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TFM: Estrategias para la resolución de problemas algebraicos, ENFOQUE ONTO…

- - - - Aprendizaje positivo centrado en un estudiante ACTIVO
      - Estándares basados en tecnología
        
        Imágenes visuales
        
        Mayor entendimiento en geometría, estadística, números...
        
        Mejor organización
    - - Semipresencial
      - Audio y vídeo en casa
      - Discusión en clase
      - Requisitos
        
        Flexibilidad de entorno
        
        Cambio de "cultura": aprender es más que estar encerrando aguantando una charla
        
        Pensamiento cuidadoso en el reparto del temario
        
        Educador bien preparado y profesional, que use correctamente los tiempos y las preguntas
        
        Un rol muy distinto al habitual
        
        Seguimiento del aprendizaje: Si mando vídeos y tareas para ver y hacer en casa tengo que asegurarme de que todos lo han hecho y entendido
        
        Tratamiento de grupos flexibles: educación personalizada
        
        Fomento del interés: Capacitación de los alumnos para escribir notas, dudas etc
        
        Preparación de todo el material
        
        Vídeos, redes sociales etc
        
        Ejercicios a realizar
      - Modelo ADDIE, el más efectivo (Bates, 2019)
        
        Análisis
        
        Estudiante y antecedentes
        
        Objetivos del contenido
        
        Tiempo disponible
        
        2.Diseño
        
        Planes iniciales
        
        Selección y justificación del contenido
        
        Ejercicios
        
        Metas de desempeño
        
        Métodos de evaluación
        
        Términos medibles
        
        Medios de enseñanza
        
        3, Desarrollo
        
        Transformación de lo diseñado en materiales reales
        
        Vídeos y software educativo
        
        Definición de cómo se presentará todo al estudiante
        
        Desarrollo de hojas de trabajo, ejercicios de casa y de aula
        
        Implementación
        
        Llevar todo a la práctica
        
        Asegurar que todos disponen del material necesario
        
        Creación de las condiciones necesarias
        
        Contextualizar de manera realista el contenido
        
        Evaluación
        
        Comprobación de la eficiencia de la estrategia a lo largo del proceso y con los resultados finales
      - Beneficios
        
        Mejora del autoaprendizaje
        
        Eleva el rendimiento académico
        
        Mejora del pensamiento algebraico
    - - El aprendizaje consiste en 4 pasos
        
        1) Construir conocimiento DESDE experiencia previa
        
        2) Proceso ACTIVO: Los estudiantes deben HACER, no solo escuchar
        
        3) El aprendizaje es SOCIAL: Se aprende más al interactuar con otros
        
        4) Motivación previa: Los estudiantes sólo aprenden si están motivados
    - - Álgebra = Desarrollo de
        
        Expresión simbólica
        
        Relación de patrones
        
        Inferencia de generalizaciones
      - = Construcción de un significado para símbolos y operaciones en aritmética
        
        Comprensión y descripción de patrones para crear nuevos
        
        Inferencia sobre gráficos, formas, números y operaciones
        
        Generalización matemática
        
        Desarrollo de rendimiento mental
        
        Uso de modelos, representaciones, símbolos algebraicos...
      - GRAN IMPORTANCIA Y POCOS ESTUDIOS AL RESPECTO (CON RELACIÓN AL AULA INVERTIDA) = MOTIVACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
  - - - Clara debilidad en habilidades matemáticas en los estudiantes universitarios de secundaria en Jordania
        
        Aydin y Ayguns (2021)
        
        Satoshi (2014)
        
        Agoestanto et al. (2019)
        
        Blanton, Stephens, Knuth, Gardiner y Lsler (2015)
      - Tecnología como recurso básico para entender las matemáticas
        
        Kim, Park y Joo (2014)
      - Importancia del aula invertida en el aprendizaje de las matemáticas
        
        Sheikh (2018)
        
        Al-Otabi e Iraqi (2019)
  - - - Superar carencias
      - Conocer la capacidad de los estudiantes para adquirir pensamiento algebraico
      - Potenciar el uso de la tecnología
      - Ayudar a profesores a utilizar la estrategia de aula invertida
  - - - Pensamiento algebraico =
        
        Descubrir relaciones y símbolos algebraicos
        
        Descubrir patrones algebraicos y generalizaciones
        
        Procedimentalmente: habilidades previas - adquisición de experiencia matemática - realización de operaciones incluyendo justificación, inferencia y representación matemáticas
  - - - No queda claro que sean del todo medibles
    - - Se presupone que todos los alumnos parten de la misma habilidad
  - - - Al-Otabi e Iraqi (2019)
        
        Grupo experimental de 29 alumnas
        
        Ambos usaron la plataforma Edmodo para evaluarse
        
        Diferencias estadísticamente significativas en descubrir funciones y relaciones algebraicas
        
        Sin diferencias significativas en exploración de patrones, generalización algebraica y uso de representaciones y símbolos
        
        Grupo de control de 27 alumnas
  - - - Experimental
      - Control
  - - - Investigador trabaja allí
      - Reúne las condiciones tecnológicas y didácticas
        (10 clases)
        
        Alumnos elegidos por cluster aleatorio
        
        Grupo experimental: 27 alumnos
        
        Grupo control: 26 alumnos
  - - - Al-Otaibi e Iraqi (2019)
        
        Preguntas abiertas y escala basada en clasificación de habilidades de Soares y otros (2006)
        
        Habilidad de descubrir relaciones y símbolos algebraicos
        
        Habilidad de descubrir patrones y generalizaciones algebraicas
        
        5 preguntas para cada habilidad, evaluadas y corregidas por árbitros con experiencia miembros del personal docente
        
        15 preguntas en total
        
        Dos puntos: respuesta y justificación correctas
        
        Un punto: Respuesta correcta, justificación incorrecta
        
        Cero puntos: nada correcto
        
        Medidas por
        
        3 more items...
        
        Corregidas entre distintos investigadores
        
        1 more item...
        
        Habilidad de USAR símbolos algebraicos
      - Al-Balawi (2018)
    - - Con el Software Statistical Package for Social Sciences (SPSS) se hizo
        
        1) Cálculo de medias y desviaciones en escala de adquisición de habilidades de pensamiento algebraico pre y post en ambos grupos
        
        2) Análisis de covarianza (ANCOVA) unidireccional en ambos grupos tras neutralizar efecto de la premedición
        
        Para observar la significancia de la estrategia frente a otras posibles alteraciones
        
        3) Cálculo y Análisis ANCOVA por separado de cada una de las habilidades tras neutralizar el efecto de la premedición
  - - - =Desarrollo de pensamiento algebraico
    - - = Enriquecimiento de conceptos, generalizaciones y algoritmos
    - - Descubrir patrones y generalizaciones
      - Habilidad de utilizar símbolos algebraicos
        
        Atribuido a las experiencias previas de los alumnos y al no uso de los debidos ejercicios al practicar aula invertida ADDIE
    - - Descubrimiento de relaciones y símbolos algebraicos
        
        Atribuido a la mejora de oportunidades para negociación social y para alcanzar soluciones
  - - - Sería recomendable implementarlo en el aula y hacer otros estudios para otros campos como geometría, probabilidad, estadística...
  - - - Grupo control: Ascenso de 13,23 de media a sólo 17,93 tras lección (sobre 30)
      - Grupo experimental: Ascenso de 13,52 de media a 24,33 tras lección (sobre 30)
        
        Gran diferencia
    - - Se comprobó que el nivel de significancia de la estrategia usada es 0,00 (es decir, muy significante)
    - - En todas las habilidades se observan diferencias claramente significativas
- - - - García, Rodríguez, González-Castro, et al.,2016 - Se deja claro que diferencia en rapidez = diferencia en eficiencias
      - Flavell, 1976: Metacognición = Conocimiento de propios procesos cognitivos y regulación y supervisión de ellas (ej: al orientar la tarea o planificar las acciones, todo para lo cual se requiere tiempo previo)
        
        Kramarski y Gutman, 2006: Entender qué, cuándo y por qué aplicar ciertas estrategias mejora el aprendizaje
        
        Todos estos estudios sugieren que dedicar tiempo a comprender un e idear un plan antes resulta en una solución eficiente
        
        El estudio actual asume el tiempo de pausa como indicador de la reflexión previa
        
        Welsh et al., 1995: Torres de Hanoi, mayor tiempo = menos movimientos
        
        Ninguno de estos estudios tiene en cuenta las influencias del conocimiento previo y de los factores afectivos
        
        Ku y Ho, 2010: Desarrollar planes daba mejores resultados en tareas de pensamiento crítico para comprobar hipótesis y analizar argumentos
        
        Gobert et al, 2015: Pausa como indicador del compromiso cognitivo
        
        6 segundos previos= Tiempo suficiente (Paquette et al, 2014)
        
        Otros estudios también tuvieron en cuenta el tiempo total, además del previo, obteniendo los mismos resultados positivos a mayores tiempos (Li and coleagues, 2015)
        
        La comprensión de un problema e idear estrategias resulta en una mejora en la resolución de problemas (Vula et al, 2017)
    - - Eficiente = Menor número de paso o uso de números simples (Xu et al., 2017)
        
        Cuanto más eficiente, mayores recursos cognitivos para retos más desafiantes
      - HIPÓTESIS
        
        Las estrategias eficientes requieren de conocimientos matemáticos previos más importantes que la capacidad y la inteligencia propias.
        
