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Enseignement- apprentissage de la mathématique, Légende : Vert : Les…

- - - - Inventer une procédure pour résoudre des tâches non routinières
      - Utiliser la procédure la plus efficiente
        
        EXEMPLE : Calcul d'aire des solides
        
        En secondaire 2, les élèves doivent être en mesure de calculer l'aire de différents solides. Afin d'optimiser le temps et de ne pas calculer l'aire de chacune des faces du solides, nous leur donnons des formules avec le périmètre de la base. Ces formules permettent à l'élève de sauver du temps.
        Or, il est important que l'élève comprenne d'où vient cette formule afin de donner du sens à celles-ci.
        
        EXEMPLE : Résolution d'un système d'équation
        
        Lors de l'exploration de ce chapitre, plusieurs élève procède par essai-erreur afin de trouver le couple solution. C'est bien, mais cette technique est longue et peut rapidement être trop complexe lorsque le couple solution n'est pas un nombre entier. C'est pour cette raison que l'on montre la méthode de comparaison.
      - Trouver plusieurs résolutions
    - - Automatisation
        
        De faits
        
        De procédures
      - Rétention
      - Connaissances
    - - Établir des liens
        
        Entre les concepts
        
        Entre les éléments d'un concept
      - Le quoi et le pourquoi
        
        EXEMPLE : La compréhension de la règle y=ax+b
        
        Il est important que l'élève comprenne le taux de variation. pas juste savoir comment le calculer, mais bien comprendre c'est quoi et pourquoi le calcul de a fonctionne. En le comprenant, l'élève n'aura même pas besoin de connaitre la formule.
- - - - Apprendre la mathématique PAR la résolution de problèmes
        
        Caractéristique d'un bon problème p.18
        
        Zone proximal de développement
        
        Clair
        
        1 ou plusieurs réponses
        
        Éveille la curiosité
        
        Incite la réflexion et aux échanges
        
        processus mathématique inconnu des élèves
        
        Auto-validant
        
        Motive l'élève a trouver une solution
        
        Donne du sens aux concepts mathématiques
        
        Comment l'appliquer
        
        AVANT LE COURS : analyse, choix d'un bon problème et prévoir :
        -Les stratégies et démarches
        -les difficultés et comment y répondre
        -une manière de complexifier le problème pour ceux qui ont davantage de facilité
        -l'organisation pédagogique : équipe, seul, matériel disponible
        
        Les 3 temps
        (Brousseau, 1998)
        
        L'élève doit essayer de résoudre le problème
        
        Trouver une solution avec ses pairs
        
        L'enseignant formalise les apprentissages
        
        EXEMPLE : Système d'équation
        
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        Les 3 temps
        (MEO, 2006)
        
        La mise en train
        
        L'exploration en groupe
        
        l'objectivation des apprentissages
        
        Les 3 temps
        (Decaro et Rittle-Johnson, 2012)
        
        Principe de dévolution, découverte du problème seul ou en équipe et l'enseignant guide les élèves en manipulant les variables didactiques au besoin
        
        Partage d'idées en grand groupe et l'enseignant a un rôle de médiateur
        3.L'enseignant formalise les apprentissages
        
        Les 3 temps
        (Seeley, 2016)
        
        TU tente de comprendre et résoudre
        
        NOUS allons échanger nos réflexions
        
        JE, comme enseignant, vais assurer une bonne compréhension
      - Apprendre la mathématique POUR la résolution de problèmes
        
        Permet de consolider sa compréhension conceptuelle, sa flexibilité et sa fluidité
        
        L'élève ne doit pas savoir d'emblée le chemin à parcourir pour arriver à la solution
      - Résoudre des problèmes pour apprendre à résoudre des problèmes
        
        Processus cognitif pour la résolution de problèmes
        (Polya, 1945)
        
        Comprendre le problème
        
        Concevoir le plan
        
        Mettre le plan en exécution
        
        Vérifier l'exactitude de la solution
        
        Des allers-retours entre ces étapes sont souvent nécessaires
        
        Amélioration de l'heuristique de Polya
        
        Verschaffel, de Greer, De Corte (2000)
        
        Souligne le processus dynamique : choix de d'outils, l'utilisation adéquates des outils, la régulation de la solution, l'analyse et la compréhension du problème, ...
        
