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RACIOCINIO LOGICO, DIAGRAMAS LÓGICOS O conjunto é uma noção primitiva,…
RACIOCINIO LOGICO
DIAGRAMAS LÓGICOS
O conjunto é uma noção primitiva, normalmente, é entendido como uma reunião de elementos. Os elementos de um conjunto podem ser listados dentro de um par de chaves. Vejamos exemplos:
DIAGRAMA DE VENN-EULER
O Conjunto Universo corresponde ao conjunto de todos os elementos de uma amostra
ou pesquisa.
OPERAÇÕES LÓGICAS NOS CONJUNTOS
2.1. CONJUNTO COMPLEMENTAR
O conjunto complementar de A é composto pelos elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A. As duas representações matemáticas mais comuns são . Em termos lógicos, o conjunto complementar se relaciona com o operador NÃO. O conjunto complementar pode ser entendido como não A.
• o complementar da união é a intersecção dos complementares
o complementar da intersecção é a união dos complementares.
2..2.. INTERSECÇÃO
A intersecção é normalmente associada à palavra E. A intersecção de dois conjuntos corresponde aos elementos que pertencem a todos eles simultaneamente.
“Algum B é A”.
É interessante citar que existem dois casos particulares de interseçcão que são os chamados subconjuntos. Quando dizemos: “Algum B é A” não podemos excluir as seguintes possibilidade
toda b e a/ e todo a é b
2.3. DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS
A diferença entre os conjuntos A e B, representada por ou por , é composta
pelos elementos de A que não pertencem a B.
“Algum B não é A”.
2.4. UNIÃO
A união ou reunião é normalmente associada à palavra OU
A união de dois conjuntos corresponde aos elementos que pertencem a qualquer um deles.
simbolo da intercessao ''U''
Em um conjunto pesquisado de 200 pessoas, 130 gostam de açaí e 100 gostam de graviola, qual o número mínimo de pessoas que gostam das duas matérias?
O número mínimo de pessoas que gostam das duas matérias é o número mínimo de
elementos da intersecção.
2.4.1. UNIÃO DE TRÊS OU MAIS CONJUNTOS
(A u B u C)
= Soma das Conjuntos Um a Um Conjuntos Dois a Dois + Conjuntos Três a Três
2.5. SUBCONJUNTOS
B é subconjunto de A ou B está contido em A, representado por B c A, quando todos os elementos de B pertencem também a A. Podemos, ainda, dizer matematicamente que B é subconjunto de A quando a intersecção entre os dois é o próprio conjunto B.
B c A, se B ∩ A = B
Vejamos um exemplo. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e o conjunto B = {2, 4, 6,8}. Perceba que B é um subconjunto de A
“Todo B é A”
2.6. CONJUNTOS DISJUNTOS
Os conjuntos A e B são disjuntos quando a intersecção entre eles é o conjunto vazio.
Α ∩ Β =Φ
“Nenhum A é B”,
todos os alunos de Estatística são alunos de Matemática. Em linguagem matemática; • todos os alunos de Contabilidade são alunos de Matemática e de Direito ao mesmo tempo; • algum aluno de Estatística não estuda Direito.
RELAÇÃO ENTRE PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS E
DIAGRAMAS LÓGICOS
.
3.1. PROPOSIÇÕES SUBALTERNAS
As condições para que tenhamos um par de proposição subalterna e superalterna são:
• devem possuir o mesmo sujeito e o mesmo predicado;
• devem ser ambas afirmativas ou ambas negativas;
• uma deve ser universal e a outra é particular.
EXEMPLO
“Algum Auditor é engenheiro” (subalterna)
“Todo Auditor é engenheiro” (superalterna)
Quando dissemos que “Algum Auditor é Engenheiro”, podemos garantir somente que há uma intersecção entre os dois conjuntos. Isto é, existe ao menos um elemento comum aos dois conjuntos.
3.2. PROPOSIÇÕES CONTRÁRIAS E SUBCONTRÁRIAS
Essa classificação só pode se referir a proposições que tenham o mesmo sujeito e o
mesmo predicado.
Proposições Subcontrárias: duas proposições são subcontrárias quando elas podem ser ambas verdadeiras, mas nunca ambas falsas
EXEMPLO: duas proposições particulares, sendo uma
afirmativa e outra negativa.
A: “Algum auditor é engenheiro”
B: “Algum auditor não é engenheiro”
• Proposições Contrárias: quando duas proposições categóricas não podem ser ambas
verdadeiras, mas podem ser ambas falsas.
Essa situação acontece quando se tem duas proposições universais, sendo uma afirmativa e outra negativa. Tomemos como exemplo:
EXEMPLO
“Todos os auditores são engenheiros”
“Nenhum auditor é engenheiro”
PROPOSIÇÃO
É uma sentença declarativa que pode ser julgada como VERDADEIRA
(V) ou FALSA (F), mas não como V e F simultaneamente.
Exemplos: p: O Brasil fica na América.
q: A lua é de queijo
A proposição é o elemento básico a partir do qual os argumentos são construídos, sendo também o principal objeto de estudo na lógica proposicional
proposição fechada = proposição lógica (possui valor lógico)
proposição aberta = sentença aberta (não é proposição lógica, pois possui valor indefinido)
Frases que NÃO SÃO PROPOSIÇÕES
EXCLAMATIVAS Boa sorte!
INTERROGATIVAS Que horas são?
IMPERATIVAS Estude mais.
SEM VERBO O livro de Carlos.
SENTENÇAS ABERTAS Ela é uma boa atleta.
OPTATIVAS Deus te acompanhe.
PARADOXAIS Eu estou mentindo.
Negação de proposição simples
-BNegar uma proposição lógica é mudar seu valor lógico, de verdadeiro para falso ou de falso para verdadeiro, mantendo o sentido da frase. Para se negar uma proposição simples, basta colocar o advérbio não antes do verbo principal. Se o verbo já estiver na negativa, basta retirar o não.
Simbologia: ~ ou ¬
Exemplo: Considere a proposição “p” a seguir: p: Maria é feliz. ~p: Maria não é feliz
Lei da dupla negação
A dupla negação equivale à afirmação da proposição: Exemplo de aplicação: Para a proposição:
~(~p) = p
Exemplo de aplicação: Para a proposição:
“É mentira que o Carlos não é religioso.”