        Las estrategias eficientes requieren de factores afectivos, como la autoeficacia matemática (el "yo puedo") y la ansiedad matemática
      - PROBLEMA
        
        Estrategia eficiente ≠ Estrategia rápida
        
        Muchos creen que los problemas se deben resolver en cinco minutos olvidándose del tiempo de pausa para meditar en estrategias más eficientes en número de pasos
        
        Paquette et al., 2014: Relación positiva entre pausa y rendimiento matemático
      - MÉTODO
        
        Tiempo de pausa previo = Pensamiento para resolución
        
        Medido dentro de un juego en línea
        
        Este juego permite reiniciar problema ⇒ 2 nuevas medidas de eficiencia además del número de pasos
        
        Problemas resueltos a la primera
        
        Número de reinicios
    - - Star and Rittle-Johnson, 2008: Para adaptar estrategias en el tiempo de pausa, es necesario conocer conceptos y procedimientos subyacentes
      - Los alumnos con mayor rendimiento...
        
        Muestran mayor variación en el uso de estrategias posibles (Torbeyns et al. 2006)
        
        Son más propensos a usar estrategias con menos pasos (Newton et al. 2020; Wang et al., 2019), (Star & Rittle-Johnson, 2008)
      - Xu et al., 2017: Parece que la correlación del conocimiento con la eficiencia es moderada (r=0,27), no es tan frecuente que los alumnos con mayor conocimiento muestren mayor eficiencia
        
        Probablemente sea debido a los motivos afectivos
      - Es necesario conocer el impacto de manera simultánea al tiempo de pausa para obtener las relaciones únicas con la eficiencia de estrategia
        
        Sólo así se podrá hacer el debido diseño pedagógico
    - - Bandura, 1977: Autoeficacia matemática: Creencia en la propia capacidad para hacer y aprender matemáticas
      - Dregen y Aiken, 1957 ; Ashcraft, 2002: Ansiedad matemática: Sentimiento de miedo, tensión y aprensión al trabajar con matemáticas
        
        Ramírez et al., 2018 ; Wu et al., 2012: Mayor ansiedad matemática = peor rendimiento
        
        Los estudiantes con mayor ansiedad pasan de las estrategias avanzadas
        
        La ansiedad y la autoeficacia no son mutuamente excluyentes: se pueden tener ambas altas o ambas bajas
        
        El de mayor autoeficacia tiende a abordar las matemáticas con el fin de alcanzar una comprensión profunda
        
        Hoffman, 2010: La eficiencia medida por precisión y tiempo de reacción es mayor en estudiantes de postgrado con alta autoeficacia matemática
        
        Bernacki, et al., 2015: Mayor autoeficacia = Resolución más precisa y eficiente = Menor búsqueda de ayuda
        
        El de mayor ansiedad tiende a abordar las matemáticas con el objetivo único de aprobar, dándose lugar a situaciones negativas (García, Rodríguez, Betts et al, 2016)
        
        Ashkenazi & Najjar, 2018: Mayor ansiedad matemática = Selección de estrategias menos eficientes en problemas de sumas
        
        Ansiedad matemática = Impacto negativo en enfoques de problemas de cálculo de primaria (Ramírez et al., 2016) y secundaria (Passolunghi et al., 2016)
    - - La idea es medir la influencia de
        
        Conocimiento previo matemático
        
        en la eficiencia de los estudiantes, medida por
        
        Los pasos de la solución
        
        en el juego ¡De Aquí a Allá! (FH2T)
        
        Partiendo de los datos de un estudio de control aleatorio (ECA) de otro estudio en el que se usó el mismo programa (Chan, et al., 2021)
        
        3 more items...
        
        El éxito inicial en los problemas
        
        Número de reinicios
        
        Ello a posteriori de una medida de las influencias relativas entre factores influyentes (cómo el conocimiento previo afecta a la autoeficacia, como la ansiedad al tiempo de pausa...etc)
        
        Autoeficacia matemática
        
        Ansiedad matemática
        
        Tiempo de pausa
    - - PARTICIPANTES
        
        Estudio de control aleatorio (ECA)
        
        Info de procedimiento descrita en Chan et al. (2021)
        
        29 aulas de 6 institutos del sureste de EEUU (689 alumnos)
        
        348 alumnos usando FH2T
        
        Nos centramos en estos
        
        De ellos, 45 no completaron prueba previa y 18 se tuvieron que ir
        
        n = 285, de 11 a 13 años
        
        6 more items...
        
        Esos 18 tuvieron autoeficacia y ansiedad significativamente distinta del resto (a peor)
        
        341 con conjuntos de problemas en línea
        
        Datos tomados para el interés de Chan et al. 2021
        
        Todo hecho en el horario habitual, ningún padre excluyó a su hijo/a del estudio
        
        Todos los datos sacados de Chan et al. 2021, que fueron tomados en otoño de 2019
      - PROCEDIMIENTO
        
        Prueba previa de 45 minutos
        
        Conocimiento previo, autoeficacia y ansiedad extraidos de aquí
        
        4 sesiones de 30 minutos
        
        Instrucciones y pistas en el propio juego
        
        Profesor sólo entregaba enlaces
        
        Datos de teclado y ratón tomados aquí
        
        Prueba posterior de 40 minutos
      - DE AQUÍ PARA ALLÁ (FH2T)
        
        https://graspablemath.com/projects/fh2t
        
        Expresión inicial y meta, cambiando orden y equivalencia
        
        Con ratón y/o teclado
        
        Recompensa de máximo 3 tréboles (si lo conseguían con la mejor solución)
        
        Marcas de tiempo registradas, a diferencia del papel y boli
        
        Cada tema de matemáticas (aritmética, fracciones, factorización...) es un "mundo" de 18 problemas
        
        Intercalados por problemas de entrenamiento con instrucciones puntuales
        
        Resueltos en una media de 35 problemas por sesión
        
        75% más de 20, 100% al menos 10
        
        Todos incluidos, de modo que el número de problemas resuelto quedó como una covariable para explicar el progreso de los estudiantes
      - MEDIDAS
        
        MEDIDAS FOCALES EN FH2T
        
        Las 4 variables se promediaron entre los problemas completados
        
        Tiempo de pausa (%)
        
        Tiempo desde aparición en pantalla hasta primer movimiento
        
        Medido en % respecto a tiempo total
        
        Pasos de la solución
        
        Tasa de finalización inicial
        
        Proporción de problemas resueltos a la primera sin reiniciar
        
        Número de reinicios
        
        MEDIDAS DE LA PRUEBA PREVIA
        
        CONOCIMIENTO PREVIO
        
        Medidos según 11 ítems de 2 medidas validadas
        
        (Rittle-Johnson, et al. 2011; Star et al. 2014)
        
        4 de ellos editados con instrucciones más claras
        
        Puntualizados como correcto (1) o incorrecto (0)
        
        Fiabilidad aceptable (KR-20 = .68 (coeficiente de validez))
        
        AUTOEFICACIA MATEMÁTICA
        
        Medida según los 5 ítems de la subescala de Eficacia Académica de las Escalas de Patrones de Aprendizaje Adaptativo (Midgley et al. 2000)
        
        Adaptados a matemáticas (ej: Puedo hacer incluso el trabajo más difícil de esta clase de matemáticas si me esfuerzo)
        
        Cada ítem era una afirmación respondida por frecuencias
        
        5 more items...
        
        Items muy fiables (α=.86 (coeficiente de validez))
        
        ANSIEDAD MATEMÁTICA
        
        Medida según 13 ítems de Escala de Ansiedad Matemática para Niños Pequeños - Revisada (Ganley & McGraw, 2016)
        
        Ej: Me preocupo antes de hacer un examen de matemáticas
        
        4 respuestas posibles
        
        4 more items...
        
        Ítems muy fiables (α=.88 (coeficiente de validez))
      - PLAN DE ANÁLISIS
        
        Primero se llevo a cabo análisis descriptivos y de correlación
        
        Modelo regresión OLS con tiempo de pausa, conocimientos, autoeficacia y ansiedad con nº problemas completados como covariable y nº pasos de solución como variable dependiente (RQ1)
        
        Mismo modelo aplicado para tasa de finalización inicial (RQ2) y frecuencia de reinicio (RQ3)
  - - - Descriptivo
        
        Amplia distribución de valores en todas las medidas
        
        Diversos niveles de rendimiento
        
        Asimetría y curtosis en niveles normales (<+-2 y <+-7) (Byrne, 2010)
        
        % promedio de tiempo de pausa: 26% (DE=10%) (16 segundos (DE=12) de 63 (DE=35))
      - Correlativo
        
        Conocimientos algebraicos
        
        pasos de resolución (p<0,001)
        
        tasa de finalización inicial (p<0,001)
        
        Alta correlación en todos los casos, algo menor (aunque aún significativa) al particionar el número de problemas
        
        número de reinicios (p<0,001)
        
        Ansiedad matemática
        
        pasos de resolución (p=0,046)
        
        Buena correlación, aunque ya no es significativa al controlar el nº de problemas completados
        
        tasa de finalización inicial (p=0,03)
        
        Tiempo de pausa
        
        pasos de resolución (p<0,001)
        
        tasa de finalización inicial (p<0,001)
        
        Alta correlación en todos los casos, mantenidas al particionar el número de problemas
        
        número de reinicios (p<0,001)
    - - Contemplado tras regresión OLS (p<0.001)
        
        El aumento de una desviación estándar del tiempo de pausa se asoció con la reducción de media desviación estándar en el número de pasos
      - El número de pasos en solución no estaba significativamente asociado con autoeficacia (p=0.586) ni con ansiedad matemática (p=0.865)
        
        Todo ello explica el 29,9% de varianza
        
        incluso tras transformación logarítmica se vio que los supuestos iniciales no se cumplían (es decir, se esperaba que algo más además que sólo el tiempo de pausa afectara en el número de pasos)
        
        Se informó de ello para facilitar interpretación
    - - Contemplado tras regresión OLS (p<0.001)
        
