El término "amplificador operacional" (amp op) fue introducido por John R. Ragazzini en 1947 para describir un amplificador capaz de realizar diversas operaciones matemáticas, como amplificación, suma, resta, diferenciación e integración, dependiendo de los componentes externos utilizados. Inicialmente, los amp op se emplearon en computadoras analógicas, aprovechando su alta ganancia combinada con retroalimentación negativa.

Los primeros amplificadores operacionales usaban tubos de vacío, lo que los hacía voluminosos, ineficientes energéticamente y costosos. La miniaturización significativa se logró con la introducción del transistor bipolar de unión (BJT), que permitió el desarrollo de amplificadores con BJT discretos. Sin embargo, el avance más notable fue el desarrollo del amplificador operacional de circuito integrado (CI), fabricado de manera monolítica en un chip de silicio. Robert J. Widlar, en Fairchild Semiconductor Corporation, fue quien desarrolló el primer amp op de CI en los años sesenta. En 1968, Fairchild lanzó el modelo μA741, que se convirtió en el estándar de la industria y sigue siendo popular, pese a la aparición de dispositivos más avanzados.

FUNDAMENTOS DE LOS AMPLIFICADORES

Antes de estudiar el amplificador operacional, es útil repasar los conceptos de amplificación y carga. Un amplificador es un dispositivo de dos puertos que recibe una señal de entrada y genera una señal de salida, de acuerdo a la fórmula: salida = ganancia × entrada. La ganancia es una constante de proporcionalidad. Los amplificadores que siguen esta relación se denominan amplificadores lineales, diferenciándolos de aquellos con relaciones no lineales, como los amplificadores cuadráticos o logarítmicos. Por defecto, "amplificador" se refiere aquí a un amplificador lineal.

Un amplificador recibe su señal de entrada desde una fuente y entrega su señal de salida a una carga. El tipo de amplificador más común es el de voltaje, donde tanto la entrada (Vi) como la salida (Vo) son voltajes. Cada puerto del amplificador puede modelarse mediante un circuito equivalente de Thévenin. El puerto de entrada se modela con una resistencia de entrada Ri, mientras que el puerto de salida se representa con una fuente de voltaje controlada por voltaje (VCVS) y una resistencia en serie Ro, lo que determina el factor de ganancia de voltaje, expresado en voltios por voltio. La fuente de entrada y la carga de salida también se modelan con equivalentes de Thévenin, representados por una fuente Vs con una resistencia en serie Rs y una resistencia de carga Rl, respectivamente

Una expresión para Vo en términos de Vs:

En ausencia de carga (Rl=∞) Vo=AocVi
Aoc se llama la ganancia de voltaje del circuito sin carga, o de circuito abierto.

Al eliminar Vi y reacomodar los términos, se obtiene la ganancia de la fuente a la carga

Conforme avanza la señal de la fuente a la carga, primero pasa por algo de atenuación en el puerto de entrada, luego se amplifica en Aoc dentro del amplificador, y por último se atenúa más en el puerto de salida.

El proceso de carga en un amplificador no es deseable, ya que afecta la ganancia conjunta al hacerla depender de la fuente de entrada y la carga de salida, además de reducir la ganancia. Este proceso ocurre porque la resistencia de entrada Ri causa una caída de voltaje en la resistencia de la fuente Rs, lo que reduce el voltaje de entrada Vi. De manera similar, en la salida, la caída de voltaje en Ro reduce la magnitud de Vo, que sería menor que el valor teórico dependiente de la fuente AoVi.

El amplificador de corriente es otro tipo popular de amplificador. En este caso, se trabaja con corrientes, por lo que tanto la fuente de entrada como el amplificador se modelan utilizando equivalentes de Norton. La ganancia de este tipo de amplificador se describe mediante una fuente de corriente controlada por corriente (CCCS, por sus siglas en inglés), cuyo parámetro Asc se denomina ganancia de corriente sin carga o de cortocircuito. Usando la fórmula del divisor de corriente dos veces, es posible calcular la ganancia de corriente desde la fuente hasta la carga.

formulacion

El proceso de carga también ocurre en el amplificador de corriente, tanto en la entrada, donde se pierde parte de la corriente is a través de Rs reduciendo iI,como en la salida, donde parte de la corriente AsciI se pierde a través Ro. Esto resulta en que la corriente de salida io siempre sea menor o igual a |Asc|. Para evitar este proceso de carga, en un amplificador de corriente ideal Ri=0 y Ro=∞, lo contrario a un amplificador de voltaje ideal.