        Poirier, (2001)
        
        Enseigner des stratégies cognitives et métacognitives afin de les aider dans la résolution de problèmes
        
        Une stratégie devient métacognitive lorsque l'élève comprend qu'il l'utilise
        
        Dimensions de la métacognition
        
        Les connaissances qu'a une personne concernant ses propres processus cognitif et être conscient de ce qui l'aide ou est un obstacle à ce processus.
        
        L'autorégulation cognitive qui représente la capacité d'une personne de planifier et contrôler ses processus cognitifs
        
        Stratégies de l'autorégulation cognitive
        
        4 more items...
        
        Enseignement explicite des stratégies métacognitives est efficace
        
        Critiques
        
        Amène les élève à exécuter une série d'étapes sans réfléchir.
        (Goulet, 2018)
        
        Peur de démathématiser les mathématique
        (Mercier, 2008 , Sarrazy, 1997)
- - - - L'élève COMMUNIQUE
        
        Utilisation modes de représentation variées
        
        Différents modes de représentations
        
        Exprimer en mots
        
        Oral
        
        Écrit
        
        Symboles
        Expressions numériques
        
        Grilles
        Tableaux
        
        Matériel de manipulation
        
        Différentes pensées à ce sujet
        
        Plus efficace d'axé sur l'articulation entre les modes
        de représentation que le continuum
        (Duval, 2007)
        
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        Donner du sens à l'aide d'un continuum :
        1- Concret : matériel de manipulation
        2- Semi-concret : dessin, schéma
        3- Abstrait : symboles écrits
        (Forbringer et Fuchs, 2014; Mercer et Miller, 1992; Baker, Gersten et Lee, 2002)
        
        Le matériel de manipulation sert à soutenir le raisonnement de l'élève et non concrétiser la mathématique
        (Corriveau et Jeannotte, 2015)
        
        Comment l'utiliser
        
        Avoir une intention d'apprentissage claire
        
        Doit être exploré et utilisé
        avec souplesse
        
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        Donner des explications sur le fonctionnement du matériel
        
        Poser un questionnement qui suscite la réflexion de l’élève
        
        Amener l’élève à comprendre et être en mesure de passer du matériel aux autres modes de représentation
        
        Dessins et schémas
        Diagrammes
        Figures
        
        Pour expliquer et justifier des idées
        
        Combiner des modes de représentation
        
        Amener l'élève a passer entre les différents modes de représentation
        
        EXEMPLE : Fonction y=ax+b trouver des coordonnées
        
        Les élèves fonctionnent très bien avec les graphiques et sont habitués. Si je leur demande la valeur de y lorsque x=2, ils sont en mesure de trouver la réponse et inversement si je donne y et il cherche x.
        Cependant, avec la règle, les élèves avaient de la difficulté à comprendre que ce sont des coordonnées que cela permet de trouver. Que x=2 est un exemple, mais ne veut pas dire que x est toujours égale à 2. Avec le graphique, ils étaient en mesure de me dire que la valeur de x varie.
        En mettant en lumière le parallèle, les élèves ont été davantage en mesure de comprendre la fonction, le sens et le sens des variables.
        
        Origine de l'erreur : En secondaire 2, les élèves s'habituent à isoler une variable, souvent nommé x, et d'en trouver la valeur.
        Ils ont donc de la misère a comprendre par la suite que x n'est pas une valeur fixe.
        
        Verbaliser son raisonnement
        
        À l'oral
        
        EXEMPLE : Vérifier la compréhension d'un concept à l'aide d'entrevue avec les élèves
        Une rencontre permet de mieux cerner le raisonnement de l'élève et identifier ce qui n'a pas été compris. Et ainsi, mieux évaluer l'élève.
        
        Par stress, un élève n'avait presque rien écrit sur son examen de C1. J'ai finalement constaté que l'élève avait une compréhension suffisante de la matière, mais avait pris peur parce qu'il ne savait pas où commencer.
        