        El aumento de una desviación estándar del tiempo de pausa se asoció con el aumento de 0,2 desviaciones estándar en la tasa de finalización inicial
      - También se correlaciona con conocimientos algebraicos (p=0,011)
      - Sin relación con ansiedad (p=0.606) ni autoeficacia (p=0.74)
      - 51,5% de la varianza debida a la tasa de finalización inicial
    - - Contemplado tras regresión OLS (p<0.001)
        
        El aumento de una desviación estándar del tiempo de pausa se asoció con la disminución de 0,4 desviaciones estándar en el número de reinicios
      - Sin relación con ansiedad (p=0.176) ni autoeficacia (p=0.362)
        
        Tras transformación logarítmica de frecuencia de reinicio se mantuvieron los resultados
        
        Esto se hizo debido a que un estudio del supuesto previo sugería que la homogeneidad de la varianza y los residuos podía no ser normal
        
        Se presentaron los resultados para facilitar interpretación
      - También se correlaciona con conocimientos algebraicos (p=0,006)
      - 24,5% de la varianza debida al número de reinicios
  - - - Esto está conforme a la literatura previa
        
        Tiempo de pausa como indicador indirecto del pensamiento y la planificación
        
        Gobert et al., 2015
        
        Paquette et al., 2014
        
        Faltaba ver si era único e independiente de las disposiciones afectivas de los estudiantes
        
        Al hacerlo de manera simultánea, se halló que el tiempo de pausa era el único predictor consistente
        
        Sólo el conocimiento previo se asocia débilmente
        
        Existe correlación entre conocimiento previo y factores afectivos (los que tienen mayor ansiedad y menos autoeficacia suelen tener menor conocimiento), es razonable que haya varianza compartida en la eficacia de estrategia
        
        Tiempo de pausa predice significactivamente la eficiencia (Li et al, 2015
      - El estudio amplia dos aspectos
        
        1) El tiempo de pausa se asocia significativamente en la eficacia de estrategia de resolución de problemas matemáticos
        
        me
    - - El hallazgo correlacional permite un vínculo entre tiempos de pausa largos y estrategias eficientes
        
        Varios mecanismos cognitivos y afectivos involucrados
        (Cleary & Chen, 2009; Dismore et al, 2008; Montague et al., 2011)
        
        Tiempo de pausa = Tiempo para leer, identificar tipo de problema, idear estrategias..
        
        Alineado con
        
        Mejora de habilidades metacognitivas = mejor rendimiento (Perels et al, 2005 ; Vula et al, 2017 ; García et al., 2019 ; Losseno et al., 2020)
        
        Estrategias eficientes requieren de monitoreo de conocimiento y regulación de comportamiento (Caviola et al., 2017)
        
        Todo ello sirve de explicación a los resultados
        
        Oportunidades para procesar y reflexionar = Mejora de conocimiento conceptual (González-Cabañes, et al., 2020)
        
        Planificación adulta = Mejor resolución de problemas (Welsh et al, 1995)
        
        Tiempo de pausa = Indicador indirecto de pensamiento y planificación (Gobert et al, 2015 ; Li et al., 2015; Paquette et al., 2014)
        
        Una mayor edad = mayor capacidad de control de impulsos = mejor rendimiento en Torre de Londres (Albert & Steinberg, 2011)
        
        Otra posibilidad: Tiempo de pausa = influencia de factores cognitivios (conocimientos, distracción...) o afectivos
        
        Mayor conocimiento = menor tiempo de pausa
        
        Los datos no lo corroboran, de hecho hay débil correlación indicando lo contrario
        
        Mayor ansiedad = mayor parálisis = mayor tiempo de pausa
        
        No se puede descartar la posibilidad de divagación = mayor tiempo de pausa pero no mejor resultado
        
        Sin embargo, los datos en ese caso indicarían peores resultados a mayor tiempo de pausa
        
        Tiempo de pausa medio = 16 segundos >> respuestas adivinatorias (Kong et al., 2007;Meade & Craig, 2012; Wise et al., 2009)
    - - Limitaciones
        
        Centrado en un subconjunto de un ECA más amplio (recordemos que en el estudio original había también 341 alumnos con otros problemas en línea)
        
        Centrado en un subconjunto de problemas de FH2T
        
        20 problemas analizados, con suficiente gama de dificultades
        
        Muestra con mayor número de asiáticos y de clases avanzadads
        
        El resultado podría no ser del todo representativo
        
        Aún así hay grandes variaciones en los comportamientos y se da lugar a asociaciones significativas
        
        Una pequeña parte excluida por progresar poco
        
        Varios profesores no se involucraron del todo ni proporcionaron el tiempo de clase suficiente para completar todas las sesiones
        
        Se tuvo que añadir el número de problemas completado como covariable
        
        Aún así la muestra fidedigna era el 82%, suficiente
        
        El estudio no proporciona info sobre cómo el tiempo de pausa da una mayor eficiencia
      - Direcciones futuras
        
        Otras plataformas con más problemas
        
        Covariables adicionales
        
        Velocidad de procesamiento
        
        Capacidad de razonamiento
        
        ...
        
        Muestras más diversas
        
        Otros métodos de investigación
        
        Observación, protocolos de conversación en voz alta...
        
        Así se saca el CÓMO
        
        Viendo lo que piensa el alumno
        
        Viendo qué primer paso toma
        
        ...
        
        Probar a imponer el tiempo de pausa frente a no hacerlo
        
        Los resultados deberían estar en línea a los aquí obtenidos
    - - El Tiempo de pausa está relacionado con todas las medidas de eficiencia
      - El conocimiento previo se relacionó débilmente sólo con la tasa de finalización inicial y el número de reinicios
        
        Los resultados sugieren que la relación entre tiempo de pausa y eficiencia puede ser sólida e independiente
      - La autoeficacia y la ansiedad no se asociaron significativamente con ninguna medida de eficiencia
  - - - Es importante ir más allá de la corrección de respuestas y aprovechar la tecnología para obtener el mayor número de datos posible promoviendo la flexibilidad
        
        Este estudio es un paso adelante. Contribuye a la investigación de diferencias individuales con una gran toma de datos sobre disposición de aprendizaje y conducta
        
        Los educadores y desarrolladores de material didáctico se benefician del entendimiento del efecto del tiempo de pausa en el pensamiento y aprendizaje
        
        "Es mejor reducir la velocidad para acelerar"
- - - - Más suscripciones y necesidad del docente para usarlos
        
        Oportunidad para comprobar cómo los profesores mantuvieron el compromiso de sus estudiantes con los VLE
        
        Objetivo del estudio: identificar cuáles de las actividades docentes para el uso de VLE tuvieron una relación positiva con el aprendizaje de los estudiantes
        
        Fundamental en caso de futuros cierres
      - Hay evidencia en literatura de su beneficio en el aprendizaje (Mitten et al, 2021,2019 ; Roschelle y otros, 2016)
        
        Algunos estudios concretan actividades específicas de VLE en el aula (Fong et al, 2018 ; Jones y Warren, 2011 ; Veletsianos y Navarrete, 2012)
        
        Otros se centran en usarlo como complemento con actividades tradicionales (Martín et al, 2016 ; Schwier et al, 2009 ; Wang y otros, 2017)
        
        Aún así, hay pocos estudios que se centren en las actividades usadas en sí en las VLE
        
        Es vital que se brinde orientación sobre cómo orquestrar una VLE para facilitar el aprendizaje
        
        Durante la pandemia de COVID-19, las plataformas tuvieron un enorme aumento (The World Bank, 2020)
      - Aunque algunos estudios muestran cómo impartir la enseñanza en línea (DiPietro et al, 2010 ; Lee y otros, 2004)
        
        Hay gran diferencia entre
        
        Aprendizaje remoto cuidadosamente diseñado
        
        Bozkurt & Sharma, 2020 ; Hodges y otros, 2020
        
        Aún así, un curso bien planificado podría no ser eficaz para una situación puntual de crisis (Hodges et al, 2020)
        
        Algunos estudios muestran esta diferencia al comparar la reacción de los países al cierre de escuelas en tiempos de crisis (Davies & Bentrovato, 2011 ; Rajab, 2018)
        
        Sí, también hay estudios de la reacción de los estudiantes ante la crisis del COVID-19 (Yan et al, 2021)
        
        Meses de planificación, preparación, tiempo de desarrollo de un curso completo en línea
        
        Enseñanza remota de emergencia
        
        Cambio temporal rápido de instrucción alternativa por una crisis
  - - - Principal perspectiva teórica: orquestación del aprendizaje (Prieto et al., 2011)
        
        Perspectiva útil al analizar los entornos de aprendizaje con tecnología
        
        Para estructurar info disponible
        
        (Dillenbourg, 2013)
        
        Orquestación = Forma en que un docente gestiona actividades de múltiples "capas" con múltiples restricciones
        
        Según Prieto, 2012: Proceso de diseñar, gestionar, adaptar y evaluar actividades de aprendizaje
        
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        Para ello, se usan los recursos disponibles para maximizar el aprendizaje teórico y pragmático dentro de las limitaciones
        
        Para detectar desafíos
        
        Para ver posibles soluciones de ayuda en enseñanza y aprendizaje
        
        Este marco permite investigaciones amplias sobre entornos mejorados de tecnologia para mejorar su desarrollo
        
        (Muñoz-Cristóbal et al, 2015 ; Prieto et al., 2015 ; Rodríguez-Triana et al., 2015)
        
        Este marco guiará nuestro análisis y comprensión de las actividades de enseñanza y aprendizaje desde 5 aspectos
        
        Diseño: Planificación de las actividades de aprendizaje (Koper & Tattersall, 2005)
        
        En papel o digital, siempre Basadas en herramientas pedagógicas (Holmes et al,2019)
        
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        Regulación/gestión: Externa (de los profesores) o autorregulación de los estudiantes (Dillenbourg et al., 2009)
        
        Es necesario un monitoreo a tiempo real de una clase a otra jugando y considerando distintas variables
        
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        Adaptación/flexibilidad: Cambiar el plan al contexto local del aula y lo emergente durante la puesta en marcha
        
        Conciencia/evaluación: Conciencia del docente sobre lo que ocurre en el contexto y en las mentes de los alumnos a lo largo de su progreso
        
        Por diversas estrategias
        
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        Una fuente importante de datos son los registros de los profesores
        
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        Roles de profesores y estudiantes: La orquestación se centra en la labor docente, pero nada impide que los pasos anteriores los lleven los propios alumnos (Alavi et al, 2009)
        
        Incluso, podría haber escenarios en que el profesor establezca objetivos y actividades amplias y que las tareas y la coordinación fuera manejada por los estudiantes
        
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        El objetivo de este estudio, desde este punto de vista, es
        
        1) Identificar las actividades usadas con VLE para la orquestación considerando los cinco aspectos (durante previos cierres de escuela)
        
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        2) Evaluar si las combinaciones de actividades estaban relacionadas positivamente con el rendimiento de los estudiantes.
        
