Come disegnare un'ellisse

Nodo centrale: Disegno di un'ellisse nel piano cartesiano

1. Definizione di ellisse

  • Equazione cartesiana
  • Forma canonica: (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)
  • Relazione tra i semiassi: (a) (semiasse maggiore), (b) (semiasse minore)
  • Proprietà dell'ellisse
  • Somma delle distanze dai fuochi costante
  • Due fuochi (F_1) e (F_2)
  • Relazione tra assi e fuochi
  • (c^2 = a^2 - b^2), dove (c) è la distanza focale

2. Identificazione dei parametri

  • Semiassi
  • Determinazione di (a) e (b) (lunghezze di semiasse maggiore e minore)
  • Fuochi
  • Calcolo di (c) e individuazione delle coordinate dei fuochi
  • Se l'ellisse è centrata nell'origine:
  • (F_1(-c, 0)), (F_2(c, 0)) per ellisse con asse maggiore sull'asse (x)
  • (F_1(0, -c)), (F_2(0, c)) per ellisse con asse maggiore sull'asse (y)
  • Centro dell'ellisse
  • Coordinate del centro (origine o spostato)

3. Tracciamento dell'ellisse

  • Posizione dell'asse maggiore e minore
  • Se l'asse maggiore è parallelo all'asse (x)
  • Se l'asse maggiore è parallelo all'asse (y)
  • Punti chiave
  • Intersezioni con gli assi
  • ( (a, 0) ), ( (-a, 0) ) sull'asse (x)
  • ( (0, b) ), ( (0, -b) ) sull'asse (y)
  • Simmetria
  • Tracciare in modo simmetrico rispetto agli assi
  • Grafico dell'ellisse
  • Curve morbide e simmetriche
  • Verifica che la somma delle distanze dai fuochi sia costante

4. Risoluzione di problemi specifici

  • Ellisse traslata
  • Equazione dell'ellisse traslata: (\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1)
  • Spostamento del centro: ((h, k))
  • Rotazione dell'ellisse
  • Trasformazione dell’equazione se l’ellisse è ruotata rispetto agli assi principali

5. Conclusione

  • Verifica della correttezza grafica
  • Applicazioni pratiche
  • Ottica (proprietà dei fuochi)
  • Orbite ellittiche (in astronomia)