Conceptos básicos de los métodos numéricos
Ecuaciones diferenciales:
Conceptos Fundamentales:
Soluciones de Ecuaciones Diferenciales
Las ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
Una ecuación diferencial ordinaria es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas.
Una ecuación en derivadas parciales es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes
Métodos exactos
Métodos aproximados
Expresión exacta de la solución, obtenida mediante técnicas algebraicas y cálculo.
Aproximación de la solución mediante métodos discretos, útil cuando la solución analítica es difícil o imposible de obtener.
Condiciones Iniciales: Valores dados de la función y sus derivadas en un punto inicial para EDO.
Condiciones de Frontera: Valores dados de la función en los límites del dominio para EDP
Error de Truncamiento: Diferencia entre la solución numérica y la solución exacta debido a la aproximación del método.
Error de Redondeo: Error debido a la representación finita de números en computadoras.
Estabilidad Numérica: Capacidad del método para limitar los errores a lo largo del proceso de cálculo.
Consistencia: El método se aproxima a la ecuación diferencial original a medida que el paso de malla tiende a cero.
Convergencia: La solución numérica tiende a la solución exacta a medida que el paso de malla tiende a cero.
Orden del Método: Relación entre el tamaño del paso y el error de truncamiento.
Métodos Numéricos para EDO
Métodos Numéricos para EDP
Método de Euler
Métodos de Runge-Kutta
Métodos Multistep
Adams-Bashforth y Adams-Moulton
Combinan una predicción inicial con una corrección posterior para mejorar la precisión.
Utilizan varios pasos anteriores para calcular el siguiente valor.
Procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
Métodos más precisos que el de Euler, con varias evaluaciones intermedias de la función.
Método de Elementos Finitos
Método de Volúmenes Finitos
Método de Diferencias Finitas
Métodos Espectrales
Aproximación de derivadas utilizando diferencias entre valores en una malla.
Dividir el dominio en elementos más pequeños y resolver en cada uno usando funciones de forma.
Integración sobre volúmenes finitos del dominio, conservando propiedades físicas.
Utilización de transformadas (Fourier, Chebyshev) para convertir EDPs en problemas algebraicos.
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