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  - - - Math Nation VLE (Lastinger Center for Learning & University of Florida, 2022)
        
        Integrado con plataformas en línea (mismo usuario y contraseña)
      - Florida, donde todos lo usan para ayudar a la instrucción de aula, allí hay evidencia del beneficio de las VLE (Leite et al, 2019,2021 ; Mitten et al, 2021 ; Niaki et al, 2019)
      - 10 secciones para 9 ramas del álgebra
        
        Cada sección con 6-12 temas, 93 temas en total
        
        Todos alineados al estándar estatal
        
        En cada tema
        
        Un vídeo instructivo
        
        Múltiples tutores, heterogéneos
        
        Raza
        
        Género
        
        Estilo
        
        Cuestrionario breve de 3 preguntas tras cada tema
        
        Una evaluación de 10 preguntas tras cada sección
        
        Tras la cual hay un vídeo con la solución
      - Según encuestas anteriores de Math Nation VLE, la mayoría de docentes (Mitten et al, 2021)
        
        1) Muestran los vídeos VLE a toda la clase
        
        2) Reservan tiempo durante la clase para que los alumnos trabajen con la VLE
        
        3) Usan el libro de trabajo VLE durante la clase
        
        4) Asignan vídeos y pruebas como tarea
    - - Datos de dos fuentes
        
        1) Registro de uso de VLE por parte de estudiantes y docentes y puntuaciones de los tests de los estudiantes
        
        2) Encuesta a maestros durante el cierre de escuela en línea entre 21 de mayo y 1 de junio en una ventana emergente del VLE
        
        349 respuestas para abordar la pregunta de investigación 1
        
        139 (39,8%) enseñaban de forma asíncrona y 210 (60,2%) de forma síncrona alguna parte del tiempo
        
        88% nunca enseñó en línea, 3% sólo una vez y 9% varias veces
        
        Período específico, muestra no 100% aleatoria
        
        Respondieron quienes tuvieron un registro activo en VLE durante la primavera de 2020
        
        De ellos, se tomó una muestra de 213 profesores de Álgebra 1 y sus 10590 estudiantes de secundaria y preparatoria
      - El VLE usado por 6000 docentes anualmente
    - - Resultado de interés: Rendimiento en álgebra en los 9 dominios, cada uno por sección
        
        Medido en una evaluación de 10 preguntas para cada uno (TYS)
        
        En (Xue et al., 2022) se realizó evaluación psicométrica del TYS con teoría de respuesta al ítem
        
        En este estudio se usó como resultado el número de respuestas correctas en cada TYS
        
        Introducción a las funciones
        
        Ecuaciones lineales
        
        Ecuaciones y desigualdades
        
        Funciones y desigualdades
        
        Expresiones
        
        Funciones cuadráticas
        
        Funciones exponenciales
        
        Resumen de funciones
        
        Estadísticas de una variable
        
        Estadística de dos variables
        
        Todo coincidente con lo exigido para superar secundaria en Florida
      - Dos tipos de indicadores de la estrategia de orquestación docente
        
        1) Las encuestas a los docentes (2a fuente de datos) fueron alineadas con el marco de orquestación
        
        Preguntas para desentrañar actividades docentes en los 5 aspectos de la orquestación
        
        Combinación de selección única y selección múltiple
        
        Preguntas sobre recursos y actividades usados antes y durante el cierre de la escuela y el papel de VLE
        
        2) Agregación de registros de las cuentas de los profesores de VLE
        
        Marcas de tiempo
        
        Para una evaluación de un estudiante, se agregaron los registros del profesor de ese estudiante hasta esa evaluación dada en una marca de tiempo (ej: 8/03/2020)
        
        Datos de recuento (ej: veces que el docente miró la clasificación de los estudiantes antes de 8/03/2020)
        
        Luego se estandarizaron como valores continuos para los modelos de regresión multinivel
        
        Se mantuvo 27 acciones de registro en función de si al menos un docente participante inició alguna acción durante el período objetivo
    - - Para 1ª pregunta de investigación
        
        Análisis estadístico descriptivo de respuestas a las encuestas al docente
      - Para 2ª pregunta de investigación
        
        Preguntas a los profesores sobre cuantas sesiones síncronicas/asincrónicas por semana para cada clase
        
        Resultados dicotomizados: alguna clase sincrónica VS enseñar de forma completamente asíncrónica
        
        Chi-cuadrado para ver si había diferencias grupales en frecuencia de respuesta de la encuesta de los profesores que enseñaban de forma sincrónica o asincrónica
        
        Chi-cuadrado también en preguntas a profesores sobre su actitud antes y tras el cierre de las aulas
      - Para 3ª pregunta de investigación
        
        Modelo multinivel de tres niveles (lineal jerárquico o efectos mixtos, Snijders & Bosker, 2012)
        
        Para predecir el rendimiento con indicadores de orquestación provenientes de
        
        Encuestas
        
        Registros del sistema
        
        Respuestas a cada evaluación TYS (nivel 1, n=85924)
        
        de cada estudiante (nivel 2, n =10590)
        
        agrupadas por profesores (nivel 3, n=213)
        
        Correlación de intraclase nivel 3 = 0,216
        
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        nº medio de estudiantes por maestro = 49,17
        (más que la típica clase porque un mismo profesor podía llevar varias clases)
        
        Correlación de intraclase nivel 2 = 0,458
        
        45,8% de la varianza de la puntuación fue dada entre alumnos con un mismo profesor
        
        nº medio de evaluaciones realizadas por estudiante = 8,11
        (de un total de 9 que hay disponible para cada uno)
        
        Puntuación en sección i, alumno j, profesor k = Intercepto + Suma de predictores según encuesta (x_lk) y ponderados (δ_l) del profesor k + Suma de predictores según registro del sistema (z_lk) y ponderados (π_l) + u_k + r_jk + e_ijk
        
        Donde
        
        u_k ~ N(0,ρ^2) contempla efectos aleatorios en estudiantes
        
        r_jk ~ N(0,ν^2) contempla efectos aleatorios en alumnos por profesor
        
        e_ijk ~ N(0,ζ^2) es el residual de nivel 1
        
        Intercepto = Media general obviando todo predictor
        
        Modelo multinivel estimado usando R 4.0 (paquete lme4)
        
        Se ajustó el modelo 2 veces
        
        Primer ajuste
        
        Predictores de registro del sistema: 27
        
        Predictores de encuesta: 70
        
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        Segundo ajuste: Con variables con VIF<2,5
        
        Predictores de registro del sistema: 13
        
        Predictores de encuestas: 44
        
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        Problema: Predictores multicolineales = Sesgo sustancial del error estándar al estimar coeficientes (Yu et al, 2015)
        
        Cálculo del VIF (Factor de inflación de varianza) entre los predictores
        
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        ECUACIÓN 1
  - - - Muchos hicieron cambios en sus prácticas durante el cierre
        
        Pocas diferencias entre profesores que enseñaban de forma sincrónica y asincrónica
      - Cuando la diferencia en el estudio chi-cuadrado no fue estadísticamente significativa entre sincrónica o asincrónica, se presentaron resultados de ambos grupos
      - Resultados organizados según el marco de aprendizaje orquestado
        
        Adaptación/Flexibilidad
        
        La prueba chi-cuadrado no detectó diferencias en la omisión/condensación de contenido entre sincrónicos y asincrónicos
        
        Casi la mitad (48,5%) tuvo que saltarse contenido tras cierre de aulas
        
        Alrededor del 40% condensó contenido
        
        38,1% mantuvo el contenido según lo previsto
        
        Conciencia/Evaluación
        
        Las pruebas chi-cuadrado no mostraron diferencias entre profesores sincrónicos y asincrónicos
        
        ni en cuanto al número de cuestionarios semanal exigido (χ2(3,n=343) = 2,269 ; p=0.5186)
        
        ni en cuanto al permiso otorgado para rehacer problemas incorrectos (χ2(1,n=343) = 0,60783 ; p=0.4356)
        
        La otra prueba chi-cuadrado, respecto al comportamiento antes y después del cierre, sí que mostró diferencias significativas
        