Un amplificador que convierte un voltaje de entrada Vi en una corriente de salida io se denomina amplificador de transconductancia, con una ganancia medida en amperios por voltio (unidades de conductancia). En este caso, la fuente dependiente en el puerto de salida es una fuente de corriente controlada por voltaje (VCCS) de valor AgVi.Un amplificador de transconductancia ideal tiene Ri=∞ y Ro=∞ para evitar el proceso de carga.

El amplificador operacional (amp op) es un amplificador de voltaje con una ganancia extremadamente alta. Por ejemplo, el popular amp op 741 tiene una ganancia típica de 200,000 V/V, equivalente a 200 V/mV, o 106 dB cuando se expresa en decibeles. El modelo OP-77, más avanzado, tiene una ganancia de 12 millones (12 V/μV), lo que equivale a 141.6 dB. Lo que distingue a los amplificadores operacionales de otros amplificadores de voltaje es precisamente su alta ganancia. De hecho, un amp op ideal tendría una ganancia infinitamente grande, lo que es deseable porque, como se verá en circuitos prácticos, una mayor ganancia mejora el rendimiento del amplificador.

La figura 1.3a muestra el símbolo del amplificador operacional, con sus conexiones de suministro de energía necesarias para su funcionamiento. Sus entradas se identifican como inversora ("-") y no inversora ("+"), cuyos voltajes con respecto a tierra se denotan como Vn y Vp, respectivamente, mientras que el voltaje de salida se denota como Vo. La flecha en el símbolo indica el flujo de la señal desde la entrada hacia la salida.

Los amplificadores operacionales (amp op) no tienen una conexión directa a tierra de 0 V. En su lugar, la referencia a tierra se establece externamente a través del suministro común de energía. Los voltajes de suministro se suelen denotar como Vcc y Vee. generalmente con valores de ±15 V, aunque otros valores también son posibles. En los diagramas de circuitos, es habitual no mostrar las conexiones de energía para simplificar el diseño, pero es crucial recordar que al construir un amp op en el laboratorio, es necesario suministrarle energía para que funcione.

La figura 1.3b presenta el circuito equivalente de un amplificador operacional correctamente alimentado. Aunque el amp op en sí no tiene una conexión a tierra, el símbolo de tierra en su circuito equivalente representa el suministro común de energía mostrado en la figura 1.3a. El circuito equivalente incluye la resistencia diferencial de entrada (rd), la gananacia de voltaje (a) y la resistencia de salida (ro), rd,a y ro, se conocen como parámetros de lazo abierto.

La diferencia se llama voltaje diferencial de entrada:

y la ganancia (a) también se llama ganancia sin
carga, porque en ausencia del proceso de carga de salida se tiene que

Dado que ambas terminales de entrada del amplificador operacional pueden tener potenciales independientes con respecto a tierra, se dice que el puerto de entrada es de tipo doblemente terminado. En contraste, el puerto de salida es de tipo de terminado sencillo. La ecuación muestra que el amplificador operacional responde únicamente a la diferencia entre los voltajes de entrada, y no a los valores individuales de estos voltajes. Por esta razón, los amplificadores operacionales también se conocen como amplificadores diferenciales.

Si se invierte la ecuación

Para minimizar el proceso de carga, un amplificador de voltaje bien diseñado debe garantizar que la corriente desde la fuente de entrada sea insignificante (idealmente cero) y que la resistencia presentada a la carga de salida sea despreciable (idealmente cero). Los amplificadores operacionales (amp op) siguen esta regla, y se define al amplificador operacional ideal como un amplificador de voltaje con una ganancia de lazo abierto infinita.

Sus condiciones ideales en las terminales son

donde ip e in son las corrientes establecidas por las entradas no inversora e inversora

Cuando la ganancia (a) del amplificador operacional tiende al infinito, se observa que el voltaje de salida Vo tiende a cero, dado que Vo/∞ tiende a 0. Este resultado puede causar confusión, ya que parece contradictorio que un amplificador con una entrada igual a cero pueda mantener una salida distinta de cero.

En la práctica, los amplificadores operacionales reales se desvían del modelo ideal, por lo que el modelo mostrado en la figura 1.4 es más conceptual. Sin embargo, este modelo ideal se utilizará al inicio para simplificar el estudio y enfocarse en el papel del amplificador operacional sin preocuparse por los efectos del proceso de carga. Una vez que se haya adquirido suficiente conocimiento y confianza, se debe pasar al modelo más realista de la figura 1.3b para verificar la validez de los resultados. Se descubrirá que los resultados obtenidos con ambos modelos, el ideal y el real, suelen estar en concordancia, demostrando que el modelo ideal, aunque conceptual, es útil y no solo una curiosidad académica.

