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Funciones exponenciales - Coggle Diagram

- - - - Descripción: Las funciones exponenciales son fundamentales para modelar el crecimiento poblacional en condiciones ideales. Este crecimiento se caracteriza porque la población se duplica a intervalos regulares.
      - Ejemplo: Si iniciamos con 100 bacterias que duplican su cantidad cada hora, se puede modelar la población como:
        
        \[\n f(t) = 100 * 2^t\n \]
        
        Donde $t$ es el tiempo en horas. Para $t = 3$ horas, la población será:
        
        \[\n f(3) = 100 * 2^3 = 800 \text{ bacterias}\n \]
    - - Descripción: En el ámbito financiero, las funciones exponenciales son utilizadas para calcular el crecimiento del capital a través de los intereses compuestos. Este modelo refleja cómo el interés sobre el capital se acumula para generar efectivo adicional a lo largo del tiempo.
      - Ejemplo: Si se invierte $1000 a una tasa de interés del 5% anual, la cantidad acumulada después de $n$ años se calcula como:
        
        \[\n A = 1000 * (1 + 0.05)^n\n \]
        
        Por ejemplo, después de 5 años:
        
        \[\n A = 1000 * (1 + 0.05)^5 \approx 1276.28\n \]
    - - Descripción: Las funciones exponenciales son cruciales para describir ciertos procesos naturales como la descomposición radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton, ambas fenómenos en los cuales las cantidades disminuyen exponencialmente con el tiempo.
      - Ejemplo: Para modelar la cantidad de un material radiactivo que queda después de $t$ años, usamos la ecuación:
        
        \[\n N(t) = N_0 * \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}\n \]
        
        Donde $N_0$ es la cantidad inicial y $h$ es la vida media del material. Si $N_0 = 100$ gramos y la vida media $h = 5$ años, después de 10 años queda:
        
        \[\n N(10) = 100 * \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{5}} = 25 \text{ gramos}\n \]
- - - - Descripción: Las funciones exponenciales son fundamentales para modelar el crecimiento poblacional en condiciones ideales. Este tipo de crecimiento se caracteriza porque la población se duplica a intervalos regulares.
      - Caso Específico:
        
        Modelo: Si comenzamos con 100 bacterias que duplican su cantidad cada hora, se puede modelar la población como:\n \[\n f(t) = 100 * 2^t\n \]
        
        Cálculos: Para $ t = 3 $ horas:\n \[\n f(3) = 100 * 2^3 = 800 \text{ bacterias}\n \]
        
        Interpretación: Este modelo ilustra cómo una población puede crecer rápidamente bajo condiciones favorables, mostrando claramente la naturaleza exponencial del crecimiento.
    - - Descripción: En finanzas, las funciones exponenciales son utilizadas para calcular el crecimiento del capital a través de los intereses compuestos, reflejando cómo el interés se acumula de manera exponencial con el tiempo.
      - Caso Específico:
        
        Modelo: Si se invierte $1000 a una tasa de interés del 5% anual, la cantidad acumulada después de $ n $ años se calcula como:\n \[\n A = 1000 * (1 + 0.05)^n\n \]
        
        Cálculos: Por ejemplo, después de 5 años:\n \[\n A = 1000 * (1 + 0.05)^5 \approx 1276.28\n \]
        
        Interpretación: Este cálculo muestra cómo el capital inicial crece significativamente debido a la acumulación del interés compuesto, destacando la importancia de las tasas de interés en las inversiones a largo plazo.
- - - - Descripción: Las funciones exponenciales son cruciales para describir procesos naturales, como la descomposición radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton, en los cuales las cantidades disminuyen exponencialmente con el tiempo.
      - Caso Específico:
        
        Modelo: Para modelar la cantidad de un material radiactivo que queda después de $ t $ años, se utiliza la ecuación:\n \[\n N(t) = N_0 * \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}\n \]
        
        Datos de Ejemplo: Si $ N_0 = 100 $ gramos y la vida media $ h = 5 $ años:\n \[\n N(10) = 100 * \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{5}} = 25 \text{ gramos}\n \]
        
        Interpretación: Este cálculo ilustra cómo la cantidad de material radiactivo disminuye con el tiempo, evidenciando la naturaleza exponencial de la descomposición y su relación con la vida media del material.