        χ2(9,n=343) = 81,6 ; p<0.001
        
        Reducción de profesores que requerían cuestionarios o pruebas 1 o 2 veces/semana
        
        De 48,4% a 37,9%
        
        Menos de una vez/semana aumentó de 44% a 51,6%
        
        Más de tres veces por semana aumentó de 7,6% a 10,5%
        
        χ2(1,n=343) = 81,6 ; p<0.001
        
        Aumento de profesores que permitían rehacer problemas incorrectos
        
        De 88,1% a 78,4%
        
        Regulación/Gestión
        
        Las pruebas chi-cuadrado mostraron diferencias entre profesores sincrónicos y asincrónicos en cómo se establecieron los plazos para entregar las tareas
        
        χ2(3,n=347) = 12,161 ; p=0.0023
        
        Asincrónicos
        
        Les daban más tiempo (56,5% daban más de una semana)
        
        En general, 45,2% daba más de una semana
        
        Algunos menos daban uno o dos días (9,4%) o de tres días a una semana (34,1%)
        
        Sincrónicos
        
        No daban tanto tiempo (sólo 37,8% daban más de una semana)
        
        Daban uno o dos días (16,3%) o de tres días a una semana (45,9%)
        
        Roles de profesores y estudiantes
        
        Respecto a la confianza en enseñanza remota eficaz
        
        La prueba chi-cuadrado no detectó diferencias entre sincrónicos y asincrónicos
        
        χ2(3,n=343) = 5,1899 ; p=0,1584
        
        Respuestas más frecuentes
        
        "Moderadamente confiado" (43,7%)
        
        "Ligeramente confiado" (25,9%)
        
        Respecto a los problemas tecnológicos
        
        La mayoría sin problemas
        
        Problema más común: "No podía iniciar sesión en el sistema que necesitaba"
        
        El 45,9% tuvo este problema al menos una vez
        
        La mayoría menos de 1 vez/mes
        
        Diferencia entre asíncronicos (81,6% sin este problema) y síncronicos (66% sin este problema)
        
        Los profesores con clases sincrónicas se unen a reuniones con más frecuencia que los asincrónicos
        
        10% con otros problemas al menos 1 vez por semana
        
        En este resto de cuestiones, no hubo diferencia entre sincrónicos y asincrónicos
        
        Respecto a la experiencia previa enseñando en línea
        
        La mayoría nunca antes (87,8%)
        
        Una vez el 3,5%
        
        8,7% Varias veces
        
        La prueba chi-cuadrado no detectó diferencias entre sincrónicos y asincrónicos
        
        χ2(2,n=345) = 4,0779 ; p=0,1302
        
        Se espera evaluación de fin de curso (EOC) tras Álgebra 1
        
        Prueba de alto riesgo, cancelada en 2020 por pandemia
        
        Respecto al impacto tras cancelar EOC
        
        En la dedicación del estudiante
        
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        En el interés del estudiante en Álgebra
        
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        En la flexibilidad del docente para planificar lecciones
        
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        En la alineación entre las evaluaciones dadas en lugar del EOC
        
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        Diseño
        
        Las pruebas chi-cuadrado no mostraron diferencia entre entre docentes sincrónicos o asincrónicos en preguntas sobre cómo había afectado el cierre de escuelas
        
        χ2(3,n=348) = 4,0356 ; p=0.2303
        
        La mayoría
        
        Permitió tiempo extra para completar tareas (93,6%)
        
        Redujo el número de tareas (77,4%)
        
        Señaló que los alumnos hacían menos preguntas (74,9%)
        
        Podía planificar sus lecciones con al menos 3 días de antelación (82,6%)
        
        La minoría
        
        Dejó de introducir material nuevo (12,3%)
        
        Indicó que cada lección estuviera menos estructurada (28,8%)
    - - Se usó la ecuación 1 para medir el rendimieto de los alumnos según los predictores de las encuestas y registros del sistema basados en medidas de orquestación
        
        Predictores de registros del sistema
        
        Completar el TYS anterior
        
        1 Desviación estandar = 0,195 Desviaciones estandar (Error estándar = 0,023)*
        
        Asterisco: Muy significativo
        
        CE = 0,195
        
        Carga de la página de orientación
        
        0,157 (0,035)*
        
        Ver vídeos de orientación
        
        -0,086 (0,056)
        
        Ver la clasificación de los estudiantes
        
        0,126 (0,032)*
        
        Buscar debates
        
        0,276 (0,050)*
        
        Ver los vídeos de revisión de la evaluación
        
        0,265 (0,064)*
        
        Ver los vídeos de solución de la evaluación
        
        0,141 (0,031)*
        
        Abrir o responder debates
        
        0,002 (0,037)
        
        Ver las respuestas correctas de la evaluación
        
        0,013 (0,022)*
        
        Ver materiales de aprendizaje/enseñanza
        
        0,212 (0,032)*
        
        Activar los subtítulos
        
        0,338 (0,079)*
        
        Ver los vídeos de la biografía de los tutores
        
        0,040 (0,096)
        
        Clicar en fotos de perfil
        
        -0,622 (0,097)*
        
        De los resultados de los alumnos y con estos registros se pudo estimar en qué medida afectaba 1 desviación estandar
        de cada uno a la desviación estandar de los resultados
        
        La mayoría de comportamientos docentes beneficiaban el rendimiento
        
        La preparación de docentes y el seguimiento de estudiantes en la plataforma resultaban en su buen desarrollo en evaluaciones TYS
        
        El mejor coeficiente estandarizado: "activar subtítulos"
        
        Relacionado con regulación/gestión en orquestación
        
        Buscar debates y ver vídeos de revisión de evaluaciones también era muy positivo (CE > 0,25)
        
        Relacionado con concienciación/evaluación en orquestación
        
        Todo lo relacionado con revisión docente de contenido de álgebra en el VLE = Rendimiento mejor
        
        Pero todo lo relacionado con revisar partes del VLE no relacionadas con álgebra = Sin afección o hasta rendimiento peor
        
        Ej: Ver vídeos de orientación, ver vídeos de biografías de los tutores, ver fotos de perfil
        
        Sólo "cargar la página de orientación" tuvo efecto positivo
        
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        Ej: completar cuestionario TYS anterior, ver vídeos de solución a levaluación, ver vídeos de revisión de evaluaciones...
        
        Curiosamente, responder o abrir debates por otra parte no tuvo relación con el rendimiento
        
        Predictores de encuestas
        
        Los coeficientes de la encuesta se agruparon por aspectos de la orquestación docente
        
        La mayoría de las respuestas no tuvo asociación directa con el rendimiento (CE bajo)
        
        Algunos sí que se relacionaron positivamente
        
        "Abordar las preguntas de los que levantaron la mano en vivo"
        
        "Evaluar el aprendizaje de los estudiantes con pruebas de Canvas"
        
        Sistema de gestión de aprendizaje (LMS), los profesores pueden usar versiones online de sus propias evaluaciones
        
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        "Evaluar el aprendizaje de los estudiantes con Performance Matters"
        
        Empresa de software que ofrece evaluaciones online y análisis de aprendizaje
        
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        "Frecuencia de exigir a los alumnos que completen una prueba antes del cierre"
        
        Preguntas codificadas de tal modo que mayor número = mayor frecuencia de pruebas a la semana
        
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        Todos ellos relacionados con la dimensión de evaluación/conciencia
        
        Otros relacionados negativamente
        
        "Dar más calificaciones por esfuerzo"
        
        "Llamar a los estudiantes que no completan el trabajo"
        
        Surgieron de la pregunta "¿Cómo se ha visto afectada su enseñanza de Álgebra por el cierre actual de la escuela?"
        
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        VER TODA LA TABLA 5
  - - - La mayoría nunca enseñó en línea - COVID19 fue desafiante
        
        Aunque la mayoría (89,4%) con cierta confianza
      - Algunos rápidamente actividades sincrónicas, otros prepararon actividades asincrónicas
      - Los docentes se adaptaron de distintas maneras
        
        Mayor flexibilidad en el diseño de aprendizaje
        
        Ej: tiempo adicional en tareas
        
        Enfoques de gestión y regulación nremota
        
        Ej: Comunicación por correo y foros
        
        Ajuste de ritmo de instrucción
        
        Ej: Condensación de contenido
        
        Facilitar el uso de evaluaciones formativas como control de aprendizaje
        
        Ej: Menos de una prueba/semana
    - - La única diferencia vista: en el tiempo permitido para completar tareas
        
        Sólo 1 diferencia significa que la adaptación en las actividades de orquestación ha venido dada por el cambio de contexto más que por un formato concreto de instrucción
      - Todos los profesores aumentaron el tiempo/actividad y redujeron el nº de actividades
        
        Reconocieron la dificultad creada por la pandemia y asumieron que a los estudiantes no les iría bien
        
        Esto resultó eficaz (Gandasari y Dwidienawati, 2020)
    - - Los resultados del modelo de regresión multinivel mostraron
        
        Participación activa docente en seguimiento y planificación con VLE = Mejor desempeño estudiantil
        
        Relacionado con regulación/gestión en orquestación
        
        Alineado con Akhtar et al, 2019 y Régner et al, 2009, que muestran relación positiva en facilitación con desempeño
        
        Evaluaciones fuera de VLE, como con Canvas o Performance Matter = Mayor rendimiento estudiantil
        
        Concienciación/organización de la evaluación por parte del profesor = Mejor rendimiento
        
        Aliviar la presión (ej: al dar calificación por esfuerzo) se asoció negativamente con el rendimiento
        
        Más esfuerzo = más compromiso = logros
        
        Sin embargo, calificar por esfuerzo es subjetivo (Kunnath, 2017)
        
        Es necesaria más investigación para entender la calificación en función del esfuerzo e interpretar los resultados negativos
        
        Esfuerzo procedimental (seguir instrucciones) ≠ Esfuerzo sustantivo (pensamiento crítico)
        