CONFIGURACIONES BÁSICAS DE AMP OP

Cuando se conectan componentes externos alrededor de un amplificador operacional, se forma lo que se denomina un "circuito amp op". Es importante distinguir entre un "circuito amp op" y el "amplificador operacional" solo. El amplificador operacional es simplemente un componente dentro del circuito, al igual que los otros componentes externos que se conectan a él. Los circuitos amp op más básicos incluyen el amplificador inversor, el amplificador no inversor y el buffer.

El circuito mostrado en la figura 1.6a consiste en un amplificador operacional y dos resistores externos. Para entender su función, es necesario determinar la relación entre Vo y Vi. Para ello, se redibuja el circuito en la figura 1.6b, donde el amplificador operacional se reemplaza por su modelo equivalente y la malla resistiva se reorganiza para resaltar su papel en el circuito.
Para encontrar Vo,
se puede utilizar la ecuación

sin embargo, primero es necesario obtener expresiones para Vp y Vn, por inspección se puede deducir que:

Al emplear la fórmula de división del voltaje, se llega a ó

El voltaje Vn representa la fracción de Vo que se retroalimenta a la entrada inversora, por tanto, la función de la malla resistiva es crear retroalimentación negativa alrededor del amp op.
si
entonces

Al simplificar términos y despejar la razón Vo/Vi, que se llamara A, reordenamos y tendremos:

El resultado muestra que el circuito de la figura 1.6a, que incluye un amplificador operacional y un par de resistores, actúa como un amplificador con una ganancia A. Dado que A es positiva, la polaridad de Vo coincide con la de Vi, lo que caracteriza al circuito como un amplificador no inversor.
La ganancia A del circuito amplificador y la ganancia a del amplificador operacional básico son muy diferentes. Esto se debe a que, aunque ambos amplificadores tienen la misma salida Vo, tienen entradas distintas: Vi para el primero y Vd para el segundo.
Para resaltar esta diferencia, se denomina a como ganancia de lazo abierto, y A como ganancia de lazo cerrado. Esta denominación se debe a que el circuito amplificador contiene un lazo. En la figura 1.6b, se puede trazar un lazo desde la entrada inversora del amplificador operacional, siguiendo el sentido de las agujas del reloj a través del amplificador y luego a través de la malla resistiva, regresando al punto de partida.

si en la ecuacon la a tiende a infinito se llega a una ganancia de lazo cerrado a la que se hará
referencia como ideal:

En este límite, la ganancia A del circuito se vuelve independiente de la ganancia a del amplificador operacional, y su valor queda determinado únicamente por la razón entre las resistencias externas, R2/R1. Esto explica por qué se busca que a tienda a ∞, ya que al hacerlo, se logra que la ganancia de lazo cerrado dependa únicamente de esta relación de resistencias.
Esta característica ofrece grandes ventajas para el diseñador, ya que facilita ajustar la ganancia del circuito a las necesidades específicas de una aplicación, brindando mayor control y predictibilidad.

otra ventaja de la ecuacion es que la ganancia A de un circuito amplificador puede ser tan precisa y estable como se desee, utilizando resistores de calidad adecuada. De hecho, no es necesario que los resistores individuales sean de alta calidad, sino que su relación lo sea. Por ejemplo, si dos resistencias mantienen una razón constante a pesar de las variaciones de temperatura, la ganancia A será independiente de las fluctuaciones térmicas.
Esto contrasta con la ganancia a del amplificador operacional, que depende de los componentes internos como resistores, diodos y transistores, lo que la hace sensible a cambios de temperatura, envejecimiento y variaciones en la fabricación. Este principio demuestra una de las características más notables de la electrónica: la capacidad de diseñar circuitos de alto rendimiento utilizando componentes que, de manera individual, no son perfectos.

desventajas:
El "precio" por obtener una ganancia de lazo cerrado estable y precisa es la reducción de la ganancia de lazo abierto a. En otras palabras, se sacrifica parte de la alta ganancia intrínseca del amplificador operacional para estabilizar la ganancia del circuito amplificador final. Este sacrificio es beneficioso, especialmente considerando las ventajas de los amplificadores operacionales integrados (CI), que permiten obtener altas ganancias de lazo abierto de manera eficiente y económica en la producción en masa. Por lo tanto, el compromiso entre ganancia y estabilidad es favorable para aplicaciones prácticas.

