Groupes et corps
Intérêt
Groupes
Corps
Nécessaire pour définir
Corps
Espaces Vectoriels
Étude des symétries
Physique
Chimie théorique
Définition d'un groupe
Pour qu'une structure soit un groupe, elle doit vérifier 2 conditions et 3 propriétés
commutatif
Remarques
Conditions
Propriétés
L'ensemble composant la structure doit être NON vide
la loi composant la structure doit être:
interne
partout définie
càd qu'elle doit être valable pour n'importe quel élément de l'ensemble
L'associativité
Admet un élément neutre
Chaque élément admet un symétrique
Le groupe est commutatif si la loi est commutative
Si la loi n'est pas commutative, alors le groupe est dit non commutatif
2 Propriétés d'unicité
SI la loi s'apparente à
Un groupe possède un unique neutre
Chaque élément d'un groupe possède un unique symétrique
Principe de démonstration: se déduit par la définition d'un groupe
L'addition
Le neutre est 0
Le symétrique est nommé l'opposé
La multiplication
Le neutre est 1
Le symétrique est nommé l'inverse
Exemples
3 e.g. Groupes commutatifs
2 e.g. Groupes non commutatifs
l'ensemble de matrice d'ordre n inversibles
L'ensemble des bijections muni de la loi de composition
4 Propriétés élémentaires
Simplificabilité
À droite
À gauche
Symétrique d'un produit
Solution d'une équation du type