        À l'écrit
        
        Bénéfices
        
        Consolider la compréhension conceptuelle
        
        Familiariser avec le vocabulaire mathématique
        
        Familiariser avec les modes de représentation
        
        Construit un sens : aux concepts, aux raisonnements et au symbolisme en mathématique
        
        L'enseignant à accès au raisonnement de l'élève et peut donc ajuster son enseignement au besoin afin de faire progresser l'élève
        
        Échanger avec ses pairs
        
        Mettre en commun leur raisonnement afin de trouver une solution commune
        
        Verbaliser son raisonnement afin de partager ses idées aux autres
        
        Débattre avec les autres
        
        Justifier et échanger différentes solutions et stratégies
        
        Bénéfices
        
        Élargir leurs façons de résoudre un problèmes
        
        Donne du sens au vocabulaire mathématique et permet de voir la nécessité d'utiliser un vocabulaire mathématique
        
        EXEMPLE : Communication écrite
        
        J'avais déjà donné une situation problème et il devait dans un premier temps réfléchir et mettre par écrit leur compréhension et idées afin de résoudre ce problème. Dans un deuxième temps, il échangeait leur feuille avec un camarade de classe et essayait de voir si l'autre personne avait les mêmes idées. Après peu de temps, les élèves chialaient qu'il ne comprenait rien des démarches de l'autre personne. J'ai évidemment mentionné que c'est important de donner des titres et structurer ses démarches. Par la suite, les jeunes se sont davantage compris à l'oral.
        
        Comparer les solutions
        
        S'entraider
        
        EXEMPLE : Équipe
        
        Nous avons plusieurs façon de faire des équipes :
        
        -On peut mettre les mettre niveau de force. Les plus forts avec les plus forts, les moyens avec les moyens et ceux ayant plus de difficultés ensemble.
        
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        -On peut insister sur l'enseignement par les pairs en mettant un fort avec un faible.
        
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        -Laisser les élèves choisir avec qui ils veulent.
        
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        Communiquer avec un vocabulaire mathématique
        
        Formuler des démarches et justifications
        
        Utilise les terminologie spécifique au mathématique
        
        Distingue la signification mathématique de celle courante qu'un mot peut avoir
        
        L'enseignant doit bien utiliser le vocabulaire mathématique
        
        Comme vu dans le texte de Vermette
        
        L'enseignant doit bien mentionner la signification mathématique, en la différentiant de sa signification courante au besoin
      - L'élève RAISONNE
        
        Réfléchit
        
        Établir des relations
        
        Verbaliser sa réflexion
        
        Justifier ses propos à l'aide de concepts et processus mathématiques
        
        Établit des conjectures
        
        Pour finalement réaliser des preuves
    - - La réflexion
        
        Promouvoir la recherche de solutions à une variété de problème
        
        Animer des discussions
        
        Partage des solutions et stratégies
        
        Causerie mathématique
        
        Par des problèmes
        
        Contexte signifiant pour les élèves
        
        Situés dans la zone proximale de développement
        
        Manipuler les variables didactique
        
        Permet de complexifier un problème
        
        Permet de faciliter un problème
        
        EXEMPLE : Remplacer les fractions par des nombres entiers
        
        Par des questions de l'enseignant
        
        Questions ouvertes
        
        EXEMPLE : Propriétés des fonctions
        
        Je donne une liste de propriétés d'un fonction et je demande, en équipe de deux, qu'ils tracent une fonction qui respecte ces caractéristiques.
        Chaque équipe arrive avec différents résultats, il n'y a pas uniquement une seule bonne réponse.
        Pour complexifier, on peut demander de mettre des courbes et fonctions qui ne sont pas linéaires.
        
        Questions planifiées qui va créer un conflit cognitif
        
        Nous pouvons même choisir des questions qui engendrera des erreurs afin de soutenir le fait que l'erreur est essentiel dans l'apprentissage.
        
