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Aplicaciones de las derivadas - Coggle Diagram
Aplicaciones de las derivadas
Razones de cambio relacionadas
La tasa de cambio es una medida que muestra cómo cambia una cantidad respecto a otra. También se aplican en situaciones donde dos variables están relacionadas
Valores máximos y mínimos
La búsqueda de estos extremos ayuda en la optimización de recursos y en la toma de decisiones en contextos económicos, de ingeniería y ciencias.
Locales
dentro de un intervalo
Absolutos
en todo el dominio de la función
Teorema del Valor Extremo
afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces alcanza al menos un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.
Teorema de Fermat
establece que si una función tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior de su dominio, y si la derivada de la función en ese punto existe, entonces la derivada en ese punto es igual a cero
Número Crítico
de una función es un punto en el dominio donde la derivada de la función es cero o no está definida
Método del Intervalo Cerrado
Se basa en evaluar la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos encontrados dentro del intervalo.
Derivadas y las formas de curvas
Las derivadas proporcionan información sobre la pendiente de la tangente a la curva de una función en un punto dado, permitiendo comprender la forma de la curva y cómo cambia en diferentes intervalos.
La primera derivada
indica la tasa de cambio de la función y, por tanto, si la función está creciendo o decreciendo.
La segunda derivada
proporciona información sobre la concavidad de la curva, es decir, si la función se curvatura hacia arriba o hacia abajo.
Prueba de la Segunda Derivada
es una técnica para determinar la concavidad y identificar los puntos de inflexión de una función. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.
El Teorema del Valor Medio
establece que para una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que la derivada en c es igual a la tasa de cambio promedio en el intervalo [a,b].
Funciones Crecientes
en un intervalo si su derivada primera es positiva en ese intervalo
Funciones Decrecientes
si la derivada primera es negativa.
Concavidad
describe cómo se curva la gráfica de la función. Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si su segunda derivada f′′(x) es positiva en ese intervalo, y es cóncava hacia abajo si f′′(x) es negativa.
Prueba de Concavidad
se calcula la segunda derivada f′′(x). Si f′′(x)>0, la función es cóncava hacia arriba; si f′′(x)<0, la función es cóncava hacia abajo.
Regla de l'Hôpital
esta regla establece que, si el límite de una función f(x) sobre una función g(x) da como resultado una forma indeterminada y si las derivadas f′(x) y g′(x) existen cerca del punto de interés, el límite original puede ser evaluado mediante el límite de las derivadas de las funciones.
Productos Indeterminados
ocurren en límites que resultan en una forma 0⋅∞ o ∞⋅0. Estas formas no proporcionan información directa sobre el límite y requieren técnicas adicionales para su evaluación.
Diferencias Indeterminadas
Las diferencias indeterminadas se presentan en límites que resultan en la forma ∞−∞. Esta forma no es concluyente por sí sola y a menudo requiere técnicas adicionales para simplificarla.
Problemas de optimización
busca encontrar los mejores resultados posibles bajo ciertas restricciones.
Pasos para resolver problemas
1. Entender el problema, 2. Trazar un diagrama, 3. Introducir notación, 4. Exprese Q, 5. Buscar relaciones, 6.Usar métodos de soluciones.
Método de Newton
es un algoritmo de aproximación utilizado para encontrar las raíces de una función f(x)=0. Dado un punto inicial X0, el método genera sucesivas aproximaciones a la raíz verdadera mediante una fórmula iterativa basada en la derivada de la función.
Antiderivadas
también conocidas como primitivas, representan funciones cuya derivada es la función dada