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¿QUÉ ES UN ESPACIO VECTORIAL?, COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES - Coggle…
¿QUÉ ES UN ESPACIO VECTORIAL?
UN ESPACIO VECTORIAL ES UN CONJUNTO NO VACÍO V={U, V, W, ……}, CUYOS ELEMENTOS SON VECTORES. CON ELLOS SE REALIZAN ALGUNAS OPERACIONES IMPORTANTES, ENTRE LAS CUALES DESTACAN LAS SIGUIENTES:
MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO REAL Α POR UN VECTOR V: Α V QUE DA OTRO VECTOR Y QUE PERTENECE A V.
SUMA ENTRE DOS VECTORES U + V QUE DA COMO RESULTADO Z, EL CUAL PERTENECE AL CONJUNTO V.
PARA DENOTAR UN VECTOR USAMOS NEGRITA (V ES UN VECTOR), Y PARA LOS ESCALARES O NÚMEROS, LETRAS GRIEGAS (Α ES UN NÚMERO).
LA SUMA Y MULTIPLICACION
SUMA: U+V=(U1 U2)+(V1 V2) = (U1 +V1 U2 +V2)
MULTIPLICACION POR UN ESCALAR (NUMERO REAL): V = (V1 V2) =( V1 V2)
AXIOMAS Y PROPIEDADES DEL ESPACIO VECTORIAL
PARA QUE SE DÉ UN ESPACIO VECTORIAL, DEBEN CUMPLIRSE LOS SIGUIENTES OCHO AXIOMAS:
1. CONMUTABILIDAD: U +V = V +U
2. TRANSITIVIDAD: (U + V) + W = U + (V + W)
3. EXISTENCIA DEL VECTOR NULO 0 TAL QUE 0 + V = V
4. EXISTENCIA DEL OPUESTO: EL OPUESTO DE V ES (-V), YA QUE V + (-V) = 0
5. DISTRIBUTIVIDAD DEL PRODUCTO RESPECTO A LA SUMA VECTORIAL: Α (U + V) = ΑU +ΑV
6. DISTRIBUTIVIDAD DEL PRODUCTO RESPECTO A LA SUMA ESCALAR: (Α + Β)V = ΑV +ΒV
7. ASOCIATIVIDAD DEL PRODUCTO DE ESCALARES: Α (Β V) = (Α Β)V
8. EL NÚMERO 1 ES EL ELEMENTO NEUTRO, YA QUE: 1V = V
DEFINICIÓN DE BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL V
SEAN 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 UN CONJUNTO DE VECTORES DEL ESPACIO VECTORIAL V. SE DICE QUE UN CONJUNTO 𝐵 = 〈𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛〉 ES UNA BASE DEL ESPACIO VECTORIAL V SI:
1. 𝐵 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
POR LO QUE TODO VECTOR DE V SE PUEDE ESCRIBIR COMO COMBINACIÓN LINEAL ÚNICA DE LA BASE. ES DECIR, UNA BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL V ES UN CONJUNTO DE VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES QUE SON CAPACES DE GENERAR CUALQUIER VECTOR DE DICHO ESPACIO VECTORIAL V.
2. 𝐵𝑒𝑠𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑑𝑒𝑉→ 〈𝐵〉=𝑉
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
DEFINE LA DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL: LA DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL V (𝑑𝑖𝑚{𝑉}) ES EL NÚMERO DE VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE DICHO ESPACIO (O EL NÚMERO DE VECTORES QUE FORMAN UNA BASE DE V). SEA 𝑉 = 〈𝐵〉 , 𝐵 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} UNA BASE DE V (FORMADA POR N VECTORES), ENTONCES LA DIMENSIÓN DE V ES → 𝑑𝑖𝑚{𝑉} = 𝑛.
SIENDO 𝑛 → {𝑒𝑙 𝑛Ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚Í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉
𝑒𝑙 𝑛Ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚Á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉
COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO A UNA BASE
DEFINIR LAS COORDENADAS DE UN VECTOR V DE UN ESPACIO VECTORIAL V, RESPECTO A LA BASE B:
UN CONJUNTO 𝐵={𝑢1,𝑢2,…,𝑢𝑛 }⊂𝑉,
ES UNA BASE DE V SI Y SÓLO SI TODO VECTOR DE V SE PUEDE ESCRIBIR DE MANERA ÚNICA COMO COMBINACIÓN LINEAL DE LOS ELEMENTOS DE B.
𝑣 = 𝑢1𝛼1 + 𝑢2𝛼2 + ⋯ + 𝑢𝑛𝛼𝑛
A LOS ESCALARES 𝛼1, 𝛼2, . . , 𝛼𝑛 SE LES LLAMA COORDENADAS DEL VECTOR 𝑣 𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵.
Y ESTOS ESCALARES DE LA COMBINACIÓN LINEAL SON ÚNICOS (YA QUE TODO VECTOR DE V SE PUEDE ESCRIBIR DE FORMA ÚNICA COMO COMBINACIÓN LINEAL DE LOS ELEMENTOS DE B).
VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES
EL CONCEPTO DE VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y LINEALMENTE DEPENDIENTES: UN CONJUNTO 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 DE VECTORES PERTENECIENTES A UN ESPACIO VECTORIAL V, SON LINEALMENTE INDEPENDIENTE (O LIBRES) SI
𝑢1𝛼1 +𝑢2𝛼2 +⋯+𝑢𝑛𝛼𝑛 =𝛳 ⇒ 𝛼1 =𝛼2 = …=𝛼𝑛 =0 (𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖Ó𝑛𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙)
SI NO SE VERIFICA ESTO, ES DECIR SI EXISTE ALGÚN 𝛼𝑖 ≠ 0 TAL QUE ∑ 𝑢𝑖𝛼𝑖 = 𝛳, ENTONCES SE DICE QUE LOS VECTORES SON LINEALMENTE DEPENDIENTES O QUE FORMAN UN CONJUNTO LIGADO.
SUBESPACIOS
UN SUBESPACIO S DE UN ESPACIO VECTORIAL V ES UN SUBCONJUNTO NO VACO DE V QUE ES TAMBIEN UN ESPACIO VECTORIAL. ESTO IMPLICA QUE S DEBE SER CERRADO BAJO LAS OPERACIONES DE SUMA DE VECTORES Y DE MULTIPLICACION POR UN ESCALAR.
UN SUBCONJUNTO S DE UN ESPACIO VECTORIAL V ES UN SUBESPACIO DE V SI SE CUMPLEN:
SI U S YV S U+V S(SE CERRADO CONRESPECTO A LA SUMA)
0 S (ESTO GARANTIZA QUE S ES NO VACO)
SI U S U S ESCALAR (S ESCERRADO CON RESPECTO AL PRODUCTO POR UN ESCALAR
INDEPENDENCIA LINEAL
SEA V UN ESPACIO VECTORIAL. EL CONJUNTO NO VACO V1 V2 MENTE INDEPENDIENTE SI LA ECUACION 1V1 + 2V2 + + KVK =0 VK V
V ES LINEAL IMPLICA NECESARIAMENTE QUE TODOS LOS ESCALARES K SEAN NULOS: 1 = 2= = K=0
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
DEFINE COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES: SEAN 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 VECTORES PERTENECIENTES AL ESPACIO VECTORIAL V, Y SEAN LOS ESCALARES 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 ∈ R, LA EXPRESIÓN
𝑣=𝑢1𝛼1+𝑢2𝛼2+⋯+𝑢𝑛𝛼𝑛 =∑𝑢𝑖𝛼𝑖
SE DENOMINA COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