Como se ha demostrado, el circuito del amplificador operacional (amp op) de la figura 1.6 es en sí mismo un amplificador. Además de la ganancia A, también presenta resistencias de entrada y salida, las cuales se designarán como Ri y Ro, respectivamente, y se denominarán resistencia de entrada de lazo cerrado y resistencia de salida de lazo cerrado. El lector habrá notado que, para mantener la distinción entre los parámetros del amplificador operacional básico y los del circuito amplificador operacional, se utilizan letras minúsculas para los primeros y mayúsculas para los segundos.

Si se hace R1=∞ y R2=0 en el amplificador no inversor, se convierte en el amplificador de
ganancia unitaria, o seguidor de voltaje de la figura 1.8a. Observe que el circuito consiste
en el amp op y un alambre para alimentar la salida completa de regreso a la entrada.
Los
parámetros de lazo cerrado son

y el circuito equivalente se muestra en la figura 1.8b.

El seguidor de voltaje, aunque su ganancia es solo de unidad, destaca por su capacidad de transformar resistencias. En su entrada presenta un circuito abierto, mientras que en su salida parece un cortocircuito hacia una fuente con un voltaje Vo=Vi.
Esto lo hace ideal para aplicaciones donde se requiere evitar pérdidas de voltaje debido a resistencias internas, actuando como un buffer entre la fuente y la carga.

Cuando se desea aplicar el voltaje de una fuente a una carga Rl, si la fuente tiene una resistencia de salida Rs diferente de 0 como en la figura 1.9a, esta junto con Rl formará un divisor de voltaje, lo que reduce el voltaje en la carga (Vl<Vs) debido a la caída de voltaje a través de Rs. Al usar un seguidor de voltaje en lugar de un alambre, el seguidor elimina el proceso de carga: tiene Ri=∞ y Ro=0, por lo que VI=Vs y VL=Vs. Esto permite que Rl reciba el voltaje completo de la fuente sin pérdidas, actuando el seguidor como un buffer.

La configuración inversora de la figura 1.10a, junto con el amplificador no inversor, constituyen la piedra angular de las aplicaciones de los amp op.El amplificador inversor se inventó antes que el amplificador no inversor porque en sus primeros días, los amp op sólo tenían una entrada, que era la inversora. Al observar el circuito equivalente de la figura 1. 1 Ob se tiene:

Al aplicar el principio de superposición se obtiene:

o bien

Si se hace
obtenemos:

al comparar con la ecuacion del amplificador no inversor:
se observa que la malla resistí va aún alimenta a la
porción

o Vo de regreso a la entrada inversora, con lo que proporciona la misma cantidad de retroalimentación negativa. Al resolver para la razón Vo/Vi y reordenar, tendremos:

Nuestro circuito de nuevo es un amplificador. Sin embargo, ahora la ganancia A es negativa, lo que indica que la polaridad de Vo será opuesta a la de Vi. Esto no es sorprendente, debido que ahora se aplica Vi al lado inversor del amp op. Entonces, el circuito se llama amplificador inversor. Si la entrada es una onda senoidal, el circuito introducirá una inversión de fase, o, en forma equivalente, un cambio de fase de 180°.

Si en la ecuación 1.19, a tiende a ∞, se obtiene:

Es decir, la ganancia de lazo cerrado depende otra vez sólo de una razón de resistencia externa,
lo que brinda ventajas bien conocidas para el diseñador del circuito.
En particular,
observe que ahora es posible controlar la magnitud de A en cualquier punto y hasta cero.

Para determinar las resistencias de entrada y salida de lazo cerrado Ri y Ro en un amplificador inversor, se considera lo siguiente:

Tierra Virtual: Dado que la ganancia a es muy grande, es prácticamente cero. Por lo tanto, Vn está muy cerca de Vp, que es igual a cero. En el límite cuando a tiende a ∞, Vn es exactamente cero, y se denomina tierra virtual porque la entrada inversora parece estar conectada a tierra para un observador externo.

Resistencia de Entrada: La resistencia efectiva vista por la fuente de entrada es solo R1, ya que Vn es cero y no hay otra resistencia que impacte directamente.

Resistencia de Salida: La salida proviene directamente de la fuente aVo, por lo que Ro=0.

