POLINOMI DI BERNSTEIN
COMBINAZIONE LINEARE
b=SUM alphajbj
bj € E^m
spazio affine
COMBINAZIONE BARICENTRICA: vincolo pesi
sum alphaj =1
COMBINAZIONE CONVESSA: vincolo aggiuntivo
alphaj>=0
se prendo una applicazione affine
lascio invariate le combinazione di questo tipo
phi(x)=Ax+c
come applicarla ad ogni punto e poi farne la combinazione baricentrica
CONVEX HULL
minima intersezione convessi che contengono tutti i miei punti
movimenti rigidi
applicazioni affini che lasciano invariate anche lunghezze ed angoli
NORMA
quantificare errore
FORME POLINOMI
implicita
PARAMETRICHE
esplicita
calcolo ordinate rispetto coordinate
soddisfare un equazione
x(y)=(x(t) y(t) z(t))^t
POLINOMI DI BERNSTEIN
Bi^n(t) =(n i) t^i (1-t)^(n-i)
TTn=<Bi^n(t)> spazio di dimensione n+1
al crescere di n decresce l'esponente di (1-t) ed aumenta quello di t
coefficienti calcolabili con triangolo di tartaglia
Proprietà
estremi
non negatività
partizione unità
simmetria
ricorsione
B0^n(0) vale 1 se e solo se i=0
Bn^n(1) vale 1 se e solo se i=n
binomio di newtin:
1=(t+(1-t))^n=sum Bi^n(t)
Bi^n(t)=B(n-i)^n(1-t)
(1-t)Bi^(n-1)(t) + t B(i-1)^(n-1) (t)
Derivata
(n i) t^(i-1) (1-t)^(n-i-1) (i-nt)
si annulla per t=i/n PUNTO DI MASSIMO
FORMULA RICORSIVA:
n [B(i-1)^(n-1) (t)-Bi^(n-1) (t)]
differenza di polinomi di grado n-1