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FUNCIONES EXPONENCIALES EN SERIES Y SUCESIONES - Coggle Diagram
FUNCIONES EXPONENCIALES EN SERIES Y SUCESIONES
Una sucesión exponencial es una secuencia de números donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón común. En otras palabras, los términos de una sucesión exponencial crecen o decrecen a un ritmo constante, multiplicándose por el mismo número en cada paso.
Relación con las Funciones Exponenciales
Las sucesiones exponenciales están estrechamente relacionadas con las funciones exponenciales. De hecho, una función exponencial es una función continua que pasa por los puntos de una sucesión exponencial.
FORMULA GENERAL
an = a1 * r^(n-1)
Dónde:
an:
es el término enésimo de la sucesión.
a1:
es el primer término de la sucesión.
r:
es la razón común, es decir, el número por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente.
n:
es la posición del término en la sucesión.
Características principales
Crecimiento o decrecimiento rápido:
Si la razón común (r) es mayor que 1, la sucesión crece rápidamente. Si 0 < r < 1, la sucesión decrece hacia cero.
Razón común constante:
La característica distintiva de una sucesión exponencial es que la razón entre términos consecutivos es siempre la misma.
Gráfica de una función exponencial
La forma de la gráfica de una función exponencial depende del valor de la base:
Si 0 < a < 1:
La gráfica es decreciente y convexa hacia arriba.
Si a > 1:
La gráfica es creciente y convexa hacia arriba.
Aplicaciones en el mundo real
Las funciones exponenciales modelan una gran variedad de fenómenos naturales y sociales, como:
Crecimiento poblacional: El crecimiento de una población a menudo sigue un patrón exponencial.
Desintegración radiactiva: La cantidad de material radiactivo disminuye exponencialmente con el tiempo.
Interés compuesto: El valor de una inversión con interés compuesto crece exponencialmente.
Propagación de enfermedades: En ciertas condiciones, la propagación de una enfermedad puede seguir un modelo exponencial.
Ejemplo
Consideremos la sucesión: 2, 4, 8, 16, ...
a1 = 2 (primer término)
r = 2 (cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2)
Entonces, la fórmula para esta sucesión exponencial sería:
an = 2 * 2^(n-1) = 2^n
