TM 4
Probabilitas & distribusi probabilitas:
Binomial, Poison
Konsep Dasar Probabilitas
Hukum/Asas Probabilitas
Distribusi Probabilitas
Contoh: probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinna suatu peristiwa akan terjadi
Pandangan Klasik/Intuitif
Dasar logika dari proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisis data sampel
Pandangan Empiris / Probabilitas Relatif
Teori peluang merupakan dasar dari statistik analitik karena dari sampel yang ada diperlukan langkah untuk generalisasi
Pandangan Subjektif
Probabilitas = Peluang untuk munculnya suatu kejadian (event)
Unsur Probabilitas
3 Peristiwa Dasar
Interaksi dua peristiwa A dan B
Komplemen peristiwa A
Union peristiwa A dan B
Himpunan semua elemen yang ada di dalam himpunan A maupun B, ditulis A u B
Himpunan semua elemen yang tidak ada di dalam A, ditulis Ac
Himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan juga B, ditulis A n B
Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi
Contoh
Pengambilan kartu:
Pelemparan dadu:
Probabilitas terambilnya kartu ‘As’ dari kartu yang ada adalah = 4/52
Probabilitas terambil kartu ‘Hati’ dari kartu yang ada adalah= 16/52
Probabilitas munculnya angka 6 dari pelemparan satu dadu adalah = 1/6
Probabilitas munculnya angka 3 atau 4 dari pelemparan dua dadu adalah = 1/6 + 1/6 = 2/6
Hubungan antara pandangan klasik dan empiris
Contoh
Berdasarkan observasi, pengalaman, pengamatan, atau kejadian (peristiwa) yang telah terjadi
Probabilitas Empirik
Dari 10.000 hasil produksi, 100 rusak P(rusak) = 1%
Distribusi relatif
Pelemparan 100x koin 59x keluar sisi A
P(A) = 59/100 = 59%
Jika diambil secara acak satu orang probabilitas untuk terambil satu orang yang punya upah 200-499 rb = P(200-499) = 0,3
P (E) = lim X / N
P (E) = lim X / N dan P (E) = lim X / N besarnya sama jika N tak terhingga
Jumlah kejadian yang muncul / Total observasi
Contoh
Probabilitas bayi BBLR untuk meninggal = 25/200
Probabilitas bayi BBLR untuk hidup = 175/200
Probabilitas bayi non BBLR untuk meninggal = 40/800
Probabilitas bayi non BBLR untuk hidup = 760/800
Kebenarannya sangat tergantung oleh yang membuat pernyataan
Kemungkinan untuk munculnya suatu kejadian diperkirakan berdasarkan asumsi-2 tertentu atau pengalaman subjektif dari seseorang
Ditentukan oleh pembuat pernyataan (dugaan)
Contoh
Seorang buruh meyakini kalau ada kesempatan untuk pendidikan lanjut, yang akan dikirim adalah dirinya (diyakini 95%)
Direktur RS menyatakan keyakitan 90% bahwa RS yang dipimpin akan dapat BEP 5 tahun ke depan
Titik Sampel
Peristiwa/Kejadian/Event
Ruang Sampel
Contoh
Himpunan yang elemen-elemennya merupakan hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen.
S = (a1, a2, a3, a4, … an)
Semua elemen yang ada di dalam suatu ruang sampel.
a1, a2, a3, a4, … an
Himpunan bagian dari suatu ruang sampel, ditulis dengan huruf besar A, B, dst dan dituliskan peristiwa yang mungkin muncul dalam hasil.
A = hasil yang diterima {a1, a3}
Hasil
Ruang sampel
Eksperimen
Peristiwa
pelemparan sebuah dadu
mata dadu yang tampak
S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
A titik ganjil yang tampak {1, 3, 5}
B titik genap yang tampak {2, 4, 6}
Hukum penjumlahan
Hukum perkalian
Hukum komplemen
Permutasi – Kombinasi
Nilai probabilitas suatu peristiwa antara 0 dan 1
0≤P(A) ≤1 atau P (X/N) : Positif
Misal: sehat – sakit
Peristiwa yang tidak terjadi dalam peristiwa A
Lawan peluang
Contoh
P(komplemen A) = P(tidak terjadinya A) = 1- P(A)
P (A') = 1-P (A)
P(BBLR) = 200/1000 = 0.2
P(BBLR') = 1 - P(BBLR)
= 1 - 0,2
= 0,8
Mutually Exclusive
Non Mutually Exclusive
Saling meniadakan, tidak ada irisan
Peristiwa saling terpisah (disjoint)
Satu peristiwa terjadi akan meniadakan peristiwa lain untuk terjadi
Rumus
Kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan
Contoh
P (A u B) = P (A) + P (B)
Kelahiran anak laki/perempuan pada ibu dengan kehamilan Tunggal
Permukaan dadu
Permukaan sebuah koin = saling meniadakan
Berapa peluang munculnya angka 3 atau 6?
