Números Pseudoaleatorios
2.4 Pruebas estadísticas para los números pseudoaleatorios
2.2.7 Algoritmos Congruenciales No Lineales
2.4.1 Prueba de Medias
2.3 Propiedades de los números pseudoaleatorios entre 0 y 1
Media de los aleatorios entre 0 y 1
Varianza de los números aleatorios
Independencia
Los números aleatorios no deben
tener correlación entre sí, es decir,
deben ser independientes.
Pueden dispersarse de manera uniforme dentro de todo el espectro de valores posibles.
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Todos los números deben tener la misma probabilidad de presentarse
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Su comportamiento muestre una Distribución de probabilidad uniforme continua
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Función de densidad
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Multiplicamos la función de densidad por x, integramos en todo el rango de la distribución
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Sustituimos los valores de a=0 ; b=1
Partimos de la misma distribución uniforme continua y obtenemos la varianza de la distribución
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Obtenemos:
Sustituimos los valores de a=0 ; b=1
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Por tanto:
PASOS
Una de las propiedades que se deben cumplir los numeros del conjunto ri, es que el valor esprado sea igual a 0.5.
- Se plantean dos hipotesis
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- Se calcula el promedio de los "n" números
- Calcular los límites de aceptación inferiro y superiro con las siguientes ecuaciones
Si el valor de r se encuentra entre los límites de aceptación, concluimos que no se puede rechazar que el conjunto r¡ tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de aceptación de 1 - a.
En caso contrario se rechaza que el conjunto r¡tiene un valor esperado de 0.5.
"Z" se determina por medio de la tabla de la distribución normal estándar
E(x^2) = valor esperado del cuadrado de x
EJEMPLO: Considere los 40 números del conjunto r. que se presenta a continuación, y determine si tienen un valor esperado de Vi con un nivel de aceptación de 95 por ciento.
Limite Superior: 0.589461351
Media: 0.43250
Limite Inverior: 0,410538649
se concluye que no se puede rechazar que el conjunto de 40 números
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APORTE IA
En una distribución uniforme en el intervalo [0, 1] los valores estan igualmente distribuidos, su promedio se sitúa en el punto medio del intervalo.
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APORTE IA
La varianza mide la dispersión de los valores respecto a la media, implica que los aleatorios están distribuidos sin una concentración significativa en una parte del intervalo
En la seción 2.2 se revisaron algoritmos para construir un conjunto r, pero ése es solo el primer paso, ya que el conjunto resultante debe ser sometido a una serie de pruebas para validar si los números que lo integran son aptos para usarse en un estudio de simulación
A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se emplean generalmente para determinar si un conjunto de números pseudoaleatorios entre cero y uno cumplen con las propiedades básicas de independencia y uniformidad.
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Media o valor esperado de la variable aleatoria X
f(X)=1 debido a que todos los valores tienen la misma probabilidad
Valor esperado del cuadrado de la distancia de los valores de X a su media
0.0833
Validar que el conjunto r, realmente está conformado por números aleatorios. Es importante mencionar que las pruebas que se discutirán no son únicas;
Banks
Carson
Nelson y Nicol
Tipos de Pruebas
Pruebas de distribución: Se usa para comprobar si los números generados siguen una distribución uniforme
Pruebas de Frecuencia: Evaluar si cada número aparece con la frecuencia esperada.
Pruebas de Corridas: Analizar la secuencia de números para detectar patrones no aleatorios.
Algoritmo de Blum, Blum y Shub
Pruebas de Autocorrelación: Evaluar la dependencia entre los números en la secuencia
Generadores de números pseudoaleatorios que utilizan una relación no lineal para calcular la secuencia de números generados
APORTE IA
Fórmula
Tipos de Pruebas
Prueba de Chi-Cuadrado: Compara la distribución observada de los números con la distribución esperada.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov: Evalúa la distancia entre la distribución acumulativa empírica y la teórica.
Pruebas de Diehard y TestU01: Conjuntos de pruebas estándar para evaluar generadores de números pseudoaleatorios.
En Simulación
f(Xn) = función no lineal
Algoritmo Congruencial Cuadrático
Xn+1 = siguiente número en la secuencia
mod m = operador módulo, número entero positivo
Funciones Cuadráticas
Funciones Polinomiales de mayor grado
Funciones Exponenciales
Combinaciones anterioes
Importancia
Mayor complejidad
Períodos más largos
Mejor distribución
Esenciales para realizar simulaciones de eventos aleatorios.
Evitar patrones
Fórmula
Función cuadrática
Mayor calidad de aleatoriedad en la secuencia de números generados.
Ejemplo
Xi+1 = Siguiente número en la secuencia
Xi = Número anterior en la secuencia
a, b, c, m = constantes enteras positivas
a= número par
c = número impar
N = m
período de vida máximo
APORTE IA
Fórmula
a= 1
b y c = 0
Mayor realismo
Propuesto en 1986 por los matemáticos Manuel Blum, Lenore Blum y Michael Shub, y está diseñado para ser un generador seguro bajo el supuesto de que la factorización de números grandes es computacionalmente difícil.
Ejemplo
APORTE IA
M = p*q
Números primos grandes
q ≡ 3 mod 4
p ≡ 3 mod 4
p = 11 (un número primo congruente a 3 módulo 4)
q = 19 (número primo congruente a 3 módulo 4)
Semilla inicial (X0) = 2
M = p * q = 209
X0 = número que no comparta factores primos con M
Integrantes
Hidalgo Caiza Ernesto Darío
López Barriga Melanie Lissette
Martínez Hidalgo Jean Pierre
Ocaña Castro Erick Alexis
Reflexión
Las herramientas de IA facilitan la comprensión de conceptos complejos como los algoritmos congruenciales no lineales, las propiedades de los números pseudoaleatorios y las pruebas estadísticas aplicadas a estos números. Al emplear simulaciones automáticas y generar ejemplos prácticos, la IA permite visualizar cómo se generan y distribuyen los números pseudoaleatorios entre 0 y 1, lo que refuerza el entendimiento teórico. Además, las pruebas estadísticas, como la prueba de medias, pueden ser implementadas y ejecutadas por la IA de manera eficiente, lo que ayuda a los estudiantes a validar la aleatoriedad de los números generados, facilitando un aprendizaje más práctico y accesible.
La inteligencia artificial se ha convertido en una herramienta invaluable para el aprendizaje de conceptos complejos como los algoritmos congruenciales no lineales y las propiedades de los números pseudoaleatorios. Al proporcionar visualizaciones interactivas, simulaciones a gran escala y aprendizaje personalizado, la IA nos permite explorar estos conceptos de manera más profunda y significativa.
Generar, a partir del algoritmo congruencial cuadrático, suficientes números enteros hasta alcanzar el periodo de vida, para esto considere los parámetros X0 = 13, m = 8 , a = 26, b = 27 y c = 27.
Como todas las condiciones estipuladas para los parámetros se satisfacen, es de esperarse que el periodo de vida del generador sea N = m = 8 , tal como podrá comprobar al revisar los cálculos correspondientes, que se presentan a continuación.
Números que no tienen comportamiento predecible