        El primero no tiene tantas implicaciones y el segundo está muy relacionado con los logros estudiantiles (Kelly, 2008)
    - - Varias actividades de orquestación vistas para aplicar en VLE en situaciones de emergencia
        
        1) Sesiones sincrónicas para un abordaje directo de preguntas y respuestas
        
        Modelo de regresión multinivel vio que ello se asociaba positivamente con el rendimiento estudiantil
        (a pesar de haber opción de usar correo o foros)
        
        Dos explicaciones
        
        Presencia docente directa = lo más parecido a un aula normal = mejor adaptación a VLE (Le y Truong, 2021)
        
        Compartir pensamientos ante compañeros = Mejor presencia social = Sentido de pertenencia y mayor involucración (Palloff & Pratt, 2007)
        
        Los correos y chats en preguntas complejas son ineficientes debido a la comunicación escrita y a la espera de respuesta (Duncan et al, 2012)
        
        2) Las tareas pueden ser más flexibles de lo habitual
        
        Flexibilidad en tiempo extra y menos tareas = sin efectos, tampoco negativos
        
        Menos tareas = Más tiempo para internalizar conceptos (muy importante en matemáticas (Fernández-Alonso et al., 2015))
        
        Mayor flexibilidad = Mejor participación y adaptación (Mahmood, 2021)
        
        Éxito de aprendizaje no sólo depende de logro académico, sino de motivación. Pandemia = desmotivación. Menos tareas = motivación y mayor compromiso (Steinmayr et al., 2019)
        
        3) Se puede aprovechar de otras plataformas mejoradas para las evaluaciones
        
        Usar Canvas o Performance Matters tuvo mayores logros
        
        Las características analíticas y bien estructuradas podrían no dar una explicación suficiente
        
        Puede haber numerosos factores para mayor investigación que otorguen logro a Canvas y Performance Matters y no a Kahoot e IXL
        
        Ej: Kahoot (y la gamificación en general) depende mucho de cómo se implemente en clase (Jagust et al, 2018) y de las diferencias individuales de cada alumno (Stoyanova et al, 2017)
        
        Ej: Lo fijas que son las preguntas en IXL puede hacer sentir al alumno descontextualizado (Resnick & Resnick, 1992)
        
        Sin embargo Kahoot e IXL no tuvo ningún efecto
        
        4) Seguimiento no intrusivo del aprendizaje estudiantil
        
        Críticas a no completar tareas = Efecto negativo significativo
        
        Ignorancia tampoco, claro
        
        Análisis del registro del sistema: Seguimiento estrecho del progreso de aprendizaje = Apoyo eficaz en rendimiento
        
        Medido por
        
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        En otros estudios
        
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    - - 1) No se proporciona información detallada sobre las prácticas
        
        Métodos más cualitativos = Comprensión profunda de motivaciones y actividades de orquestación
      - 2) La elección de actividades del docente puede venir por otras motivaciones más allá del rendimiento estudiantil
        
        Ej: Autoeficacia y motivación
        
        Esto se ignoró en este estudio
        
        Las investigaciones futuras pueden ser más exhaustivas en este sentido
      - 3) Aunque hay respaldo en investigaciones de la relación entre prácticas de orquestación y rendimiento
        
        Aquí no se muestra una evidencia causal de los efectos de la orquestación docente en el rendimiento estudiantil
        
        Son necesarios estudios experimentales o cuasiexperimentales en orquestación docente
      - 4) No se realizó investigación en otros entornos más allá del VLE ante la asociación positiva de otras plataformas como Canvas y Performance Matters con el rendimiento
        
        Estudios futuros pueden iluminar cómo las actividades de orquestación son usadas en estas otras plataformas
        
        Algunas centradas en evaluación, otras centradas en contenido...
    - - Pocos estudios han examinado las actividades remotas de emergencia en VLE
        
        Objetivo de este estudio: Investigar y revelar las actividades de instrucción de los profesores en el cierre de escuelas y sus efectos en el rendimiento con el marco de orquestación de Prieto et al, 2011
        
        Para ello, estadística descriptiva de las respuestas de 213 maestros sobre orquestación antes y tras el cierre de escuelas
        
        Además, modelos multinivel sobre el rendimiento de los alumnos (n=10590) de estos maestros basados en los registros y respuestas de estos como indicadores de orquestación
- - - - Concepto amplio, muchos tipos lo son
        
        Aprendizaje basado en problemas
        
        Aprendizaje basado en investigación
        
        Aprendizaje basado en proyectos
        
        Enseñanza reflexiva
        
        Foco de este estudio
        
        Muy positiva (Freeman et al, 2014 ; Laursen et al, 2014 ; Kwonet al., 2005)
      - Hay más que escucha pasiva y alguna pregunta espontánea (Bligh, 2000 ; Freeman et al, 2014)
      - Genera mejor comprensión conceptual(Mataka y Taibu, 2020 ; Bouhjar et al, 2017 ; Kwon et al, 2005)
      - Su implementación es desafiante (Johnson & Larsen, 2012 ; Wagner et otros, 2007)
        
        Necesidad de mayor apoyo en la investigación
        
        Mateirales curriculares específicos (Larsen et al., 2013 ; Rasmussen & Kwon, 2007 ; Wawro et al., 2013)
        
        Modelos de apoyo, materiales didácticos (Johnson et al., 2015)
        
        Teaching inquiry-oriented mathematics: establishing supports (TIMES)
  - - - Comprensión conceptual: Conexión entre diferentes ideas y conceptos (LÓGICA)
        
        Aprendizaje relacional
        
        Términos usados por Skemp (1976)
        
        Rico en relaciones, una red conectada de conocimiento
        (Hiebert y Lefevre, 1986)
        
        Relaciones tan importantes como las propias piezas
        
        No se debería explicar como "reglas o procedimientos separados para resolver problemas matemáticos", como siempre se ha hecho
        
        Reconocido por Principios y Estándares para Matemáticas del NCTM
        
        Importante para alumnos de primaria y secundaria
        
        También en universidad
        
        Fundamental, pero no trivial (Melhuish, 2015)
        
        Sin ella, los alumnos no sabrán lo que hay detrás
        
        No hay posible aplicación práctica ante un problema real
      - Comprensión procedimental: Seguimiento de procedimientos específicos Y aplicación de fórmulas (MEMORIA)
        
        Aprendizaje instrumental: planes fijos para respuestas rápidas a preguntas ("reglas sin razones")
        
        Según Star (2007) no tiene por qué equipararse, el entendimiento procesal puede ser profundo, flexible y estar aplicado críticamente
        
        Ambos tipos de conocimiento pueden reforzarse mutuamente para un aprendizaje integral (Star, 2005)
        
        Son dos caras de la misma moneda, no se pueden separar pero tienen una identidad y valor propios
        
        Sin el sustento de los conceptos, el conocimiento procedimental está muy limitado
        
        El conocimiento procedimental desempeña un papel de apoyo en la comprensión conceptual (Star, 2005)
        
        Star, 2013: Debemos considerar ambos tipos de comprensión como modelos diferentes, no uno mejor que otro
  - - - Hay mucho material para diferentes cursos: álgebra abstracta, lineal y ecuaciones diferenciales
        
        Larsen et al, 2013 ; Rasmussen & Kwon, 2007 ; Wawro, Rasmussen, Zandieh & Larson, 2013
        
        Secuencias de tareas de problemas desarrolladas por ciclos de investigación y diseño, con un análisis continuo en el aula (Cobb 2000)
        
        Se diseña y prueba una secuencia de tareas inicial, que se ajusta tras un análisis de los resultados piloto y de manera recursiva se recoge más información y perfecciona el procedimiento
        
        Distinto para cada clase: las preguntas indagatorias dependerán de la contribución de los estudiantes
        
        Se generan oportunidades para discusiones productivas que construyan ideas matemáticas importantes
    - - La enseñanza reflexiva no es sencilla, se requiere de apoyo debido a diversos desafíos
        (Anderson, 2002 ; Johnson & Larsen, 2012 ; Speer & Wagner, 2009)
        
        Proporciona modelo para ayudar a instructores en la implementación de la enseñanza reflexiva
        
        Basado en tres componentes
        
        Material de apoyo curricular
        
        Proporciona
        
        Especificación de objetivos de aprendizaje
        
        Justificación de cada tarea
        
        Notas para implementación de tareas
        
        Ejemplos de trabajo de estudiantes para los profesores
        
        Taller de verano para instructores
        
        3 días de duración
        
        Para presentar el material y desarrollar comprensión clara de la enseñanza reflexiva
        
        Grupos de trabajo semanales en línea para instructores (Johnson et al., 2015)
        
        Para discutir y trabajar en las lecciones seleccionadas del material
        
        Para debatir sobre la implementación de la tarea de cada instructor grabada en vídeo
        
        Tres áreas de enfoque
        
        Álgebra abstracta
        
        Ecuaciones diferenciales
        
        Álgebra lineal
        
        Foco de este estudio, la IOLA (Algebra lineal reflexiva - http://iola.math.vt.edu)
        
        Material para profesores
        
        Material para estudiantes
        
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        Investigaremos la mejora de comprensión conceptual y procedimental
        
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        Financiado por la National Science Foundation (EEUU)
        
        Cobertura de contenidos
        
        Gestión del tiempo
        
        Resistencia de los estudiantes
        
        Desacuerdos en el departamento
    - - Estudiantes investigan los nuevos conceptos
      - Profesores investigan formas de razonamiento de los estudiantes para adaptar su instrucción y que se base en ello (Rasmussen & Kwon, 2007)
    - - Generar formas de razonamiento
      - Aprovechar las contribuciones de los estudiantes
        