P (3 atau 6) = (1/6) + (1/6) = 2/6
P (A n B) = 0
Contoh
Berapa peluang munculnya angka 3 dan 6?
0 (tidak mungkin)
Gabungan antar peristiwa
Rumus
Dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama)
Contoh
P (A u B) = P (A) + P (B) – P (A n B)
P (A n B) = P (A) x P (B)
Seorang laki-laki dan dokter
Terdapat 21 mahasiswa kesehatan masyarakat yang terdiri dari 2 kelompok (12 mahasiswa K3 dan 9 mahasiswa AKK). Dari 12 mahasiswa K3 (4 laki-laki, 8 perempuan), dan dari 9 mahasiswa AKK (3 laki-laki, 6 perempuan). Bila diambil seorang mahasiswa, hitung peluang:
Penarikan kartu as dan wajik
Yang terpilih mahasiswa K3 atau AKK
Yang terpilih mahasiswa K3 atau Perempuan
kasus mutually:
P (K3 atau AKK) = 12/21 + 9/21 = 1
:kasus non mutually:
P (K3 atau wanita) = 12/21 + 14/21 – (12/21 x 14/21)
P(A u B) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A n B) - P(AnC) - P(BnC) + P(A n BnC)
Golongan darah
Mutually Exclusive:
P (Gol. O atau B) = P(O) + P(B)
= 0.42 + 0.11 = 0.53
Non-Mutually Exclusive
P (Lk atau gol.O) = P(lk) + P(O) - P(lk dan O)
= 0.5 + 0.42 – 0.21 = 0.71
Kejadian Independent
Kejadian Non Independent
Tidak mempengaruhi peristiwa lain
Rumus
Untuk mengetahui probabilitas peristiwa joint (intersect = irisan) antara dua peristiwa
Contoh
Kejadian yang tidak saling berkaitan antara satu sama lain
Joint Probabilitas & Marginal Probabilitas
Kejadian bebas
P (A n B) = P (A) x P (B)
Kejadian Independent :
Prob (Lk dan gol.O) = (Prob. Lk x Prob. Gol. O)
= 0.5 x 0.42 = 0.21
Dalam kehidupan sehari-hari dua variabel yang elemennya join (kejadian joint / patungan / irisan / interaksi) bisa disusun dalam tabel kontingensi (tabel silang)
Conditional probabilitas (kejadian bersyarat)
Simbol peristiwa bersyarat = P (B|A), yaitu probabilitas B pada kondisi A
(prob.marginal x prob.marginal bukan sama dengan prob.joint)
Rumus
Kejadian yang saling berkaitan antara satu sama lain
Contoh
Kejadian tidak bebas
P (A n B) = P (A) x P (B|A)
P (A n B) = P (A|B) x P (B)
Kejadian non independent
P(Meninggal dan BBLR) = P(Meninggal | BBLR) P(BBLR)
= 25/200 200/1000 = 25/1000
P(Meninggal dan BBLR) = P(BBLR| Meninggal ) P(Meninggal)
= 25/65 65/1000 = 25/1000
Permutasi
Kombinasi
Jumlah susunan/parmutasi dari n objek, jika setiap kalinya diambil r objek adalah
nPr = n! / (n-r)!
Contoh
Suatu kumpulan objek yang memperhatikan urutan objek tersebut
(ABC disusun 2 huruf = 6 susunan parmutasi)
= AB, AC, BC, BA, CA, CB
P = jumlah permutasi
n = banyaknya objek
r = jumlah anggota pasangan
! = faktorial (3! = 3x2x1), 0! = 1, 1! = 1
Berapa banyak susunan password yang bisa dibuat dari angka 0-9 jika satu password terdiri dari 4 digit
Diketahui: n =10, r = 4
10P4 = 10! / (10-4)!
= 10! / 6!
= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 / 6x5x4x3x2x1
= 5.040
Jumlah susunan/kombinasi dari n objek, jika setiap kalinya diambil r objek adalah
nCr = n! / r! (n-r)!
Contoh
Suatu kumpulan objek yang tidak mempersyaratkan urutan objek tersebut
(Dari 3 buah buku A,B,C dipilih 2 buku = hanya ada 3 susunan kombinasi dari buku tersebut
= AB, AC, BC
C = jumlah kombinasi (yang urutannya tidak penting)
n = banyaknya objek
r = jumlah anggota pasangan
Dari 7 buku referensi Biostatistik, mahasiswa diwajibkan untuk membeli 3 buah buku, berapa banyak kombinasi buku yang bisa dipilih oleh mahasiswa?
Diketahui: n =7, r = 3
7C3 = 7! / (7-3)! x 3!
= 7! / (4! x 3!)
= 7x6x5x4x3x2x1 / 4x3x2x1 x 3x2x1
= 35
Data Diskrit:
Data Kontinu:
Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian akan membentuk distribusi probabilitas
Distribusi Binomial
Kunci aplikasi probabilitas statistik = memperkirakan terjadinya probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa dalam beberapa keadaan
Distribusi Poisson
Normal (Gauss / Z)
Binomial (Bernaulli)
Poisson
Student (“t” W Gosset)
Fisher (F)
Chi Square (X2)
Bernaulli memiliki 4 syarat
Dalam distribusi binomial, trial independent adalah setiap trial atau peristiwa bebas satu sama lain. Misal: trialnya adalah melemparkan (melambungkan) satu koin 5 kali, antara lambungan pertama, kedua, ketiga, sampai kelima adalah kejadian yang independen
Kedua outcome adalah independent
Rumus
Outcome dua hasil : Dikotomous (yes/no, positif/negatif, sukses/gagal)
Contoh
Penemu: James Bernaulli
1) Jumlah trial merupakan bilangan bulat
2) Setiap eksperimen mempunyai 2 outcome (hasil), yaitu sukses dan gagal
3) Peluang sukses sama setiap eksperimen
4) Setiap eksperimen independent satu sama lain
Kejadian disimbolkan b (x, n, p)
p dan q selalu konstan
P (x,n) = B = probabilitas munculnya x sukses dari n percobaan
n = jumlah percobaan
x = r = jumlah sukses
n-x = n-r = jumlah gagal
p = probabilitas sukses dalam setiap percobaan
q = 1 - p = probabilitas tidak sukses
Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari, di puskesmas Mawar ada 4 orang bayi. Hitung peluang bayi tersebut 2 orang belum diimunisasi polio.
Jawab:
Termasuk kejadian binomial
B (x=2, n=4, p=0,2)
B (x, n, p) = 4! / 2! (4-2)! x 0,22 x 0,82
= 4x3x2x1 / 2x1 x 2x1 x 0,04 x 0,64
= 0,154
Outcome = Jumlah kejadian per satuan waktu/keadaan
Sebagai perkiraan (approximate) dari distribusi binomial pada kejadian yang jarang terjadi (p < 0.1) dan n yang besar
Jika suatu kejadian dengan probabilitas p <<< dan menyangkut kejadian yang luas n >>>, maka distribusi binomial tidak mampu lagi menentukan peluang variabel diskrit tersebut
Contoh
Dalam distribusi binomial dihadapkan pada probabilitas variabel random diskrit yang jumlah trialnya kecil
Rumus
Di suatu gerbang tol dilewati ribuan mobil dalam satu hari akan terjadi kecelakaan dari sekian banyak mobil yang lewat
P (x) = probabilitas munculnya x sukses dari n percobaan
e = 2,7183
y = μ = m = n.p = rata-rata terjadinya suatu peristiwa
p = probabilitas sukses dalam setiap percobaan
x = variabel random diskrit (1, 2, …x)
Contoh
Probabilitas terjadi shok pada imunisasi meningitis dengan vaksin meningitis adalah 0,0005. di suatu kota, jumlah orang yang dilakukan vaksin sebanyak 4.000. hitung peluang tepat tiga orang akan terjadi shok
Diket: n = 4.000; p = 0,0005; x = 3
y = n.p = 4.000 x 0,0005 = 2
P (x=3) = 2^3 x 2,7183^-2 / 3x2x1
= 0,1804