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Conceptos básicos de los métodos numéricos - Coggle Diagram
Conceptos básicos de los métodos numéricos
Ecuaciones diferenciales:
Las ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Una ecuación diferencial ordinaria es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas.
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
Una ecuación en derivadas parciales es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes
Conceptos Fundamentales:
Condiciones Iniciales: Valores dados de la función y sus derivadas en un punto inicial para EDO.
Condiciones de Frontera: Valores dados de la función en los límites del dominio para EDP
Error de Truncamiento: Diferencia entre la solución numérica y la solución exacta debido a la aproximación del método.
Error de Redondeo: Error debido a la representación finita de números en computadoras.
Estabilidad Numérica: Capacidad del método para limitar los errores a lo largo del proceso de cálculo.
Consistencia: El método se aproxima a la ecuación diferencial original a medida que el paso de malla tiende a cero.
Convergencia: La solución numérica tiende a la solución exacta a medida que el paso de malla tiende a cero.
Orden del Método: Relación entre el tamaño del paso y el error de truncamiento.
Soluciones de Ecuaciones Diferenciales
Métodos exactos
Expresión exacta de la solución, obtenida mediante técnicas algebraicas y cálculo.
Métodos aproximados
Aproximación de la solución mediante métodos discretos, útil cuando la solución analítica es difícil o imposible de obtener.
Métodos Numéricos para EDO
Método de Euler
Procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
Métodos de Runge-Kutta
Métodos más precisos que el de Euler, con varias evaluaciones intermedias de la función.
Métodos Multistep
Utilizan varios pasos anteriores para calcular el siguiente valor.
Adams-Bashforth y Adams-Moulton
Combinan una predicción inicial con una corrección posterior para mejorar la precisión.
Métodos Numéricos para EDP
Método de Elementos Finitos
Dividir el dominio en elementos más pequeños y resolver en cada uno usando funciones de forma.
Método de Volúmenes Finitos
Integración sobre volúmenes finitos del dominio, conservando propiedades físicas.
Método de Diferencias Finitas
Aproximación de derivadas utilizando diferencias entre valores en una malla.
Métodos Espectrales
Utilización de transformadas (Fourier, Chebyshev) para convertir EDPs en problemas algebraicos.