En resumen, en el amplificador inversor ideal, la resistencia de entrada de lazo cerrado es R1 y la resistencia de salida es Ro=0

A diferencia de su contraparte no inversora, el amplificador inversor cargará la fuente
de entrada si la fuente no es ideal. Esto se ilustra en la figura 1.12. Como en el límite a tiende al ∞

el amp op hace que Vn tienda a 0 V (tierra virtual), tendremos entonces:

que indica que . Al eplicar la ecuacion de Aideal y eliminar Vi, obtendremos:

ANÁLISIS DEL CIRCUITO DEL AMP OP IDEAL

Al pensar en la simplicidad de los resultados del lazo cerrado ideal de la sección anterior, surge la pregunta de si no habrá una técnica más sencilla para obtenerlo, para evitar algo del álgebra tediosa. Dicha técnica sí existe, y se basa en el hecho de que cuando se opera el amp op con retroalimentación negativa, en el límite a tiende a ∞ el valor de su voltaje Vd=Vo/a se aproxima a cero
o bien, como , Vn se aproxima a Vp,

Cuando se opera con retroalimentación negativa, un amplificador operacional ideal tiene dos propiedades clave:
Corto Virtual: Las terminales de entrada parecen estar en cortocircuito para el voltaje (Vn ≈ Vp), aunque no lo están físicamente. Esto se debe a la alta ganancia del amplificador, que mantiene la diferencia de voltaje entre las entradas casi en cero.
Restricción de Corriente de Entrada: No hay corriente en las terminales de entrada del amplificador (in = 0), lo que significa que el aparente cortocircuito para el voltaje no conduce corriente.
En resumen, el amplificador proporciona el voltaje y corriente necesarios para mantener la diferencia de voltaje entre las entradas en cero, sin consumir corriente en las terminales de entrada.

Observe que Vn es la que sigue a Vp, y no de otra forma. El amp op controla Vn por medio de la malla de retroalimentación externa. Sin retroalimentación, el amp op sería incapaz de influir en Vn y las ecuaciones anteriores no se resolverían satisfactoriamente.

Para entender mejor el funcionamiento del amp op, considérese el circuito sencillo de la figura 1.13a, donde se tiene, por inspección, que i = O, v 1 = O, v2 = 6 V, y v3 = 6 V. ¿ Qué pasará si ahora se conecta un amp op como en la figura l.13b? Como se sabe, el amp op llevará a v3 a cualquier valor que se requiera para hacer que v2 = v1. Para encontrar estos voltajes, se iguala la corriente que entra a la fuente de 6 V con la que sale; o bien,

Si se hace v2 = v1 , y se resuelve, se obtiene que v1 = - 2 V. La corriente es igual a

y el voltaje de salida es

El concepto de "corto virtual" se usa para obtener las ganancias de los amplificadores no inversor e inversor. En el circuito de la figura 1.14a, el voltaje de la entrada inversora se etiqueta como Vi, y aplicando la fórmula de división de voltaje, se obtiene . Esto se transforma en la conocida relación . El amplificador no inversor magnifica Vi para producir Vo, mientras que el divisor de voltaje atenúa Vo para producir Vi. La figura muestra una palanca analógica que representa esta acción.
En el circuito de la figura 1.14b, la entrada inversora se trata como una tierra virtual (0 V). Aplicando KCL, se obtiene

. La analogía mecánica muestra que un balanceo hacia arriba en la entrada produce uno hacia abajo en la salida, mientras que en la figura 1.14a, ambos se mueven en la misma dirección. Hasta ahora, se han analizado configuraciones básicas de amplificadores operacionales, y se introducen otros circuitos que se estudiarán usando el concepto de corto virtual.

El amplificador sumador tiene dos o más entradas y una salida. Aunque el ejemplo de la figura 1.15 tiene tres entradas, V1, V2 y V3, el siguiente análisis puede generalizarse con facilidad a cualquier número arbitrario de ellas. Para obtener una relación entre la salida y las entradas, se obliga a que la corriente total que entra al nodo de la tierra virtual sea igual a la que sale, o bien:

Por razones obvias, este nodo también se denomina unión sumadora.

Con el uso de la ley
de Ohm,

Gracias a la tierra virtual, las corrientes de entrada son linealmente proporcionales a las fuentes de voltaje correspondientes. Además, se evita que las fuentes interactúen entre sí, lo cual es una característica deseable en caso de que alguna fuente se desconecte del circuito.
si despejamos Vo:

La salida del amplificador sumador es una suma ponderada de las entradas, donde las ponderaciones dependen de las razones de resistencia. Una aplicación popular de los amplificadores sumadores es la mezcla de audio. Dado que la salida proviene de la fuente dependiente del amplificador operacional, Ro=0. Además, debido a la tierra virtual, la resistencia de entrada Rik (k=1,2,3) vista por la fuente Vk es igual a la resistencia correspondiente Rk. En resumen, la configuración permite un control preciso de las entradas y resistencias.