Sentenças abertas
Sentença aberta é aquela que não se pode atribuir a valoração de verdadeiro ou falso. Portanto a sentença aberta não é proposição lógica.
Existem basicamente dois casos de sentença aberta:
1° caso: Uso de um pronome (ele, ela, aquele, aquela) O pronome não especifica o sujeito, ou seja, não informa explicitamente o objeto estudado.
Exemplos: a) Aquela cidade fica no RJ.
b) Ele é um bom aluno.
2° caso: variável matemática (letra substituindo número) Exemplos:
a) 2 + 2 = 4
b) x + 4 = 7: NAO É PROPOSIÇÃO
Conjunto-Verdade de uma sentença aberta
O conjunto-verdade de uma sentença aberta são os elementos que tornam a sentença verdadeira
Atenção: Se o enunciado apresentar uma variável matemática, sem um quantificador (universal ou existencial), então teremos uma sentença aberta. Se o enunciado tiver um quantificador, então teremos uma proposição lógica.
Princípios fundamentais das proposições
PRINCIPIOS DA LOGICA
PRINCIPIO DA IDENTIDADE
O QUE É VERDADERO É SEMPRE VERDADEIRO E O QUE É FALSO É SEMPRE FALSO
PRINCIPIO DO TERCEIRO EXCLUIDO
OU É VERDADE OU É FALSO, NAO HÁ UMA TERCEIRA OPÇAO
PRINCIPIO DA NAO CONTRADIÇÃO
PROPOSIÇÃO AO PODE SER VERDADEIRA
Classificação das proposições
SIMPLES OU ATOMICA
FRASE DECLARATIVA QUE POSSUI UM VERBO SSAO INDICADAS POR LETRAS MINUSCULAS DO ALFABETO
COMPOSTA OU MOLECULAR
DUAS OU MAIS FRASES DECLARATIVA LIGADAS POR UM CONECTIVO LOGICO SSAO INDICADAS POR LETRAS MAIUSCULAS DO ALFABETO
Conectivos
São operadores lógicos. Servem para unir as proposições simples, formando proposições compostas.
e /Conjunção / ∧ ;/ p ∧ q ;/ “p e q”
ou /;Disjunção/; ∨ ; p ∨ q “p ou q
ou...ou / Disjunção exclusiva/ ∨ ou ⨁ p ∨ q “Ou p ou q” / “p ou q, mas não ambos
Se ..., então ... /Condicional / ⟶ / p ⟶ q /“Se p, então q”
... se, e somente se ... / Bicondicional /⟷ / p ⟷ q / “p se, e somente se q”
Ordem de precedência dos Conectivos Lógicos
O esquema abaixo mostra que a negação tem precedência (prioridade) sobre todos os outros conectivos, depois dela vem o "e"/"ou" (entre esses dois o que vier primeiro na ordem de leitura), depois vem "se... então" e por último se encontra o de menor prioridade, o "se, e somente se".
RACIOCÍNIO SEQUENCIAL
o enunciado te fornece uma sequência e pede para você encontrar
o próximo termo.
Sequências Lineares
são aquelas que exibem uma tônica geral de comportamento,
seja ela crescente ou decrescente. Ex.: {1, 2, 3, 4, 5…}
• Sequências Circulares:
são aquelas em que o termo geral vai se repetindo.
Ex.: {1, -1, 1, -1,…}
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
os termos crescem sendo adicionados a
uma razão constante, normalmente representada pela letra r.
EXEMPLO
2, 2, 2, 2, 2, 2 – é uma progressão aritmética estacionária (r = 0);
3, 4, 5, 6, 7, 8 – é uma progressão aritmética crescente (r = 1);
5, 3, 1, -1, -3 – é uma progressão aritmética decrescente (r = -2).
1..1.. TERMO GERAL
o primeiro termo é chamado de a1. Os demais são sucessivamente chamados a2, a3,..
podemos esquematizar a seguinte
expressão para o termo geral de uma progressão aritmética.
an= a1+ (n-1)r
1..2.. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS INTERCALADAS
têm-se duas sequências intercaladas
Uma possível questão de prova seria: qual o 16º termo dessa sequência?
A forma mais simples de resolver essa questão é continuando ambas as sequências.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
cresce pela multiplicação de um termo constante, denominado razão.
Uma dica que posso dar é que sempre que vemos os termos crescendo rapidamente, devemos desconfiar da existência de uma PG. :warning:
2, 2, 2, 2, 2 é uma PG com termo inicial 2 e razão q = 1.
• 2, 4, 8, 16, 32 é uma PG com termo inicial 2 e razão q = 2.
• 27, 9, 3, 1, 1/3 é uma PG com termo inicial 27 e razão q = 1/3.
2..1.. TERMO Geral
Observe que o terceiro termo (a3) pode ser obtido pelo termo 1 multiplicando pela razão 2 vezes, ou seja, por q². Analogamente, o sexto termo (a6) pode ser obtido multiplicando pelo termo 1 multiplicando pela razão 5 vezes, isto é, por q5. Sendo assim, de maneira geral, pode-se escrever:
an= a11qn-1
2..2..SEQUÊNCIAS DE TERMO GERAL MISTO
mistura de uma PA com uma PG.
Sequências Intercaladas: trata-se de uma progressão aritmética intercalada com uma progressão geométrica. Vejamos um exemplo: {1, 1, 2, 5, 4, 9, 8, 13}
Para determinar os próximos termos, basta continuar as duas progressões
• Soma de uma PA com uma PG: essa é a situação mais comum
• Razão Mista: é comum termos uma “PG” cuja razão cresce conforme uma PA. Da mesma forma, podemos ter uma “PA” cuja razão também vai crescendo como uma PA. Vejamos exemplos dos dois casos
Sempre que temos números fracionários alternados com números inteiros, é provável que
estejamos tratando dessa situação. :warning:
Essa sequência pode parecer estranha à primeira vista. Porém, facilita muito se colocarmos
todos os termos no mesmo denominador.
SEQUÊNCIAS CIRCULARES
3..1.. RESTO DA DIVISÃO
Dividendo =Quociente x Divisor + Resto
• dividendo: é o número que está sendo dividido por outro;
• divisor: é o número que divide o dividendo;
• quociente: é a parte inteira do resultado;
• resto: é o que sobra da divisão.
