Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục - Coggle Diagram
Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục
Bài 17:
17.1. Hàm số liên tục tại một điểm
17.2 Hàm số liên tục trên một khoảng
17.3 Một số tính chất cơ bản
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim x→x0 f(x) = f(x0). Hàm số f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim x→a+ f(x) = f(a), lim x→b− f(x) = f(b).
Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞),… được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:
Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.
Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = √x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x0;
b) Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
Bài 15: Giới hạn của dãy số
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n→+∞ un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.
Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:
+) lim n→+∞ 1/n^k = 0 với k là một số nguyên dương;
+) lim n→+∞q^n = 0 nếu |q| < 1;
+) Nếu |un| ≤ vn với mọi n ≥ 1 và lim n→+∞ vn= 0 thì lim n→+∞ un =0.
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu lim n→+∞ (un-a) = 0, kí hiệu lim n→+∞un = a hay un → a khi n → +∞.
15.1.1 Dãy số có giới hạn là 0
15.1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Chú ý: Nếu un = c (c là hằng số) thì lim n→+∞un = c.
15.2.1 Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Nếu lim n→+∞un = a và lim n→+∞ vn = b thì:
lim n→+∞(un+vn) = a+b;
lim n→+∞ (un-vn) = a-b;
lim n→+∞ un/vn = a/b (nếu b ≠ 0).
b) Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim n→+∞un = a thì a ≥ 0 và lim n→+∞ căn bậc 2 un= căn bậc 2 a
lim n→+∞ (un.vn) = a.b;
Bài 16: Giới hạn của hàm số
lim x→x0 x^n=x^n0 với n ∈ ℕ.
lim x→x0 c = c với c là hằng số.
Chú ý:
16.1.2. Khái niệm giới hạn một bên
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu lim x→x0+ f(x) = L.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx→x0− f(x) = L.
limx→x0 f(x) = L thì L ≥ 0 và
b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b) \ {x0} và
limx→x0 = LM, nếu M ≠ 0.
lim x→x0 [f(x) . g(x)] =L.M;
lim x→x0 [f(x) - g(x)] =L-M;
lim x→x0 [f(x) + g(x)] =L+M;
a) Nếu lim x→x0 f(x) = L và lim x→x0 g(x) = M thì:
16.1.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 và xn → x0, ta có f (xn) → L, kí hiệu lim x→x0 f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0.
Chú ý:
limx→x0 f(x) = L khi và chỉ khi limx→x0+ f(x) = limx→x0− f(x) = L.