Si las fuentes de entrada no son ideales, el circuito las cargará hacia abajo, como en el caso
del amplificador inversor. La ecuación aun se aplica aplica, si se satisface que se reemplaza Rk por Rsk+Rk en los denominadores, donde Rsk es la resistencia a la salida de la K-ésima fuente de entrada.

Si R3 = R2 = R1, entonces la ecuación se lleva a:

Como se muestra en la figura 1.17, el amplificador de diferencias tiene una salida y dos entradas: una conectada al lado inversor y otra al no inversor. La salida Vo se puede calcular por superposición como , donde Vo1 es el valor de Vo cuando V2=0, y Vo2 es le valor cuando V1=0.
Si V2=0 , Vp=0, lo que convierte al circuito en un amplificador inversor con respecto a V1. Así, y , donde Ri1 es la resistencia de entrada vista desde por la fuente V1.

Al hacer V1=0, el circuito actua como un amplificador no inversor respecto a Vp. Asi X y Ri2=R3+R4, donde Ri2 es la resistencia de entrada vista por la fuente V2. Si se hace y se reacomodan los términos:

y
Ri1=R1 , Ri2=R3+R4 , R0= 0

La salida del amplificador de diferencias es nuevamente una combinación lineal de las entradas, pero con coeficientes de polaridad opuesta, ya que una entrada va al lado inversor y la otra al no inversor del amplificador operacional. Además, las resistencias vistas por las fuentes de entrada son finitas y, generalmente, diferentes entre sí. Si las fuentes no son ideales, el circuito las cargará en cantidades distintas.
Si que las fuentes tienen resistencias de salida Rs1 y Rs2. Entonces la ecuación aun se aplica siempre que se remplace R1 por Rs1+R1 y R3 por Rs2+R3

Un caso interesante surge cuando los pares de resistencia en la figura 1.17 tienen razones
iguales: Cuando esta condición se da, se dice que las resistencias forman un puente balanceado,
entonces la ecuación se simplifica y queda como:

Para encontrar la relación entrada-salida del circuito que se muestra en la figura l. 18, se
comienza por forzar a que . Al usar las leyes de la capacitancia y de Ohm, se vuelve o:

El circuito produce una salida que es proporcional a la derivada del tiempo de la entrada de ahí su nombre La constante de proporcionalidad está constituida por R y C, y su unidad es el segundo(s).

El análisis del circuito de la figura 1.19 es similar al de la figura 1.18. Al hacer que se obtiene que o . Al cambiar a t por
la variable muda de integración integrar ambos lados desde cero hasta t, se obtiene

donde Vo (0) es el valor de la salida en t=0. Este valor depende de la carga almacenada inicialmente en el capacitor.
La ecuación indica que la salida es proporcional a la integral de tiempo de la salida, de ahí se deriva su nombre. La constante de proporcionalidad la dan R y C, pero ahora sus unidades son S ^-1. Al imitar el análisis del amplificador
inversor, se comprueba con facilidad que

Así, si la fuente impulsora tiene una resistencia Rs, se debe reemplazar a R por Rs+R con
objeto de aplicar la ecuación

El amp op integrador, que también se llama integrador de precisión, debido al alto
grado de exactitud con el que se ajusta a la ecuación, es un caballo de batalla de la electrónica. Tiene una amplia aplicación en los generadores de función (generadores de onda triangular y de diente de sierra), filtros activos (variable de estado, bicuadráticos
y de capacitores conmutados), convertidores analógico a digital (convertidores de pendiente dual y de retroalimentación cuantizada), y controladores analógicos (controladores PID).

En la práctica, cuando se intenta construir el circuito integrador en el laboratorio, se descubre que su salida sufre un corrimiento hasta que se satura a un valor cercano al de alguno de los voltajes de suministro, aun si v1 está aterrizado. Esto se debe a lo que se denomina error de desvío del amp op.
Por el momento basta decir que un método
burdo de impedir la saturación, consiste en colocar una resistencia apropiada Rp en paralelo con C. El circuito resultante, que se llama integrador con pérdida, todavía proporcionará la función de integración, pero sólo en un rango limitado de la frecuencia.