3.2. COMO RESOLVER SEQUÊNCIAS CIRCULARES?
A operação resto transforma uma sequência linear qualquer em uma sequência circular
Uma típica questão de prova desse assunto colocará letras ou figuras que se repetem e perguntará qual a figura na 1000ª posição.
Para fazer esse tipo de questão, você deve associar cada elemento da sequência a um
número. Vejamos como exemplo a sequência CONCURSOCONCURSO…
Começaremos a numerar a sequência da primeira letra com o número 1. Quando a sequência começar a se repetir, devemos cortar o último número e substituí-lo por 0. O período da sequência será exatamente esse número que foi cortado. Vejamos:
No caso, o período da sequência será igual a 8.
Se a questão te perguntar qual seria o 1003º elemento dessa sequência, o trabalho a
se fazer é bastante simples. Devemos tomar a divisão de 1003 por 8.
Temos duas informações importantes:
• O quociente da divisão indica o número de repetições completas da sequência até o termo 1003;
• O resto da divisão indica a posição relativa na sequência exatamente no termo 1003.
Probabilidades
A probabilidade estuda a ocorrência de eventos incertos.
CONCEITOS BÁSICOS
1..1.. AXIOMAS DE KOLGOMOROV
• Primeiro Axioma: a probabilidade de um evento qualquer é um número real não
negativo:
P(a) ≥ 0
• Segundo Axioma: a probabilidade de todo o espaço amostral é igual a 1:
P(Ω) = 1
• Terceiro Axioma: para eventos disjuntos, a probabilidade da união é a soma das
probabilidades:
P( A U B)= P(A)+ P(B), QUANDO A ∩ B
Trata sobre a união de eventos mutuamente exclusivos, que são fruto de conjuntos disjuntos. Dois eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja intersecção é nula. Ou seja, a probabilidade de eles acontecerem simultaneamente é nula.
1..2.. CONCEITO CLÁSSICO
considera-se que todos os eventos são
equiprováveis.
P= EVETOS FAVIBILIDADESORARAVEIS / TOTAL DE POSSIBILIDADES
1..3.. CONCEITO FREQUENCIAL
QUANDO não é possível fazer a suposição
utilizamos o conceito frequencial
Usa a contagem direta dos eventos
P= DADOS DO QUER ACHA / TOTAL
CATEGORIAS ESPECIAIS DE EVENTOS
• Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos são mutuamente exclusivos quando
não podem acontecer simultaneamente.
• Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos são mutuamente exclusivos quando
não podem acontecer simultaneamente
P( A U B) = P(A)+ P(B) - P(A ∩ B)
• Eventos Independentes: dois eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não influencia na ocorrência do outro. Nesse caso, aplica-se diretamente o Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
P(A ∩ B)= P(A)+ P(B)
Eventos Complementares: dois eventos são independentes quando eles são mutuamente exclusivos e sua união corresponde ao próprio conjunto universo. Nessa situação, a probabilidade é:
P(A^c)= 1-P(A)
A técnica dos eventos complementares pode ser muito útil em diversas questões, porque, em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade complementar que calcular a probabilidade pedida diretamente.
PROBABILIDADE DA UNIÃO
Para calcular a probabilidade da união, usamos a mesma expressão do número de
elementos da união de dois conjuntos.
P( A U B) = P(A)+ P(B) - P(A ∩ B)
PROBABILIDADE CONDICIONAL
trata da dependência de eventos,Sua definição é a razão entre a probabilidade da intersecção e a probabilidade do condicionante.
P(A B)= P( A ∩ B) / P(B)
Um caso particular é quando dois eventos são independentes. Nesse caso, podemos
escrever que a probabilidade condicional é igual à própria probabilidade do evento.
probabilidade
Palavras-Chaves
OU União
E Intersecção
NÃO Complementar
Axiomas de Kolgomorov
Primeiro Axioma: a probabilidade de um evento qualquer é um número real não negativo:
P(A) ≥ 0
Segundo Axioma: a probabilidade de todo o espaço amostral é igual a 1: Ρ(Ω) = 1
Terceiro Axioma: para eventos disjuntos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades
P(AUB) = P(A) + P(B), quando A ∩ B =
Classificações Especiais
Eventos Independentes: a probabilidade da intersecção é igual ao produto das pro- babilidades
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Eventos Mutuamente Exclusivos: a probabilidade de intersecção é nula P(A∩B) = 0
Em muitas questões, podemos calcular com mais facilidade a probabilidade do evento complementar
Eventos Complementares: a soma das probabilidades é igual a 1
P(A) = 1-P(A)
Probabilidade da União de Dois Conjuntos:
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Probabilidade da União de Três Conjuntos:
P(AUBUC) = Soma das Probabilidades Um a Um -Probabilidades Dois a Dois + Probabilidade Três a Três
Probabilidade Condicional
Palavras-chaves: dado que, sabendo que definição é a razão da probabilidade da inter- secção pela probabilidade do condicionante.
P(A/B) = P(A∩B) / P(B)
Probabilidade Total: é a soma dos produtos das probabilidades condicionais pela probabi- lidade do condicionante. P(F) = P(FB).P(B) + P(FIM).P(M) + P(F/Farinha). P(Farinha)...
OPERADORES LÓGICOS FUNDAMENTAIS
1. CONJUNÇÃO (OPERADOR “E”)
é simbolizado por “∧”.
Ele cria proposições compostas e requer que
todas as proposições simples que a compõem sejam verdadeiras.
Se qualquer uma das proposições
simples que o compõem seja falsa, a proposição inteira será falsa.
somente será verdadeira se as suas duas partes forem ambas verdadeiras.
2. DISJUNÇÃO (OPERADOR “OU”)
O conectivo OU é simbolizado por “∨”.
Ele cria proposições compostas e requer que
qualquer uma
das proposições simples que a compõem seja verdadeira.
O operador OU somente será falso se todas as proposições simples que o compõem
sejam falsas.
