TM 5
Distribusi Normal
dan
Distribusi Sampling

Distribusi Normal

Ciri Kurva Distribusi Normal

Model Matematik Distribusi Normal

Ciri Distribusi Normal

Standar Deviasi

Pentingnya Distribusi Normal

Standar Deviasi & Besar Sampel

Distribusi Normal

Distribusi Normal Standar

Pengertian Distribusi Normal

Contoh Distribusi Normal

Asal Usul Distribusi Normal

Distribusi Sampling

Perbandingan Populasi dan Distribusi Sampel

Distribusi Sampel

Distribusi Sampling

Statistik Sampel

Contoh

Untuk sampel yang cukup besar, kurva yang terbentuk dari distribusi juga simetris dengan ẋ tertentu dan Sd (simpangan baku) tertentu. Maka, kurva simetris yang terbentuk disebut kurva normal umum

Cari area (luas) di bawah kurva

Distribusi Normal

Data Diskrit

Data Kontinu

Abraham de Moivre pertama kali menguraikan tentang distribusi normal, dan dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss

Gauss mengamati hasil percobaan yang dilakukan berulang-ulang dan menemukan nilai rata-rata merupakan hasil yang paling sering

Nilai rata-rata dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran &
Semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error

Binomial (Bernaulli)

Poisson

Student ("t" W Gosset)

Fisher (F)

Normal (Gauss / Z)

Chi Square (X^2)

Penyimpangan ke kanan dan kiri yang makin jauh dari rata-rata makin sedikit terjadi, dan bila semua hasil disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris

Apabila populasi berdistribusi normal, maka akan lebih mudah melakukan pendekatan untuk menghitung peluang timbulnya gejala yang diharapkan.

Banyak digunakan dalam teori penaksiran, pengujian hipotesis, dan distribusi penyampelan


Distribusi Normal menggambarkan suatu fenomena dimana nilai mean, median, dan modus berimpit dan berada dipuncak kurva, sehingga membentuk kurva yang simetris.


Misal:
Serum kolesterol pada level >250 mg/dl akan meningkatkan risiko jantung koroner.

Fenomena distribusi normal (var.kontinyu):

Jika diketahui suatu variabel berdistribusi normal: akan lebih mudah melakukan inferensi seberapa sering kejadian akan terjadi

Serum kolesterol

Suhu tubuh

Tinggi badan

Dari batasan ini kita bisa menentukan dengan menambahkan 2 standar deviasi yang harus menerima obat, yang lain tidak memerlukan pengobatan

Probabilitas pasien yang akan menerima pengobatan

Distribusi normal memiliki beberapa sifat yang memungkinkan untuk digunakan sebagai pedoman dalam menarik kesimpulan berdasar hasil sampel

Meskipun distribusi normal merupakan distribusi teoritis, tetapi sangat sesuai dengan distribusi empiris: semua peristiwa secara alami akan membentuk distribusi ini

Titik belok m +/-σ

Luas di bawah kurva (probability) = 1

Seperti lonceng (bell shape)

Nilai mean, median, modus terletak pada satu titik

Bentuk distribusi simetris, ditentukan oleh standar deviasi

Kurva normal dibentuk dari jumlah pengamatan yang sangat banyak

Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak

Event yang dihasilkan bersifat independen

Disusun dari variabel random kontinyu

Ukuran persebaran nilai sampel di sekitar nilai rata-rata

As sample size increases, so SD decreases

click to edit

Transformasi Z

Mempunyai m = 0 dan s = 1

Contoh

Oleh karena itu, harus ditentukan satu distribusi normal standar sebagai pegangan

Tetapi kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama

Kurva distribusi normal bukan satu

Probabilitas kurva normal umum
N (m, s )

Probabilitas kurva normal standar
N (m = 0, s = 1 )

Untuk dapat menghitung probabilitas dalam kurva normal, nilai yang akan dicari di transformasikan dulu ke nilai kurva normal melalui transformasi Z, yaitu:


Transformasi Z
(deviasi relatif)

Rumus

image

image

image

image

image

Nilai mahasiswa berdistribusi normal dengan rata-rata=5, dan standar deviasi=10.

