Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Approssimazione autovalori - Coggle Diagram

- - - - con eps=0 e y^TA=lambday^T:
        lambda'(0)=y^T Fx / y^T x
        
        lambda(eps) circa lambda(0)+eps lambda'(0)
        --> |lambda(eps)-lambda| circa eps |y^T Fx|/|y^Tx| <= eps/|y^Tx|
        
        |y^tFx|<=||y||||F||||x||<=1
        
        |lambda(eps)-lambda| <= eps/|y^Tx|
        k=1/|y^Tx|
- - - - posso applicare il metodo delle potenze ad (A-stima I)^-1
        ottengo approssimazione mu_i circa 1/(lambda_i-stima)
        lambda_i circa 1/mu_i +stima
        (la convergenza riguardala nelle slide)
  - - - Sia x€R^n (C^n) : x^T v1=1; allora B=AA-lambda1 v1x^T ha autovalori 0, lambda2,...,lambdan con autovalori v1,w2,...,wn, dove vi=(lambdai-lambda1)wi+lambda1(x^Twi)v1
        
        deflazione di wielandt: fornisce una scelta per x: x^T v1=1
        x=1/(lambda1v_(1,i)) (ai1,ai2,...,ain)^T
        v1=(v_11,v_12,...,v_1n)
        
        B=A-lambda1 v1 x^T
        i-sima riga di B=0
        se lambda !=0 autovalore di B Bw=lambda w
        w autovettore w=1/lambda Bw -->
        wi=1/lambda SUM bij wj=0
        (bij riga i-esima di B che sono nulli)
        
        posso applicare il metodo delle potenze a Bstima=B in cui sono state eliminate riga e colonne i-sime
- - - - A^k x =lambda1^k beta1 v1 + lambda1^k SUM betaj (lambda j/ lambda 1)^k vj
        
        lim A^k x = lim lambda1^k beta1 v1
  - - - k-esima iterazione:
        y^(k)=Ax^(k-1)
        mu^(k)=y^(k)p(k-1)=y^(k)p(k-1)/x^(k-1)pk-1)
        x^(k)= y^(k) / ||y^(k)||
        
        lim mu^(k) =lim lambda1 (beta1 v(1,pk-1)/beta1 v(1,pk-1)=1 (SE beta1!=0)
        lim x^(k) = v1
  - - - con il metodo ottengo lambda1 ma non v1
    - - il metodo non converge
    - - lim A^K x^(0) =lim lambda1^k beta1 v1 =0
        facendo le moltiplicazioni A^kx^(0) =Ax^(k-1) in aritmetica finita, gli errori possono far nascere una componente lungo v1 non nulla (beta 1 diversa da 0)
    - - si può dimostrare in maniera più complessa che il metodo converge
    - - convergenza quadratica
        approssimazione autovettore
        x^(k)/||x^(k)||2
- - - - asintoticamente Ak circa S(k-1)TS°(k-1)
        Ak=(a^(k)ij) a^(k)ii=tii
        
        gli elementi diagonali di Ak tendono gli autovalori
- - - - (RIGUARDA SLIDE 33)