3. NEGAÇÃO DOS OPERADORES E/OU
Leis de De Morgan
A Primeira Lei de De Morgan estabelece que a negação do operador E deve ser feita:
• trocando-se o operador E por OU;
• negando todas as proposições atômicas
a negação de uma proposição negativa deve ser feita retirando-se o não
nem e mas servem como conjunção
Por outro lado, a Segunda Lei de De Morgan estabelece que a negação do operador OU deve ser feita:
• trocando-se o operador OU por E;
• negando todas as proposições atômicas.
proposições negativas
onde houver ""NÃO" RETIRA- SE O NAO
onde houver Não tiver "NÃO" COLOCA-SE
nem e mas servem como conjunção
3..1.. NEGAÇÃO ENVOLVENDO PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Pela Lei de De Morgan, devemos trocar OU por E, além de negar ambas as proposições atômicas constituintes da proposição composta global.
A negação de uma sentença Universal Afirmativa é uma sentença Particular Negativa
A negação de uma sentença Universal Negativa é uma sentença Particular Afirmativa
4. PROPRIEDADES ARITMÉTICAS
As propriedades aritméticas ou matemáticas são chamadas assim porque lembram bastante operações matemáticas. Para compreendê-las melhor, podemos fazer as seguintes analogias:
principais
Comutativa:
válida tanto para o operador E como para o operador OU, ela significa que podemos trocar a ordem das sentenças.
Em linguagem verbal, podemos dizer que são equivalentes as proposições: “Catarina não é recifense e Pedro é paulista” e “Pedro é paulista e Catarina não é recifense”.
Distributiva:
ela é válida quando o operador E está fora do parênteses e o operador OU dentro do parêntese
E = X
OU = +
5. CONCLUSÕES LÓGICAS COM E E OU
5..1.. REDUÇÃO DO OPERADOR "E"
Se uma proposição composta pelo operador E é verdadeira, podemos concluir que cada
uma de suas proposições atômicas que estão contidas nela é verdadeira.
5..2.. OPERADOR OU
Quando o operador OU é verdadeiro, pelo menos uma de suas proposições atômicas deve ser verdadeira. Se sabemos que uma delas é falsa, podemos concluir que a outra é verdadeira
5..3.. REDUÇÃO DO OPERADOR OU FALSO
Quando o operador OU é falso, podemos concluir que todas as suas proposições atômicas são falsas.
5..4.. OPERADOR E FALSO
Quando o operador E é falso, sabemos que alguma de suas proposições atômicas é falsa
2.. OUTROS OPERADORES LÓGICOS
2.1. NÚMERO DE LINHAS DE TABELAS-VERDADE
Se uma proposição composta apresenta
"n"proposições atômicas, então a tabela-verdade terá 2n linhas.
2.2. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU…MAS NÃO AMBOS)
O operador OU… MAS NÃO AMBOS se diferencia do operador OU convencional, porque ele não aceita que todas as proposições atômicas que o componham sejam verdadeiras.
Pode-se usar tanto o símbolo ⊕ como o símbolo ⊻ (o mesmo símbolo do operador OU, porém sublinhado).
2.3. BICONDICIONAL (SE… E SOMENTE SE)
Sendo assim, o operador bicondicional exige que as duas proposições atômicas que
o componham tenham o mesmo valor lógico.
quando ele é verdadeiro, uma
proposição vale como definição para outra.
Para a prova, guarde a informação de que o operador bicondicional exige que as duas proposições atômicas que o componham tenham o mesmo valor lógico.
a negação de qualquer um dos dois pode ser feita passando uma negação
para dentro dos parêntese
A negação do operador “ou… ou” é o operador “se… e somente se”
2..4.. PROPRIIEDAADES DO OU E EXCLUSIIVO E DO BICONDICNAL
um é a negação do outro; Desse modo, a negação do OU Exclusivo é o Bicondicional, e a negação do Bicondicional é o OU Exclusivo.
3.. PORCECENTAGEM
3..1.. VARIAÇÃO PERCENTUAL
A variação percentual avalia o aumento ou redução de uma grandeza em relação ao seu valor inicial. Esse é um ponto em que devemos prestar muita atenção: a referência é o valor inicial.
A variação percentual avalia o aumento ou redução de uma grandeza em relação ao seu valor inicial. Esse é um ponto em que devemos prestar muita atenção: a referência exé o valor inicial.
VARIAÇÃO PERCENTUAL= VALOR FINAL - VALOR INICIAL / INICIAL
Variação Percentual Positiva
• Houve crescimento percentual
Variação Percentual Negativa
• Houve redução percentual
a porcentagem corresponde a uma fração, cujo denominador é 100
A porcentagem traz uma relação entre uma parte e um todo. Por quanto corresponde
3..2.. PORCENTAGEM DE PORCENTAGEM
Uma porcentagem de uma porcentagem se torna uma multiplicação
Medidas de Posição
MÉDIA ARITMÉTICA
soma os valores e divide pela quantdade de valores
1..1.. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
devemos multiplicar as observações (
1..2.. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS CATEGORIZADOS
1..2.. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS CATEGORIZADOS
a técnica do ponto médio,
que consiste em supor que todas as observações de uma determinada categoria podem ser colocadas no ponto médio da respectiva classe.
O ponto médio de uma classe corresponde à média aritmética dos seus extremos.
RESUMO DA ÓPERA
Para dados em rol
Soma tudo e divide pela quantidade de termos
Para dados em tabela . Utilizar as frequências como pesos.
Para dados categorizados Utilizar o ponto médio de cada categoria.
MEDIANA
dispor em ordem crescente todos os elementos da amostra. Escolhe-se como a mediana o valor que divide a amostra em duas partes de tamanho igual, de modo que o número de elementos inferiores à mediana é igual ao número de elementos superiores à mediana.
Quando a amostra é formada por uma quantidade ímpar de termos, a mediana
corresponderá exatamente a um elemento da amostra. Vejamos um exemplo:
Vejamos um exemplo:
{23, 27, 29, 31, 40, 46, 48}
Essa amostra tem 7 elementos, que é um número ímpar. A mediana será igual ao termo
central que é:
a amostra possui uma quantidade par de termos, a mediana corresponderá à média aritmética dos dois termos centrais
md=x3 + x4/ 2
2..1.. MEDIANA EM DADOS CATEGORIZADO
técnica de
interpolação linear.
procurar pdf
MODA
o valor observado mais frequente da amostra
Quando os dados de uma amostra são apresentados na forma de um rol, basta contar
cada um deles
3..1.. MODA DE CZUBER
dados categorizados,
O primeiro passo para determinar a moda de Czuber dessa distribuição é determinar a classe modal, que é a classe com a maior frequência
ROBUSTEZ X SENSIBILIDADE
A média aritmética é sensível a valores atípicos (outliers). Já a mediana e a moda são
estimativas robustas.
