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Espacios Vectoriales - Coggle Diagram
Espacios Vectoriales
Combinación Lineal
Definición
Se define como una expresión en la que un conjunto de vectores se multiplica por un conjunto correspondiente de escalares y, posteriormente, se suman.
Matemáticamente, si tenemos vectores v1, v2, …, vn y escalares a1, a2, …, an, la combinación lineal de estos vectores se puede escribir de la siguiente manera:
L = a1
v1 + a2
v2 + … + an * vn
Propiedades
Conmutatividad
La asociatividad de la suma de vectores implica que
v1 + v2 = v2 + v1.
Asociatividad
La combinación lineal es asociativa; es decir,
a1
(v1 + v2) = a1
v1 + a1 * v2.
Distributividad
La multiplicación de escalares es distributiva sobre la suma de vectores.
Unicidad
La combinación lineal de vectores produce un único vector para valores dados de escalares.
Representación gráfica
En un espacio bidimensional, cada vector puede ser visualizado como una flecha que parte del origen y se extiende hasta el punto que representa su magnitud y dirección.
Los vectores se dibujan desde el mismo punto, y las combinaciones lineales se obtienen al «sumar» estas flechas.
Si se representan los vectores v1 y v2, cualquier punto en el plano puede ser el resultado de su combinación lineal.
Elementos Claves
Vectores
Son entidades que tienen tanto magnitud como dirección.
Escalares
Números reales que se utilizan para multiplicar los vectores en la combinación lineal.
Espacio Vectorial
Conjunto de todos los vectores que pueden formarse mediante combinaciones lineales de un conjunto dado.
Aplicaciones
Matemáticas
Sistemas de ecuaciones lineales
En álgebra, el método de eliminación de Gauss utiliza la combinación lineal de vectores para resolver sistemas de ecuaciones.
Transformaciones lineales
Las transformaciones lineales en álgebra lineal se basan en la idea de combinaciones lineales.
Geometría analítica
Se utiliza para describir relaciones entre líneas y planos en el espacio.
Física
Esto puede ser crucial para resolver problemas de equilibrio o dinámicos en mecánica clásica.
Los vectores que representan cada fuerza se pueden analizar usando la combinación lineal para encontrar la resultante.
Informática
Gráficos por computadora
Los vectores son esenciales para representar imágenes y objetos tridimensionales. Las combinaciones lineales ayudan a calcular sombras, movimientos y transformaciones.
Aprendizaje automático
En el aprendizaje automático y redes neuronales, se utilizan combinaciones lineales para ajustar los parámetros y fórmulas a los datos.
Optimización
La optimización de recursos y algoritmos a menudo implica conjuntos de vectores y técnicas de combinación lineal.
Ejemplo
Consideremos dos vectores en un plano bidimensional:
v1 = (1, 2)
v2 = (3, 4)
Si deseamos formar una combinación lineal de estos dos vectores utilizando los escalares a1 = 2 y a2 = 3
Podemos realizar los siguientes cálculos:
L = 2
v1 + 3
v2
Esto se traduciría en:
L = 2
(1, 2) + 3
(3, 4) = (2, 4) + (9, 12) = (11, 16
)
Entonces, el vector resultante de la combinación es
(11, 16).
Subespacios Vectoriales
Definición
Un subespacio vectorial V de un espacio vectorial E sobre un campo K es un subconjunto no vacío de E que satisface las siguientes propiedades:
El subespacio vectorial contiene al vector nulo.
Es cerrado bajo la suma de vectores, es decir, si u y v pertenecen a V, entonces u + v también pertenece a V.
Es cerrado bajo la multiplicación por un escalar, es decir, si u pertenece a V y k es un escalar en K, entonces ku también pertenece a V.
Propiedades
La intersección de dos subespacios vectoriales es también un subespacio vectorial.
La suma de dos subespacios vectoriales es también un subespacio vectorial.
El espacio vectorial completo y el conjunto que contiene solo el vector cero son subespacios vectoriales.
Aplicaciones
Matemáticas:
son utilizados para representar relaciones lineales entre variables, lo que facilita la comprensión y el procesamiento de grandes conjuntos de datos.
Física:
son fundamentales en la teoría de campos y en la mecánica cuántica, donde representan los estados posibles de un sistema físico y las transformaciones que pueden experimentar a lo largo del tiempo.
Ejemplos
El espacio vectorial E en sí mismo, ya que cumple con todas las propiedades de un subespacio.
El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores dado en E, que también forma un subespacio.
El conjunto de todos los vectores en E que son ortogonales a un vector fijo dado, que forma un subespacio de dimensión n-1, donde n es la dimensión de E.
Independencia Lineal
Definición
Un conjunto de vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros.
Es decir, dado un conjunto de vectores
Estos son linealmente independientes si la única solución de la siguiente ecuación:
Son todos los coeficientes a_i iguales a 0:
Si el determinante de la matriz compuesta por las componentes de los vectores es diferente de cero, significa que el sistema de ecuaciones solo tiene una solución.
Características
Dimensionalidad
En un espacio vectorial de dimensión n, como máximo n vectores pueden ser linealmente independientes.
Combinación lineal única
Ningún vector en el conjunto puede ser representado como una combinación lineal de los demás.
Espacio vectorial
En cualquier espacio vectorial, el conjunto de vectores que forma una base del espacio es, por definición, un conjunto de vectores linealmente independientes.
Determinante no nulo
Para un conjunto de vectores representados como columnas de una matriz, si el determinante es diferente de cero, los vectores son linealmente independientes.
Ejemplo
Sean los vectores
Formamos la matriz
Calculamos el determinante
Como el determinante
no es cero
, los vectores son linealmente independientes.
Dependencia Lineal
Definición
Un conjunto de vectores libres del plano son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de otros vectores que forman el sistema.
Es decir, dado un conjunto de vectores
Estos son linealmente dependientes si existe alguna solución de la siguiente ecuación:
En la que algún coeficiente a_i es diferente de 0:
Si el determinante de la matriz compuesta por las componentes de los vectores es igual a cero, implica que el sistema de ecuaciones tiene más de una solución.
Características
Número de vectores
En un espacio de dimensión ( n ), si tienes más de ( n ) vectores, necesariamente serán linealmente dependientes.
Combinar vectores existentes
Si uno de los vectores puede ser expresado como una combinación de otros, eso ya indica dependencia.
Determinantes
Para vectores en R^n, si el determinante de la matriz formada por estos vectores es cero, el conjunto es linealmente dependiente.
Ejemplo
Sean los vectores
Formamos la matriz
Calculamos el determinante
Como el determinante
es cero
, los vectores son linealmente dependientes.