        Questions sollicitants les interaction entre pairs
        
        Questions favorisant l'établissement de liens
        
        Questions permettant aux élèves de trouver et partager leur solutions et décisions
        
        Questions permettant de faire des prédictions
        
        Questions auto-validantes
        
        Peu importe le résultat, demander à l'élève de verbaliser
        
        EXEMPLE : Pourquoi
        
        En individuel, ma question préférée est : pourquoi ? Au début, les élèves changent de réponse, car il ne pense pas que c'est la bonne réponse, mais je repose ma question. Cela amène les jeunes à ne pas répondre au hasard et invite les jeunes à expliquer leur raisonnement. Il est par la suite plus simple d'intervenir et créer un conflit cognitif.
        
        Donner du temps
      - Bon climat de classe
        
        Une communauté d'apprenants
        
        Idées importantes
        
        Partage d'idées entre les élèves
        
        Climat de confiance où l'erreur est considérée comme nécessaire
        
        Je constate une meilleure participation dans mes groupes cette année. Je pense que cela s'explique par deux différences:
        -L'année dernière, il y avait un climat de jugement en raison de certains élèves qui amenaient une ambiance lourde. Ainsi, les jeunes avaient peur de se tromper.
        -J'ai bien expliqué en début d'année que l'objectif est de construire les apprentissages ensemble et qu'il est normal de faire des erreurs. Que j'aime quand des erreurs sont commises, puisqu'il y a moins de chance que ça se produise en examen!
        
        Faire prendre conscience que la mathématique est logique
        
        Il est important de parfois faire sortir l'élève du contexte de formule et notes de cours afin de lui montrer que par logique il peut effectuer le numéro. Maintenant, il faut simplement mieux structurer ses démarches et réussir à généraliser sa penser afin de former des formules et règles.
        
        Attitude positive
        par rapport au mathématique
        
        Être enthousiaste en enseignant
        
        Établir des liens avec des repères culturels
        
        Rendre la mathématique intéressante, pertinente et concrète
        
        EXEMPLE : Pi
        
        Amener le concept de pi avec l'histoire de sa découverte.
        
        EXEMPLE : Anecdote de vie, Thor
        
        Lorsque j'introduis de nouveau chapitre, j'aime bien faire référence à une situation de ma vie et montrer qu'ils sont en mesure de résoudre ce problème avec juste la logique. Ensuite, cet exemple me sert d'appuie pendant tout le chapitre afin de généraliser la méthode de résolution.
        
        J'aime faire des mises en situation avec Thor, un ami de camp de jour. Les élèves entendent tellement souvent parler de lui qu'il ne trouve même plus étrange que je l'appel Thor.
        -Pour l'introduction aux systèmes d'équation, je parle de Thor qui s'est acheté des pièces d'un ordinateur et deux amis se proposent pour le monter à des coûts qui suivent des fonctions linéaires.
        -Pour Pythagore, Thor m'a dit qu'il a utilisé à deux reprises le théorème dans le cadre de son travail, mécanicien d'avion.
        
        Mettre en lumière l'omniprésence de la mathématique dans la vie
        
        EXEMPLE : Projet vie quotidienne
        
        Lors du chapitre sur l'aire et le volume des solides, les élèves doivent inventer un problème en modélisant un objet en 3D. Je leur demande de créer un objet et un contexte réaliste pour eux qui utilise le concept d'aire et de volume.
        
        Problèmes significatifs pour l'élève
        
        L'erreur : nécessité pour l'apprentissage
        
        Déconstruire la vision négative de l'erreur
        
        3 types d'obstacles (Brousseau, 1998)
        
        Ontogénique
        
        Stade de développement insuffisant face à la tâche
        
        Didactique
        
        Lié à l'enseignant
        
        EXEMPLE : le temps est toujours la variable x
        
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        EXEMPLE : multiplication toujours plus grand
        
        1 more item...
        
        Épistémologique
        
        Apprentissage difficile à comprendre
        
        EXEMPLE : Les fractions sont un concepts qui pose problèmes à la majorité des élèves
        
        Expliciter les rôles
        
        De l'enseignant
        
        Guide, accompagne et motive
        
        De l'élève
        
        Respect, partage d'idée, essayer, ...