Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Conjuntos abiertos y conjuntos cerrado. - Coggle Diagram
Conjuntos abiertos y conjuntos cerrado
.
Tipos de puntos de un conjunto
Punto interior.
Se le llama interior del conjunto A al conjunto denotado como A = Ă
Punto frontera.
un punto frontera de un conjunto A es aquél punto que no es ni exterior ni interior al conjunto A
Punto de acumulación.
A es un conjunto del espacio (E,d) y x∈E, se dice que x es
un punto de acumulación del conjunto A. Si todo entorno de x contiene puntos de A distintos de x. Es decir para todo entorno S de x se cumple que (S-{x})∩A≠ø.
Punto aislado.
Si x∈A, pero no es punto de acumulación de A, recibe el nombre de punto aislado de A. Esto quiere decir que existe algún entorno de x que no contiene puntos de A, aparte de él mismo.
Conjuntos asociados a otros
El interior de un conjunto A, int(A) es el máximo conjunto abierto contenido en A
Propiedades encontradas en los teoremas
Del Teorema 1. Se observa que es inmediato que todo punto interior de A es interior de B, eS decir,
En el teorema 2 se concluye que Å es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos
en A.
Teorema 3. La unión en una familia cualquiera de conjuntos abiertos es
un conjunto abierto.
Aquí notamos de que si A ⊂S, donde S es abierto implica que N(x,r) ⊂S, o sea que x es interior a
S y S es por tanto abierto.
En el teorema 4 se afirma que las intersecciones de abiertos siempre resultan ser
conjuntos de abiertos, pero con la restricción de que los intersecandos
deben ser en número finito.
Conjunto derivado de un conjunto. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de un conjunto A se
llama conjunto derivado de A y se designa por A'.
Resultado o propiedad importante
Considérese A y B como conjuntos A⊂B, teniendo en cuenta la definición, que todo punto de acumulación
de A lo es también de B, es decir, A'⊂B'. Este sencillo resultado nos permite tomar derivados a ambos miembros de
una inclusión, preservándose el sentido de ésta
Clausura de un conjunto. Si tenemos el conjunto Ā=AUA' o sea la unión de A con todos sus puntos de acumulación, se le llama clausura de A y sus elementos reciben el nombre de puntos de adherenciade A.
Resultado o propiedad importante
Un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su clausura A⊂Ā y A'⊂A y apoyándonos de la definición de Ā, supondremos que se tiene A⊂B, sabemos que implica A'⊂B', pero entonces de A⊂B y A'⊂B', obtenemos A'⊂B'
Este resultado nos permite “clausurar” ambos miembros de una inclusión, preservándose su sentido.
Frontera de un conjunto. Sea A un conjunto cualquiera en un espacio (E,d). Llamamos frontera de A al conjunto
Si (E,d) es un espacio métrico cualquiera, entonces existirán ciertos subconjuntos de E.
Tipos de conjuntos
Conjunto abierto: Sea (E,d) un espacio métrico cualquiera y A un subconjunto de E. Se dice que x∈A es un punto interior de A si existe un número real r>0 tal que N(x;r)⊂ A. Se dice que el conjunto E se caracteriza por ser abierto triviamente, lo mismo ocure para el conjunto vacio
Ejemplo de ello es la demostración del Teorema 1 que nos garantiza que "Toda bola abierta es un conjunto abierto"
Conjunto denso: Se dice que un conjunto A es un espacio métrico (E,d) es denso si Ā=E
Ejemplos.
:pencil2: El conjunto E es denso trivialmente
:pencil2: El conjunto Q de los racionales en la recta real
:pencil2: El conjunto de los irracionales I es denso en R.
Propiedades.
:explode: A es denso
:explode:∀x∈E: d(x,A)=0
:explode: S∩A ≠ø, ∀ conjunto abierto y no vacío S.
Conjunto cerrado: sea (E,d) el espacio y A un subconjunto de E. Si A'⊂A, es decir, si A contiene todos sus puntos de acumulación, decimos que A es
un conjunto cerrado.
Otra definición
Si A no admite puntos de acumulación, es decir A'=ø, A es cerrado, ya que siempre A'⊂A
Ejemplos.
:check: El conjunto vacío ø, :check: Cualquier conjunto
constituido por un número infinito de puntos.
:check: El conjunto E es también cerrado trivialmente.
Propiedades.
:star: Un conjunto es perfecto si se da el hecho que A'=A, es decir, que A sea cerrado y que todos sus
puntos sean de acumulación. un ejemplo de ello es un intervalo cerrado (de más de
un punto) en la recta real.
Conjunto acotado. sí A⊂E no vacío, A esta acotado si existe una N(x;r) en E tal que A⊂N(x;r). Donde N es la bola, x el centro y r el radio.