Perceba que, quando existem outliers, a média pode ser bastante enganosa
1.. RAZÃO E PROPORÇÃO
razão = fração
Essas proporções devem ser lidas, respectivamente, como “1 está para 3” e “3 está para 5”.
NUMERADOR = NUMERO DE CIMA
DENOMINDADOR= NUMERO DE BAIXO
proporção= igualdade entre razões.
Diz-se que “1 está para 3 assim como 2 está para 6”.
variável incógnita
resolvida pelo meio pelos extremos
Se o termo estiver no numerador, ele passará ao denominador;
• Se o termo estiver no denominador, ele passará ao numerador
O meio pelos extremos é a técnica mais importante de resolução de problemas de Razão e Porcentagem. Absolutamente tudo pode ser resolvido por ela.
1..1.. ESCALA de mapas
1..2.. PREÇO POR QUILO
1.3 propriedades das proporções
É possível fazer muitas manipulações com os números de uma proporção.
Somas Externas: é possível somar os numeradores e os denominadores da proporção. Essa soma ainda preserva a proporção original
resolver questões envolvendo Regra da
Sociedade.
1..4.. REGRA DA SOCIEDADE
1.4.1. COM GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Resumindo: quando se deseja dividir uma quantia em números inversamente proporcionais, precisamos:
Escrever que os produtos entre os quinhões a que faz jus cada participação e os números fornecidos são iguais;
Dividir os produtos escritos acima pelo MMC.
Resolver o problema de razão e proporção usando a propriedade das somas externas.
• Somas Internas: é possível somar o numerador no denominador. Nesse caso, a
proporção original não se preserva
Soma com Produto por Escalar: é possível multiplicar o numerador ou o denominador
por um número real qualquer e efetuar as somas internas
É importante destacar
que as mesmas operações devem ser feitas em ambos os lados da proporção
1..1.. ESCALA de mapas
Números Reais e Inteiros
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
3..1.. NOTAÇÃO CIENTÍFICA
A notação científica é uma forma sintética de escrever números muito grandes e muito pequenos aproveitando as propriedades das potências de 10. Sempre que multiplicamos um número por uma potência de 10n, estamos colocando mais n zeros ao nosso número ou deslocando a vírgula n casas para a direita. Vejamos alguns exemplos
Por outro lado, quando multiplicamos um número por uma potência de 10-n, ou seja, uma potência com expoente negativo, estamos deslocando a vírgula n casas para a esquerda. Vejamos alguns exemplos:
3..2.. UNIDADES BÁSICAS DO SI
• comprimento: metro (m);
• tempo: segundo (s);
• massa: quilograma (kg)
3..3.. CONVERSÃO ENTRE UNIDADES DE TEMPO
3.4.1. UNIDADES DE ÁREA E VOLUME
3..4.. CONVERSÃO ENTRE UNIDADES DE MASSA E COMPRIMENTO
3.4.1. UNIDADES DE ÁREA E VOLUME
3.4.2. LITRO
ORIENTAÇÃO TEMPORAL E ESPACIAL
RELÓGIO
O relógio marca o tempo ao longo de um dia.
1 dia tem 24 horas;
• 1 hora tem 60 minutos;
• 1 minuto tem 60 segundos.
Suponha que desejamos converter 32.000 segundos para minutos. Como 1 minuto tem
60 segundos, devemos efetuar a divisão.
A divisão de 32.000 por 60 produz quociente igual a 533 e deixa resto 20. Isso significa
que, em 32.000 segundos, há 533 minutos completos e restam 20 segundos. Desse modo:
CALENDÁRIO
O principal problema relacionado ao calendário consiste em qual dia da semana cairá uma data futura
2..1.. SEMANA
As semanas são períodos de 7 dias. É importante destacar que os dias da semana se repetem continuamente a cada 7 dias, não havendo exceções.
Como exemplo, suponha que hoje é sexta-feira; qual dia da semana será daqui a 90 dias?
se hoje é sexta-feira, qual dia da semana foi há 30 dias?
Para isso, devemos utilizar mais uma vez o resto da divisão, mas, nesse caso, a contagem deve ser feita de trás para frente. Vejamos:
contagem em dias úteis.
2..2.. MÊS
Os meses podem ser de 30 ou 31 dias, sendo o mês de fevereiro o único que possui 28
ou 29 dias, dependendo do ano.
descobrir os meses que possuem 30 ou 31 dias
Suponha que hoje é 26 de junho. Que dia será daqui a 70 dias? Para isso, vamos
registrar a quantidade de dias dos próximos meses
2..3.. ANO
O ano civil é composto geralmente por 365 dias. Porém, há exceções, que são os chamados anos bissextos, que possuem 366 dias. Nos anos bissextos, o mês de fevereiro possui 29 dia
• regra geral: anos divisíveis por 4 são bissextos;
• exceção: anos divisíveis por 100 não são bissextos;
• exceção da exceção: anos divisíveis por 400 são bissextos.
EXEMPLO
ORIENTAÇÃO ESPACIAL
PDF AREA DE TRABALHO
3..1.. PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano é formado por um par de retas perpendiculares entre si. Normalmente, essas retas são denominadas x e y. Nas questões de prova desse assunto, geralmente, o eixo x é chamado de LESTE e o eixo y de NORTE.
3..2.. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distância entre dois pontos (d) é obtida diretamente pelo famoso Teorema de Pitágoras. É expressa por
d ^ 2 = (Delta
x) ^ 2 + (Delta
y) ^ 2
ANÁLISE COMBINATÓRIA
se destina à contagem
de elementos.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
“Se um processo tem duas etapas, em que a primeira etapa pode ser feita de m formas, E a segunda etapa pode ser feita de n formas, o processo total pode ser feito de m.n formas.” O Princípio Fundamental da Contagem estabelece que, se você tem 2 calças e 3 camisas, você pode se vestir – isto é, colocar uma calça E uma camisa – de 2.3 = 6 maneiras diferentes. Daqui a pouco, você vai entender porque destacamos o E.
