4.2 UN MÓN ALEATORI

Tipus d'experiments

Determinista

Aleatori

Se'n pot predir el resultat

No se'n pot predir el resultat.

Es pot dur a terme les vegades que vulguem.

Espai mostral (E)

Resultats possibles d'un experiment aleatori.

Experiments compostos. Tècniques de recompte

Experiment compost

Experiment format per més d'un experiment simple

Tècniques de recompte

Diagrames d'arbre

Taules de doble entrada

Successos

És qualsevol subconjunt de l'espai mostral

Un succès compost és el que està format per més d'un resultat.

L'espai mostral E també s'anomena succés segur

Cadascun dels resultats posibles s'anomena succés elemental

El succés imposible és el que no es realitza mai. Es representa amb el símbol Ø

L'espai de successos d'un experiment aleatori està format per tots els successos d'aquest experiment. Si l'espai mostral està format per n elements, de l'espai de successos estarà format per 2n elements

Operacions amb successos

La unió de successos A U B és el succés que es produeix quan es verifiquen A, B o tots els dos. Està formt per tots els elements de A i B.

La intersecció de successos A ∩ B és el succés que es produeix quan es verifiquen alhora els dos successos, A i B. està format pels elements comuns de A i de B

Dos successos A i B són compatibles si A ∩ B ≠ Ø

Dos successos A i B són incompatibles si A ∩ B = Ø

El succés contrari o complementari d'un succés A, Ã o Ac, és el que es verifica quan no es compleix A. Està format pels elements de l'espai mostral que no són a A. Compleix:

A ∩ Ã = Ø

A U Ã = E

Probabilitat d'un succés. Regla de Laplace

La propbabilitat d'un succés A, que es designa amb P(A), és el nombre al qual s'aproxima la freqüència relativa de A en repetir l'experiment indefinidament.

La probabilitat del succés imposible és 0

La probabilitat del succés segur és 1

És un nombre comprès entre 0 i 1

Si en un experiment aleatori tots els successos tenen la mateixa probabilitat es diu que ón equiprobables.

Si en un experiment aleatori els successos elementals són equiprobables, la probabilitat del succés A es pot calcular amb la regla de Laplace:

IMG_0414

Probabilitar del succés contrari

La probabilitat del succés contrari de A és P(Ã)=1-P(A)

Probabilitat de la unió de successos

La probabilitat de succesos depèn de si són incompatibles o compatibles.

Si A i B són successos incompetibles, és a dir A ∩ B= Ø, es verifica que:

Si A i B són successos compatibles, es a dir A ∩ B ≠ Ø, és verifica que:

IMG_0415

IMG_0418

Regla del producte

La regla del produce indica que la probabilitat d'un succés en un experiment compost és el producte de les probabilitats de les branques del diagraa d'arbre que formen el succés-

Successos dependents i independents

Dos successos són dependents quan la relització del segon està condicionada pper la realització del primer. En cas contrari, són independents

Factorial del nombre

El factorial d'un nombre natural n es representa per n i és el nombre

IMG_0420

Permutacions

Les permutacions de n elements són les diferent maneres d'ordenar els n elements d'un conjunt. El nombre de permutacions es representa per Pn i és igual al factorial de n.

IMG_0421

Probabilitat experimental

La probabilitat experimental d'un succés és el nombre al qual s'aproxima la seva freqüència relativa quan es repereix l'experiment moltes vegades.