t;Xs) = v(t,T)*XT = v(t,T)*v(T,s)*Xs = v(t,s)*Xs. Quindi vale la scindibilità: v(t,s) = v(t,T)*v(T,s)
        
        si definisce il fattore di sconto forward v(t,T,s)= v(t,s) / v(t,T), che fa corrispondere 1 euro in s al suo prezzo equo secondo v(t,s) da pagarsi in T. Definisce implicitamente lo spot futuro.
        
        si definisce la funzione valore equivalente forward di una posta Xs V(t,T;Xs) = v(t,T,s)*Xs**.
        
        si definisce anche il suo prezzo equo forward P(t,T;Xs)=v(t,T,s)*Xs.
        
        per t=T, v(T,T,s) =v(T,s) quindi P(T;Xs) = P(T,T;Xs). Quindi il prezzo forward stabilito in T è uguale al prezzo spot in T
        
        il prezzo trovato per equità è un prezzo di non arbitraggio
        
        richiedendone la linearità si può definire la funzione valore equivalente forward di un flusso futuro X di N poste ed il suo prezzo equo forward da pagare in T e stabilito in t.
        
        POSTULATI DI RAZIONALITA' per v(t,T,s)
        
        1F ) v(t,T,s)= v(t,s) / v(t,T) per t<T<s. Segue che v(t,T,s) è compreso tra 0 escluso e 1 incluso.
        
        le proprietà si possono ottenere per equità o si possono postulare
        
        non rispettare i postulati genera possibilità di arbitraggio
        
        2F) v(t,T,s) ≤ v(t,T,s') per s ≤ s'
        
        3F) v(t,T,s) ≤ v(t,T',s) per T ≤T'
        
        4F) linearità di V(t,T;Xs) nelle poste del flusso