        Kwon et al, 2015: Hay dos características centrales para ello
        
        La participación verbal activa en discusiones
        
        Un material basado en el diseño instruccional de la Educación Matemática Realista (RME)
        
        Objetivo: aprovechar las ideas informales e intuitivas del alumnado para desarrollar notación y lenguaje matemático más formal (Rasmussen & Keynes, 2003) (ejemplo: Wawro et al., 2012)
      - Desarrollar comprensión compartida
      - Conectarse al lenguaje y notación matemática estándar
  - - - Tres cursos académicos (2014-2017)
        
        Dos años
      - Equipo de investigación de TIMES
      - Entrevistas previas y posteriores
      - Vídeos de clases de las lecciones elegidas (3-4h por instructor)
      - Evaluación posterior común de clases TIMES y no TIMES
        
        Límite del alcance de este estudio
        
        Nueve preguntas con subpartes de opción múltiple y respuesta abierta
        
        1 hora
        
        271 (12 clases) TIMES + 190 (7 clases) no TIMES = 461 (19 cases)
      - 461 estudiantes, 19 clases de álgebra lineal, 15 institutos
    - - Alineada con los 4 temas focales de IOLA
        
        Intervalo e independencia lineal
        
        Sistemas de ecuaciones lineales
        
        Transformaciones lineales
        
        Valores y vectores propios
      - Se revisó literatura (investigación y libros de texto común)
        
        Resultado
        
        9 preguntas
        
        Abiertas
        
        Respuesta libre con sus propias palabras sobre la propia pregunta o sobre el por qué de una opción múltiple anterior
        
        Opción múltiple
        
        Una sóla respuesta válida
        
        Punto por cada respuesta correcta
        
        Varias respuestas válidas
        
        Combinación abierta/opción multiple
        
        Divididas en ítems procedimentales o conceptuales según subescala de Hiebert y Lefevre, 1986
        
        Fórmula existente/Conjunto de pasos fijo = ítem procedimental
        
        Ej: Ejer 1c Fig 1 -- Se pueden tomar combinaciones lineales de las opciones para responder
        
        No hay fórmula/Conjunto de pasos = ítem conceptual
        
        Ej: 1a y b Fig 1 -- Es necesario conectar la idea de "sistema generador" (todas las posibles combinaciones lineales de dos vectores) con la interpretación geométrica de que dos vectores no nulos y de distinta dirección en el espacio tridimensional generarán un plano
        
        Calificadas con una rúbrica propia y una máxima puntuación de 3 puntos
      - Se consultó con expertos externos
      - Se identificaron y desarrollaron preguntas para revelar la comprensión conceptual en álgebra lineal (además de sólo problemas procedimentales)
        
        Se procuró alinear al máximo las preguntas con el tema cuyo entendimiento se quería medir
        
        Validez de constructo: medida por realización y análisis de entrevistas clínicas a 8 estudiantes universitarios
        
        Medidas válidas en Haider, 2018 y 2019
        
        Alpha de Cronbach 0,79 para ítems conceptuales y mixtos y 0,70 para ítems procedimentales
        
        Validez de contenido: Medida por expertos
  - - - En subescalas conceptual y procedimental
    - - Sin datos previos a la prueba
        
        Prueba t con muestra independiente para ver si la diferencia es estadísticamente significativa
        
        Muestras pareadas en subescalas procesales y conceptuales, algunos ítems eran comunes (dependencia)
        
        Para comparar las puntuaciones en procedimiento con las puntuaciones conceptuales
        
        en
        
        estudiantes TIMES
        
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        estudiantes no TIMES
        
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        todos agrupados
        
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        Para comparar TIMES con no TIMES
        
        en
        
        prueba general
        
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        subescala procedimental
        
        1 more item...
        
        subescala conceptual
        
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      - Se observa diferencia de desempeño en tres variables
        
        Puntaje total
        
        Puntaje procesal
        
        Necesidad de análisis MANOVA (Análisis multivariado de varianza) entre 7 clases TIMES con no TIMES
        
        Se emparejó cada clase TIMES con una no TIMES comparable, siempre que hubiera datos
        
        Sólo Primeros 4 pares del mismo instituto. No siempre se podía, algunos institutos eran pequeños y sólo se daba álgebra cada dos cursos
        
        T2 con nT2
        
        T1 con nT1
        
        T3 con nT3
        
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        T4 con nT3
        
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        Los 3 últimos de institutos distintos pero parecidos en tasa de aceptación de estudiantes y nº de inscritos en álgebra lineal (diferencia <20%)
        
        Se emparejaron los institutos según
        
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        Para encontrar las diferencias en las medias de ambos grupos en las tres variables dependientes
        
        basadas en las variables independientes TIMES/no TIMES y los emparejamientos
        
        Puntaje conceptual
  - - - 1) Informar la diferencia en preguntas procesales y conceptuales en cuatro temas de álgebra
        
        Intervalo e independencia lineal
        
        Sistemas de ecuaciones lineales
        
        Transformaciones lineales
        
        Valores y vectores propios
        
        Para ello
        
        1) Observamos el desempeño general en
        
        Resultados completos
        
        Subescala procedimental
        
        Resultados significativamente diferentes entre ambas subescalas
        
        Todos los estudiantes
        
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        Estudiantes TIMES
        
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        Estudiantes no TIMES
        
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        Medidos con prueba t dependiente (por ítems comunes)
        
        Subescala conceptual
        
        2) Comparamos desempeño de TIMES con no TIMES en general
        
        Prueba general
        
        TIMES: 7,2 (SD=7,88) ; no TIMES: 6,5 (SD=9,07)
        
        t = 4,57 ; p <0.001
        
        Subescala procedimental
        
        TIMES: 7,9 (SD=3,94) ; no TIMES 7,2 (SD=5,08)
        
        t=4,17 ; p<0.005
        
        Subescala conceptual
        
        TIMES 6,7 (SD=6,12) ; no TIMES 5,9 (SD=6,86)
        
        t = 4,10 ; p<0.001
        
        Con prueba t independiente
        
        3) Comparamos TIMES y no TIMES realizando emparejamientos comparables
        
        La puntuación de estudiantes TIMES y no TIMES de diferentes institutos puede enmascarar variabilidad significativa entre distintos entornos
        
        Si hay diferencia entre TIMES y no TIMES porque los TIMES eran de más centros, la diferencia podría estar en el número de centros implicados y no tanto en que sean TIMES o no TIMES
        
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      - Comparar estudiantes TIMES y no TIMES para ver hasta qué punto es útil la enseñanza reflexiva
      - Hallazgos finales
        
        1) Los estudiantes TIMES obtuvieron resultados significativamente mejores que los no TIMES
        
        Viéndolo por pares, TIMES fue siempre mejor que no TIMES, aunque el resultado no fue siempre significativo
        
        3) Los profesores con 1 año de experiencia en enseñanza reflexiva dieron los resultados más significativos (pares 1, 2 y 7) entre clases TIMES y no TIMES, mientras que los otros (novatos) no
        
        La experiencia tiene buen efecto (comprobar en líneas futuras)
        
        Alineado con Andrews-Larson et al, 2019 donde usan material IOLA para mejorar su capacidad de obtener y aprovechar toda contribución de los estudiantes = rica argumentación matemática
        
        2) Los estudiantes obtienen mejores resultados procedimentales que conceptuales
  - - - Kwon et al., 2005: La enseñanza reflexiva dio mejor conocimiento conceptual e igual conocimiento procedimental en ecuaciones diferenciales
        
        Además, mejor retención de conocimientos
        
        En el caso del estudio actual, resultados similares con mayores muestras
        
        Mejoras en los dos tipos de conocimiento pero mayor mejora en el conceptual
        
        Se necesita mayor investigación para medir e informa la diferencia de retención de conceptos (posible línea futura)
    - - Algunos entornos pueden moldear las experiencias disciplinarias y de investigación de manera sexista (Schulte y Wegner, 2021)
        
        Nuestro estudio no desglosó los resultados por género (posible línea futura)
      - Los resultados de la enseñanza reflexiva según el género (Laursen et al., 2014 ; Johnson et al, 2020)
      - Las normas de instrucción pueden incluir o excluir a mujeres en entornos para la investigación y ello está directamente vinculado a los resultados (Reinholz et al., 2021)
    - - Ayudó a los estudiantes a una mejor comprensión del álgebra lineal
        
        Este trabajo tendrá implicaciones importantes para respaldar mejores resultados entre profesores que aprendan a implementar enseñanza reflexiva
      - Se necesitan más investigaciones para descubrir hasta qué punto influyeron cada uno de los factores por seprarado
        
        y cómo puede variar para grupos particulares
- - - - A) Generalización y representación de regularidades y restricciones
        
        Añadido por A Wu, 2001 se requiere de abstracción
        
        Abstracción = Conceptualizar ejemplos particulares encontrando similitudes
        
        ≠ Generalización (construcción de propiedades que funcionan en todos los casos) (Mitchelmore, 2002 ; Blanco y Mitchelmore, 2010)
        
        Para llegar a una generalización, primero se abstrae (Radford, 2003)
        
        No toda generalización implica pensamiento algebraico (ej: prueba y conjetura)
        
        Para ambos casos se necesita una justificación (por qué generalizo o por qué razono de x manera) (Blanton et al., 2018)
        
        Finalmente, con todo justificado, se realiza la APLICACIÓN Y COMPARACIÓN DE MODELOS generalizando regularidades (3)
        
        Conlleva el ESTUDIO DE ESTRUCTURAS Y SISTEMAS (1)
        
        Generar expresiones, igualdades, desigualdades, jugar con el signo igual generalizando relaciones...(Blanton et al., 2018)
      - B) Razonamiento sobre generalizaciones en un sistema convencional
        
        Hay unas normas, hay que jugar con ellas y conocer la relación entre símbolos
        
        Analiticidad = Tratar con cantidades desconocidas como si fueran conocidas y operar con ellas de las cuatro formas conocidas
        
        Conlleva el estudio de RELACIONES FUNCIONALES (2)
        
        El estudio actual incluye tareas y situaciones de aprendizaje basadas en las tres
        
        Pero más centrado en (2): LAS RELACIONES FUNCIONALES
        
        Expresión de una variable dependiente según una independiente con herramientas representacionales (Pittalis & Zacharias, 2019)
        
        Para ello, tres tipos de pensamiento:
        (Blanton y Kaput, 2011 ; Stephens y otros, 2017)
        
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        Esas herramientas de representación pueden ser muy variadas
        (Iori, 2017 ; Schwartz y Yerushalmy, 1992; Wilkie, 2016)
        
        2 more items...
        