  1. Jika nilai di atas 6,2 diberi nilai A-.
  • Hitung nilai transformasi Z dan berapa% mahasiswa yang mendapat nila A-?
  1. Jika nilai di bawah 3,8 diberi nilai C-.
  • Hitung nilai transformasi Z dan berapa% mahasiswa yang mendapat nila C-?

image

Z = X - m / o = 3,8 - 5 / 10 = -0,12

Lihat tabel Z arsir pinggir

  • Di tabel lihat yang z=0,12  0,0478
  • Perhitungannya untuk probablilitas di soal adalah sesuai dengan arsiran pada kurva
  • P ( z > 0,12) = 0,5 – 0,0478 = 0,4522 = 45,22%
  • 45% mahasiswa dapat nilai A-

Lihat tabel Z arsir pinggir

  • Di tabel lihat yang z=0,12  0,0478
  • Perhitungannya untuk probablilitas di soal adalah sesuai dengan arsiran pada kurva
  • P ( z < -0,12) = 0,5 – 0,0478 = 0,4522 = 45,22%
  • 45% mahasiswa dapat nilai C-

Contoh Aplikasi Distribusi Normal

1 dan 0 = 0,3413

0 dan 1,5 = 0,4332

0 dan 1 = 0,3413

-1,5 ; 0 ; 1,5 = 0,4332 x 2 = 0,8664

Diketahui bahwa nilai mahasiswa Mata Kuliah Biostat Kelas 3B berdistribusi normal dengan nilai rata-rata sebesar 75 dan simpangan baku (SD) sebesar 10.

  • Hitunglah probabilitas mahasiswa akan mendapatkan nilai sebagai berikut:
    a. Kurang atau sama 60
    b. 90 atau lebih
    c. Antara 65 sampai 85
    d. 65 atau lebih
    e. Bila ditentukan bahwa ada sebesar 15% mahasiswa (dg nilai tertinggi) akan mendapatkan nilai A, maka hitunglah pada nilai terendah berapa mulai diberikan nila A tersebut?

Z = X - m / o = 90 - 75 / 10 = 1,5

Z1 = 85 - 75 / 10 = 1,0 Z2 = 65 - 75 / 10 = -1,0

Z = X - m / o = 60 - 75 / 10 = -1,5

Z = X - m / o = 65 - 75 / 10 = -1,0

1035 = X - 75 / 10 10,35 = X - 75
X = 85,35

Lihat tabel Z arsir pinggir

  • Di tabel lihat yang z=0,15 : 0,4332
  • P ( z ≤ -1,5) = 0,5-0,4332 = 0,0668 = 6,68%
  • 6,68% mahasiswa dapat nilai kurang dari 60

Lihat tabel Z arsir pinggir

  • Di tabel lihat yang z=0,15 : 0,4332
  • P ( z ≥ -1,5) = 0,5-0,4332 = 0,0668 = 6,68%
  • 6,68% mahasiswa dapat nilai lebih dari 90

Ringkasan tersebut berubah-ubah dari satu sampel ke sampel yang lain

Misal,
Dari populasi N=1000 & rata-rata umur=24
Diambil sampel 5 kali dengan n=30
Masing-masing sampel akan menghasilkan nilai rata-rata umur yg berbeda : ada 5 nilai rata-rata

Setelah data diperoleh : Ringkasan dari data tersebut : Statistik

Distribusi sampel adalah distribusi dari rata-rata sampel yang mungkin terambil dari suatu populasi

Nilai estimasi masing-masing sampel jika disatukan akan membentuk distribusi sampel

Distribusi sampel adalah distribusi dari rata-rata atau proporsi sampel yang diambil secara berulang-ulang (n kali) dari populasi

Sifat-sifat dari distribusi sampel tersebut dikenal dengan Central Limit Theorem
(Teorema Limit Pusat)

image

Standar deviasi dari rata-rata sampel, = sama dengan standar deviasi populasi (σ) dibagi dengan akar jumlah sampel. Dikenal dengan istilah Standard Error (SE)

image

Bentuk distribusi dari rata-rata sampel akan mendekati distrbusi normal meskipun distribusi populasi tidak normal.

D12C4A93-2074-4E21-AEA7-2A58EBD2702C

image

image

Distribusi probabilitas individu

image

image

Distribusi probabilitas rata-rata sampel

Distribusi probabilitas proporsi sampel

  1. Suatu populasi orang sakit memiliki rata-rata kadar asam urat 8,0 mg dan standar deviasi 2 mg.
    a. Apabila dari populasi tersebut diambil sampel sebanyak 25 orang, Hhitunglah berapa kemungkinanya nilai rata-rata kadar asam uratnya berkisar antara 7,8 sd 8,2 mg : (38%)
    b. Bila jumlah sampel yang diambil adalah 100 orang, berapa kemungkinannya nilai rata-rata asam uratnya berkisar 7,8 sd 8,2 : (68%)

image

image

Sampling distribution & standardized normal distribution