A finalidade do Agravo em Recurso Especial e extraordinário é que uma decisão de inadmissão de um desses recursos seja apreciado pelo STJ e STF, respectivamente.
Exemplo: TJ ou TRF indefere admissão de recurso especial, ou seja, não deixa nem o recurso subir. Nesse caso deve ser interposto o Agravo em Recurso especial para que o STJ aprecie a questão de possibilidade de recurso mas não a respeito do objeto.
Diferente do agravo interno, este que tem a finalidade de recorrer de uma decisão monocrática (relator) que rejeita o recurso, para que essa pedido de admissão seja apreciado pelo colegiado. Ou seja, interno pois o mesmo tribunal irá apreciar.