E -------> MULTIPLICA
OU -----> SOMA
1..1.. PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS
Se existem m objetos para serem guardados em n gavetas, sendo m > kn, então pelo menos uma gaveta terá mais de k objetos.
Não é possível garantir que:
• Há duas gavetas com mais de uma camisa
• Todas as gavetas têm, pelo menos, uma camisa
• Existe uma gaveta com duas camisas
1..2.. PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO
o número de elementos do evento complementar. Então, o número de combinações possíveis pode ser calculada como o total de combinações menos as combinações proibidas.
1..3.. UNIÃO DE EVENTOS
comando a que você deve estar atento é o OU.
(A U B) = A+ B - (A∩B)
PERMUTAÇÕES
Uma permutação de elementos consiste em simplesmente trocar a ordem em que eles
aparecem.
anagrama
é uma palavra que pode ser obtida a partir de outra por meio de trocas nas posições das letras. A palavra formada não precisa existir no vocabulário
ter todas as mesmas letras da palavra original
e na mesma quantidade.
2.1. NÚMEROS FATORIAIS
• n! representa o produto de todos os números naturais de 1 a n;
• n! contém todos os fatoriais de números anteriores. Por exemplo, em 5!, podemos enxergar
Dessa maneira, um fatorial de um número maior sempre é divisível pelo fatorial deum número menor.
2..2.. PERMUTAÇÕES SEM REPETIÇÃO
Quando temos uma fila de n elementos todos diferentes, o número de permutações
é dado po
Pn = N!
2..3.. PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO
á vimos que a permutação de n elementos sem repetição é igual a n! No caso de haver
repetições, precisamos descontar as permutações dos elementos repetidos. Então, teremos:
Pkn= n! / k!
K NUMERO TOTAL DE LETRAS E N NUMERO DE REPETIÇOES
use essa formula quaestoes em que buscam fromas de chegar em um local FGV :warning:
2..4.. PERMUTAÇÕES CIRCULARES
não existe o primeiro e o último termo
O número de permutações circulares sem
repetição de n elementos é:
PC= N! / N = ( N-1)
ARRANJOS E COMBINAÇÕES
escolher k elementos num total de n.
ORDEM IMPORTA?
SIM: ARRANJO
NÃO: COMBINAÇÃO
3..1.. ARRANJOS
Um arranjo consiste em escolher k elementos num total de n, importando a ordem
Akn= n! / (n-k)!
3..2.. COMBINAÇÕES
Uma combinação consiste em escolher k elementos num total de n, sem importar a ordem.
a palavra “Combinãoções”, para memorizar que na combinação a ordem não importa. Nunca mais confundi combinação com o arranjo. :warning:
Ckn= Akn / k! = n! / k! (n - k)!
. É chamada de “combinação de n elementos
k a k” ou ainda de “binomial de n k a k”.
O número máximo de peças desse conjunto é (USAR ESSA FORMULA ) FGV :warning:
Operador Condicional
1.CONDICIONAL (SE.. ENTÃO)
e a proposição antecedente (a primeira) estabelece uma condição para a ocorrência da segunda, que também pode ser chamada de consequente
exemplo: “SE cair Matemática na prova, ENTÃO eu vou acertar tudo”, existem duas possibilidades: cai Matemática ou não cai Matemática.
Se cair Matemática, então, necessariamente, eu tenho que acertar tudo. Por outro lado, se não cair Matemática,
não importa
o que acontece.
Assim, se não cair Matemática na prova, ou seja, se a proposição antecedente for falsa,o condicional
será sempre
verdadeiro.
Por outro lado, se cair Matemática na prova, então, necessariamente, você tem que acertar tudo. Caso contrário, o condicional será falso.
1.1 NEGAÇÃO
o operador condicional SOMENTE É FALSO quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa.
Regra da Traição
A negação do CONDICIONAL é “fica com a primeira e nega a segunda”
1.2. DEDUÇÕES LÓGICAS
Modus Ponens
(vai afirmando): em latim, significa “a maneira que afirma afirmando”. No modus ponens, temos que a afirmação da primeira proposição (antecedente) implica na afirmação da segunda (consequente).
Memorize o modus ponens como vai afirmando.
Podemos apenas ir afirmando ou voltar negando.
Não podemos fazer nenhuma dedução do tipo vai negando nem volta afirmando.
Modus Tollens
(volta negando): o argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se...então, nomeadamente, p implica q. A segunda premissa é que q (proposição consequente) é falsa. Dessa maneira, podemos concluir que p deve ser falsa.•
Memorize o modus tollens como volta negando
1.3. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
1.3.1. RELAÇÃO COM O OPERADOR ''OU''
nega a primeira ou afirma a segunda
1.3.2. INVERSÃO ( EQUIVALENTE
LÓGICA CONTRAPOSITIVA.)
negamos as proposições e as invertemos
1.3.3. PROPRIEDADE TRANSITIVA
o encadeamento de dois condicionais:
1..4.. NECESSIDADE E SUFICIÊNCIA
a proposição antecedente no Operador Condicional afirmativo é sempre
uma condição suficiente.
Considere dois eventos A e B. A é uma condição SUFICIENTE para B quando o fato de A ter acontecido implica necessariamente na ocorrência de B. Pode-se escrever que A → B
1.4.1. OUTRAS FORMAS DE ESCREVER “SE… ENTÃO”
O conectivo “desde que” é muito utilizado em questões de prova. Ele deve ser entendido como um “SE invertido”.
o “desde que” indica uma condição necessária.
O conectivo “pois” também pode ser usado. Em termos lógicos, ele pode ser entendido
como um “SE”.
