4.2 UN MÓN ALEATORI
Tipus d'experiments
Determinista
Aleatori
Se'n pot predir el resultat
No se'n pot predir el resultat.
Es pot dur a terme les vegades que vulguem.
Espai mostral (E)
Resultats possibles d'un experiment aleatori.
Experiments compostos. Tècniques de recompte
Experiment compost
Experiment format per més d'un experiment simple
Tècniques de recompte
Diagrames d'arbre
Taules de doble entrada
Successos
És qualsevol subconjunt de l'espai mostral
Un succès compost és el que està format per més d'un resultat.
L'espai mostral E també s'anomena succés segur
Cadascun dels resultats posibles s'anomena succés elemental
El succés imposible és el que no es realitza mai. Es representa amb el símbol Ø
L'espai de successos d'un experiment aleatori està format per tots els successos d'aquest experiment. Si l'espai mostral està format per n elements, de l'espai de successos estarà format per 2n elements
Operacions amb successos
La unió de successos A U B és el succés que es produeix quan es verifiquen A, B o tots els dos. Està formt per tots els elements de A i B.
La intersecció de successos A ∩ B és el succés que es produeix quan es verifiquen alhora els dos successos, A i B. està format pels elements comuns de A i de B
Dos successos A i B són compatibles si A ∩ B ≠ Ø
Dos successos A i B són incompatibles si A ∩ B = Ø
El succés contrari o complementari d'un succés A, Ã o Ac, és el que es verifica quan no es compleix A. Està format pels elements de l'espai mostral que no són a A. Compleix:
A ∩ Ã = Ø
A U Ã = E
Probabilitat d'un succés. Regla de Laplace
La propbabilitat d'un succés A, que es designa amb P(A), és el nombre al qual s'aproxima la freqüència relativa de A en repetir l'experiment indefinidament.
La probabilitat del succés imposible és 0
La probabilitat del succés segur és 1
És un nombre comprès entre 0 i 1
Si en un experiment aleatori tots els successos tenen la mateixa probabilitat es diu que ón equiprobables.
Si en un experiment aleatori els successos elementals són equiprobables, la probabilitat del succés A es pot calcular amb la regla de Laplace:
Probabilitar del succés contrari
La probabilitat del succés contrari de A és P(Ã)=1-P(A)
Probabilitat de la unió de successos
La probabilitat de succesos depèn de si són incompatibles o compatibles.
Si A i B són successos incompetibles, és a dir A ∩ B= Ø, es verifica que:
Si A i B són successos compatibles, es a dir A ∩ B ≠ Ø, és verifica que:
Regla del producte
La regla del produce indica que la probabilitat d'un succés en un experiment compost és el producte de les probabilitats de les branques del diagraa d'arbre que formen el succés-
Successos dependents i independents
Dos successos són dependents quan la relització del segon està condicionada pper la realització del primer. En cas contrari, són independents
Factorial del nombre
El factorial d'un nombre natural n es representa per n i és el nombre
Permutacions
Les permutacions de n elements són les diferent maneres d'ordenar els n elements d'un conjunt. El nombre de permutacions es representa per Pn i és igual al factorial de n.
Probabilitat experimental
La probabilitat experimental d'un succés és el nombre al qual s'aproxima la seva freqüència relativa quan es repereix l'experiment moltes vegades.