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Idea Central: Resolución de Problemas, maxresdefault-1 - Coggle Diagram

- - - - Ejemplo: Si se busca calcular la masa, la función a integrar será la densidad ρ(x,y,z).
      - Considerar: Si la función es constante o variable, y si depende de las coordenadas.
    - - Ejemplo: Calcular el volumen de un sólido, encontrar el centro de masa de una lámina, determinar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie.
- - - - Cartesianas: Para regiones rectangulares o simples.
      - Cilíndricas: Para regiones con simetría cilíndrica.
      - Esféricas: Para regiones con simetría esférica.
    - - Proyecciones sobre los planos coordenados.
      - Descripción de la región en términos de las coordenadas elegidas.
    - - Iteración de las integrales.
      - Uso de software matemático si es necesario.
- - - - Cálculo de masa, centro de masa, momentos de inercia.
      - Ley de Gauss.
    - - Cálculo de volúmenes de sólidos irregulares.
      - Análisis de esfuerzos en estructuras.
    - - Geología, economía, etc.
  - - - Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución de carga.
      - Cálculo del momento de inercia de un cuerpo rígido.
      - Resolución de problemas de mecánica de fluidos.
    - - Ley de Gauss, ecuaciones de Maxwell, ecuación de Laplace.
  - - - Ejemplos:
        
        Cálculo del volumen de un depósito de agua con forma irregular.
        
        Análisis de esfuerzos en estructuras.
        
        Diseño de antenas.
      - Conceptos:
        
        Resistencia de materiales, mecánica de fluidos, teoría de control.
- - - - Visualizar la esfera.
      - Elegir coordenadas esféricas.
      - Determinar los límites de integración.
      - Calcular la integral triple.
      - Interpretar el resultado como la masa total de la esfera.
- - - - Ejemplos:
        
        Coordenadas cilíndricas: Para regiones con simetría cilíndrica (cilindros, conos).
        
        Coordenadas esféricas: Para regiones con simetría esférica (esferas).
        
        Coordenadas cartesianas: Para regiones rectangulares o simples.
    - - Criterio:
        
        Simplificar los límites de integración.
        
        Simplificar la expresión de la función a integrar.
      - Determinación de los Límites de Integración:
        
        Ejemplos:
        
        Esfera de radio R: 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π.
        
        Cilindro de radio R y altura h: 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ h.
        
        Técnica:
        
        Proyectar la región sobre los planos coordenados.
        
        Expresar los límites en términos de las nuevas variables.
        
        Cálculo de la Integral:
        
        Ejemplos:
        
        Utilizar el teorema de Fubini para iterar las integrales.
        
        Aplicar técnicas de integración como sustitución o integración por partes.
        
        Simplificaciones:
        
        Buscar simetrías para reducir el número de cálculos.
        
        Utilizar tablas de integrales o software matemático.
- - - - Sólidos sencillos: Cubos, esferas, cilindros.
      - Sólidos compuestos: Intersecciones de planos con esferas, cilindros dentro de esferas.
      - Regiones irregulares: Sólidos delimitados por superficies curvas.
    - - Software: GeoGebra, Mathematica, Maple para visualizar en 3D.
      - Dibujos a mano: Para una representación rápida y sencilla.
- - - - Densidad de un objeto: ρ(x,y,z) = k(x² + y² + z²)
      - Temperatura en un sólido: T(x,y,z) = x² + y² + z²
      - Concentración de una sustancia: C(x,y,z) = e^(-x²-y²-z²)
    - - Unidades: Asegurarse de que las unidades de la función sean consistentes con las del problema.
      - Dominio: Verificar que la función esté definida en toda la región de integración.