1..5.. RELAÇÃO COM OS QUANTIFICADORES UNINIVERSAIS
O quantificador TODOS se relaciona a uma condição suficiente
o quantificador NENHUM se relaciona a uma condição suficiente para a negação.
exemplo
EXEMPLO Considere a sentença “Todos os juízes são formados em Direito”, temos que “ser formado em Direito” é uma condição NECESSÁRIA para ser um juiz. Vejamos, se Paulo é formado em Direito, não há nenhuma garantia de que ele seja um juiz. Por isso, “ser formado em Direito” não é uma condição suficiente para ser um juiz. Por outro lado, se Bruno é juiz, então é garantido que ele é formado em Direito. Portanto, o fato de “Bruno é juiz” é uma condição SUFICIENTE para ser formado em Direito. Como já vimos que a relação de necessidade e suficiência é invertida, temos que “ser formado em Direito” é uma condição necessária para ser um juiz. Podemos, portanto, escrever que:
2.. REGRA DE TRÊS
2..1.. REEGRA DE TRÊ SIIMPLES
• Grandeza Dependente: é aquela cujo valor se deseja calcular a partir da grandeza explicativa;
Grandeza Explicativa ou Independente: é aquela utilizada para calcular a variação
da grandeza dependente.
proporcionalidades
• Grandezas Diretamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza implica o
aumento da outra;
• Grandezas Inversamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza implica a
redução da outra
2..2.. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A Regra de Três Composta envolve mais de duas variáveis
As análises devem, sempre, partir da variável dependente em relação às outras variáveis;
As análises devem ser feitas individualmente, isto é, deve-se comparar as grandezas duas a duas, mantendo as demais constantes;
A variável dependente( VALOR QUE VOCE TA TENTANDO ENCONTRAR) fica isolada em um dos lados da proporção
Números Reais e Inteiros
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1..1.. NÚMEROS NATURAIS
São os números utilizados para contar
O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Isso significa que a soma de dois números naturais é sempre um número natural e que o produto de dois números naturais é sempre um número natural
fatoração.( como se fosse mmc)
1..2.. NÚMEROS INTEIROS
s é mais amplo do que o conjunto dos números naturais, incluindo também o zero e os números negativos.
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação à adição, à subtração e à
multiplicação
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação à adição, à subtração e à
multiplicação
1.2.1. SUBCONJUNTOS IMPORTANTES
O zero (0) não é considerado nem positivo nem negativo. Quando esse elemento for excluído de qualquer conjunto numérico, este costuma ser assinalado com asterisco (*).
• inteiros positivos: são os inteiros maiores que zero:
• inteiros não negativos: são os inteiros maiores ou iguais a zero;
• inteiros negativos: são os inteiros menores que zero;
• inteiros não positivos: são os inteiros menores ou iguais a zero;
1..3.. NÚMEROS PRIMOS
Um número é primo quando só é divisível por 1 e por ele próprio. Como exemplo, temos o número 2, que é divisível apenas por 1 e por 2.
todos os números primos até 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
1.3.1. COMO RECONHECER SE UM NÚMERO É PRIMO?
testando os números primos anteriores a ele. Além disso, não precisamos testar um grande número de primos – podemos parar na raiz quadrada daquele número.
1..4.. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
qualquer número natural pode ser decomposto em fatores primos, ou seja, um número qualquer N pode ser decomposto da seguinte forma:
fatoração.( como se fosse mmc)
1.4.1. CONJUNTO DE DIVISORES
Um divisor de um número é aquele que o divide sem deixar resto
Uma questão muito comum em provas consiste em saber quantos divisores possui um determinado número. Para isso, podemos utilizar a sua própria fatoração
Como obter os divisores de um número inteiro
1.4.2. QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Se a fatoração de um número qualquer for , a quantidade de divisores é obtida como o produto dos expoentes acrescidos de 1. Matematicamente, podemos escreve
1..5.. MMC E MDC
MMC: Mínimo Múltiplo Comum
O MMC é dado pelos máximos expoentes encontrados,
MDC: Máximo Divisor Comum
já o MDC é dado pelos mínimos
expoentes encontrados para cada fator primo.
como obter o MMC e o MDC
• Fatorações separadas:
A vantagem de fazer a fatoração separada é que obtemos o MMC e o MDC ao mesmo tempo.
Fatoração conjunta: fatorar os dois números ao mesmo tempo.
Para obter o MDC, devemos fazer a fatoração somente enquanto todos os números
forem divisíveis pelo fator primo.
1.5.1. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Obs.: Dois números são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1.
Por exemplo, 4 e 15 são primos entre si. Eles não possuem nenhum fator primo em comum. Note que: Como 4 e 15 não possuem fatores primos em comum, o MDC entre eles é igual a 1. Observe que nenhum desses números é primo, porém eles são primos entre si.
NÚMEROS RACIONAIS
Um número x é racional quando pode ser escrito da seguinte forma: x=p/q
Em outras palavras, os números p e q devem atender: • p e q são inteiros e q não pode ser igual a 0; • p e q são primos entre si. Dessa maneira, os números racionais correspondem #às frações.
2..1.. FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS
Uma fração é irredutível quando o numerador e o denominador são primos entre si,
ou seja, o MDC entre eles é igual a 1.
Quando uma fração não é irredutível, podemos simplificá-la. Basta, para isso, dividir
numerador e denominador pelos fatores primos em comum.
2..2.. SOMA E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
A soma e a subtração de frações devem ser feitas sempre com o mesmo denominador. Quando as frações possuem o mesmo denominador, você deve conservar o denominador e somar ou subtrair os numeradores.
que se deve fazer quando os numeradores são diferentes?
• Quando os denominadores são muito simples, fazemos o produto cruzado:
Nesse caso, fazemos o produto cruzado, ou seja, no denominador, tomamos o produto dos denominadores, isto é, 4.5 = 20. Nos numeradores, o numerador de cada fração será multiplicado pelo denominador da outra:
• Quando os denominadores são mais complicados, vale a pena recorrer ao MMC entre
eles a fim de facilitar as contas
2..3.. MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
multiplicar os numeradores e os
denominadores isoladamente
Nesse caso, fazemos o produto cruzado, ou seja, no denominador, tomamos o produto dos denominadores, isto é, 4.5 = 20. Nos numeradores, o numerador de cada fração será multiplicado pelo denominador da outra:
2..4.. DIVISÃO DE FRAÇÕES
A divisão de frações é feita da seguinte forma:
• conserva-se a primeira fração;
• multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda
– o inverso significa trocar denominador com numerador da segunda fração:
2..5.. NÚMEROS MISTOS
Nesse caso, separa-se em parte inteira e fracionária. Escreve-se, por exemplo, o número 2½. Isso significa: 2½ = 2 + ½ = 2,5
3¾ = 3 + ¾ = 3,75
2..6.. DÍZIMAS PERIÓDICAS
As dízimas periódicas são números que possuem representação décima infinita, porém
periódica, isto é, os termos se repetem.
tranforma dizima em em fração
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Geometria Plana
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CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é o conjunto de todos o
circunferência: é o perímetro (mostrada à esquerda);
círculo: é a área delimitada pela circunferência (mostrado à direita).
o perímetro da circunferência: ;C = 2 TT r
a área da circunferência: .
s= TT ^2
2..1.. ÁREAS NO CÍRCULO
• Setor Circular: é limitado por dois raios e um arco, formando um ângulo central.
MATRIZES E DETERMINANTES
a forma de dispor números na forma de uma tabela com linhas e colunas
ELEMENTOS BÁSICOS
1..1.. ORDEM
A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas e colunas que ela possui.
A2x3, queremos dizer que A possui duas linhas e três colunas. É sempre assim: primeiro o número de linhas, depois o número de colunas
matrizes quadradas, que são aqueles em que o
número de linhas é igual ao número de colunas
1..2.. ELEMENTO
O elemento de uma matriz é identificado pela linha e pela coluna em que se localiza
1..3.. SOMA DE MATRIZES
só pode ser feita entre duas matrizes de mesma ordem produzindo uma nova matriz de mesma ordem
A soma é feita elemento a elemento. Qualquer elemento da matriz C é igual à soma dos elementos das matrizes A e B que estejam na linha e coluna correspondentes. Vejamos um exemplo para ficar mais claro:
1..4.. PRODUTO DE MATRIZES
nem sempre é compatível.
É necessário que as matrizes tenham dimensões apropriadas.
precisamos que o número de colunas da
matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B.
o produto de matrizes, em regra, não é comutativo. Ou seja, o produto
AB é diferente de BA, na maioria dos casos
é possível que o produto AB exista, mas não exista o produto BA.
multiplicamos
os elementos da primeira linha de A pelos elementos da segunda coluna de B.
1.4.1. MATRIZ IDENTIDADE
1.4.2. MATRIZ INVERSA
1..5.. MATRIZ TRANSPOSTA
1.5.1. PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA
soma= (A+B)= A'+B
produto=(AN)'= B'A'
1.5.2. MATRIZ SIMÉTRICA E ANTISSIMÉTRICA
Uma matriz quadrada é simétrica quando é igual à sua transposta
antissimétrica: Todos os elementos da diagonal principal são nulos; Os elementos diametralmente opostos à diagonal principal são simétricos;
DETERMINANTE
somente se aplica a matrizes quadradas.
2..1.. PRINCIPAIS DETERMINANTES
2.1.1. MATRIZ TRIANGULAR
r tem todos os elementos de um lado acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. O seu determinante é simplesmente o produto de todos os elementos da diagonal principal.
2.1.2. MATRIZ 2X2
O determinante de uma matriz 2x2 pode ser calculado como o produto dos elementos
da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
2.1.3. MATRIZ 3X3
calculados pela Regra de Sarrus
• Duplicar as duas primeiras colunas ao lado da terceira;
• Multiplicar os elementos da diagonal principal e das duas paralelas a ela com sinal positivo
• Multiplicar os elementos da diagonal secundária e das duas paralelas a ela com sinal negativo
2..2.. PROPRIEDADES DO DETERMINANTE
2.2.1. TEOREMA DE BINET
det(AB)= DET(A). DET( B)
-
o determinante da potência
det(A^n) = ( detA)^n
2.2.2. PRODUTO POR ESCALAR
Quando multiplicamos uma linha ou coluna da matriz por uma constante qualquer, o
seu determinante também fica multiplicado por essa mesma constante.
Por outro lado, quando uma matriz é multiplicada por um escalar (um número real
qualquer), o seu determinante ficará multiplicado seguindo a regra:
det(KA)= K^n det(A)
2.2.3. REGRA DE JACOBI
o determinante não se altera quando é feita uma alteração na matriz, de modo que uma linha ou coluna seja somada ou subtraída a qualquer outra linha ou coluna da matriz. V
tomamos a primeira linha e a subtraímos da segunda e da terceira linhas.
Ao fazer isso, o determinante não se altera.
Números Reais e Inteiros
NÚMEROS REAIS
4..1.. FECHAMENTO
Por definição, o conjunto dos números reais é fechado quanto às operações de adição, subtração e multiplicaçãO
orém, como mostramos que não é possível realizar a divisão por zero, temos que o
conjunto dos números reais não é fechado quanto à divisão.
não é fechado quanto às operações
de potenciação e radiciação
No entanto, o conjunto dos reais positivos ℝ* + é, sim, fechado quanto às operações de potenciação e radiciação.
4..2.. RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES
Quando o denominador é formado por uma raiz quadrada, podemos simplesmente
multiplicar pela raiz que está no denominador
Funções do 1º e 2º Graus
FUNÇÕES DO 1º GRAU
1..1.. CONCEITOS BÁSICOS
estabelece uma relação entre os elementos de dois conjuntos. De modo geral, temos:
f: A ---> B
y = f (x)
a primeira lê-se '' f de A em b"
descrições iguais da mesma função:
1.1.1. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM
Você pode entender, de uma maneira, uma função como uma máquina em que você entrega um número (x) e ela produz um resultado (y)
PDF SALVO NA AREA DE TRABALHO
domínio (A): são as entradas da função, isto é, é o conjunto para o qual os valores da função são calculados, ou seja, os valores de x.
• contradomínio (B): é o conjunto em que podem ser encontradas as saídas da função, isto é, seus resultados calculados, ou seja, os valores de y.
• imagem: é o subconjunto do contradomínio que possui termos associados no domínio.
1.1.2. DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
impedimentos ppara que um elemento pertença ao domínio de
uma função são
impedimentos ppara que um elemento pertença ao domínio de
uma função são
exclusão do dominio
denominador igual a 0
Numero negativo dentro do radical de indice Par
as radiciações de índice de par só podem ser
tomadas de números positivos.
1.1.3. FUNÇÃO INJETORA
“A função de x1 é igual
à função de x2 se, e somente, se x1 for igual a x2.
f(x1) = f(x2) X1=X2”
1.1.4. FUNÇÃO SOBREJETORA
Momentos de Variáveis Aleatória
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