        Estudio formal de álgebra basado en patrones = Oportunidad de abstracciones y generalizaciones (English & Warren, 1998 ; Radford, 2003 ; Rivera, 2010)
        
        Analizan casos especiales, comparan y tras organizar datos generan una regla aplicable a todos
  - - - Práctica matemática: Cualquier acción matemática para
        
        Resolver problemas
        
        Comunicar y justificar soluciones
        
        OSA: Objeto matemático = Entidad resultante de la práctica matemática
        
        De entre ellos, hay unos objetos primarios
        
        Elementos lingüísticos
        
        Palabras, expresiones, fichas de álgebra...
        
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        Situaciones
        
        Problemas, tareas, aplicaciones...
        
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        Conceptos
        
        Nociones con definición (ej: pendiente)
        
        1 more item...
        
        Proposiciones
        
        Declaración sobre propiedades de los conceptos (ej: "La fórmula de la pendiente")
        
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        Trámites
        
        Técnicas y algoritmos usados para resolver
        
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        Argumentos
        
        Justificación de procedimientos
        
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        El OSA los estudia desde cinco facetas duales
        
        Personal / institucional
        
        El contenido que se explica en las aulas, tras el cual hay diálogo, argumentación y acuerdos, son objetos institucionales, mientras que la concepción individual del alumno genera objetos personales
        
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        Ostensivo/no ostensivo
        
        Las representacionales materiales (ej: una tabla de valores) son objetos ostensivos, mientras que lo no ostensivo son procesos mentales consensuados (ej: que no haya símbolo de multiplicar en 2x significando 2*x)
        
        Extensivo/intensivo
        
        Un objeto extensivo es un caso particular, un ejemplo (2x), de un objeto intensivo, un tipo (funciones lineales)
        
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        Unitario/sistémico
        
        Un objeto es sistémico si se puede descomponer en partes para estudiar y unitario si es un sistema completo aprendido anteriormente
        
        Expresión/contenido
        
        En matemáticas se crean de continuo funciones semióticas en las que un objeto (expresión) representa a otro (contenido)
        
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        Todo ello es un marco útil para comprender las prácticas algebraicas de los estudiantes
        
        Basándose en ello, Aké et al. (2013) definió los niveles de algebrización
        
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        Generalizar a otras situaciones
- - - - Aunque no habían tratado con álgebra formal aún
    - - 12 situaciones de álgebra
        
        Basado en Blanton & Kaput, 2011; Inglés y Warren,1998 ; Radford,2014b y Stacey,1989, primero se mostraban patrones figurativos y posteriormente variables, yendo de lo más simple a más difícil siguiendo los niveles de algebrización
        
        Lecciones 3 y 4: Variables como incógnitas fijas, operaciones de suma y resta en expresiones basadas en símbolos
        
        Última lección: tareas de relaciones funcionales
    - - Construyó un ambiente de aprendizaje para compartir ideas, desafiar y contribuir al aprendizaje
        
        Primero conocimiento personal y grupal, después institucional
      - Observó de cerca el proceso de aprendizaje y recopiló datos
  - - - Entre 10 y 20 mins
      - Se plantearon preguntas con distintas representaciones
  - - - Se determinaron los objetos matemáticos de cada situación
        
        12 informes (uno por situación) desde la visualización del primer vídeo
        
        +Informes realizados de los vídeos de las entrevistas a los alumnos para visualizar los objetos generados por ellos
        
        Horas de trabajo usadas como dato para la identificación de episodios de enseñanza
        
        Cada informe de cada situación indicaba los 6 objetos primarios (situación, elementos lingüísticos, proposiciones...) que envolvía la respuesta de los alumnos
        
        Cada vídeo se volvió a ver una segunda vez
        
        Foco en comprender la configuración de objetos y funciones semióticas creadas por los alumnos en situaciones de relación funcional
        
        Con especial atención a los casos en que se usaron las 4 prácticas algebraicas...
        
        Generalizar
        
        Abstraer
        
        Justificar
        
        Operar
        
        ...y los tres tipos de pensamiento
        
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        Se identificaron los niveles de algebrización realizados por cada estudiante
        
        El papel de las representaciones en el pensamiento algebraico se mostró en diagramas
        
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- - - - Se les daba 3 figuras que variaban y se pedía que dibujaran la 4ª y la 5ª
      - Ej Arda: Creó una función semiótica entre la forma geométrica del patrón y la expresión verbal usada
        en el ejercicio de la X creciente (fig1 ejer3)
        
        Observó: "la X tiene 4
        fichas en cada esquina"
        
        Estructura geométrica inicial
        
        Acción: "Agregamos una ficha
        a cada paso en cada esquina"
        
        Regularidad visualizada
      - Los alumnos notaban similitudes y diferencias
        
        En rectángulos en crecimiento (fig 4) los alumnos debatieron
        
        "La altura es 2 más que la base del rectángulo"
        
        Emir: "la cuarta es de 4 por 6, 2 más"
        
        ABSTRACCIÓN: Notar la configuración geométrica
        y la regularidad en el crecimiento del patrón
        
        Rasgos de los objetos en términos lingüísticos
        
        Procedimientos en los objetos extensivos
      - Había conversación entre alumnos y maestro
        
        En el ejercicio de la T creciente
        
        Maestro: "¿Cómo encontrasteis el nº de fichas de la décima figura?"
        Baha: "La parte inferior es el nº del paso, arriba hay siempre 1 más, en la décima figura hay 10 abajo, 11 arriba = 21"
        
        Baha pudo abstraer la T de figuras cercanas y conectar cada dibujo con su nº de paso
        
        Baha usó un método no ostensivo, mientras que Arda contó todas las T hasta llegar a la décima (ostensivo)
        
        Emir se equivocó llegando a 27 pero el maestro le preguntó cómo lo hizo sin juzgar su error, para que él mismo se diera cuenta de que era
        
        También se equivocó al razonar que en el paso 100 debería haber 210 "ya que 21*10 = 210"
        
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      - Había conversación entre alumnos
        
        Se les pedía justificar sus soluciones
        
        Una vez que observaban la estructura del patrón y discernían las similitudes, podían adivinar la figura lejana de forma más flexible con las cercanas como significante
        
        En algunas situaciones iniciales usaban tablas aunque no se les pedía. Poco a poco fueron abstrayendo la estructura de los patrones con pensamientos abstractos sin tablas
        
        Para justificar, sí que todavía usaban ejemplos (Arda explicó el décimo paso de la T con el ejemplo del segundo paso)
        
        A veces usaban gestos e imitaciones (ej: dibujar en aire)
        
        Cuando usaban tablas tendía a encontrar "reglas inválidas" que valían para un par de ejemplos pero no para todo
        
        Pasaron a comprobar que sus proposiciones se cumplieran en todos los casos
        
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        Los estudiantes realizaban un borrador con figuras ostensivas y describieron el patrón para "un amigo que no estaba allí"
        
        El grupo justificó su objeto intensivo (patrón observado) refiriéndose a las características de los objetos extensivos visualizables en el enunciado de la situación
        
        Finalmente tras discusión Emir, que todavía hacía representaciones no ostensivas para llegar al 10º, entendió todo (transfirió el conocimiento personal al grupal)
        
        Todo explicado en fig 3
        
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        Finalmente progresaron al conocimiento institucional conforme el maestro estructuraba su progresión algebraica
        
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        Ej: Situación de X creciente: Explicad colaborativamente a otro amigo cómo encontraríais la cantidad de fichas en cualquier paso
        
        Baha: "Cada brazo tendrá una ficha menos que el número de paso. Como hay una ficha en medio, sumamos 1 al número total de fichas"
        
        "En el paso 99 cada esquina tendrá 98 fichas, por lo que el total será 98*4+1 = 393"
      - Había variedad
        
        El maestro pidió que escribieran la regla usando letras, con una fórmula (conocimiento institucional)
        
        Baha y Arda sustituyeron directamente la representación verbal por simbólica centrándose en el significado verbal y contextual (Godino et al., 2015 ; Radford y Puig, 2007)
        
        Pasaron de "nº paso-1 por 4 mas 1" a y=(x-1)*4+1
        
        Llegaron al nivel 2 de algebrización
        
        Además, llegaron a simplificar en los casos que se requería tras pregunta del profesor
        
        Situación 5: es lo mismo x+1+x+2 que x*2+3
        
        Apoyo en las operaciones con símbolos
        
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        Finalmente, hicieron uso de la manera más institucional de escribir las fórmulas
        
        Es mejor 2x+1 que x*2+1
        
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        En cambio Emir, mostró otro resultado
        
        En la X creciente, en vez de (x-1)·4+1 escribió x·4+1
        
        Esta relación indicaba nº fichas en un brazo de la X con nº total de fichas
        
        En la situación 5, usó mal el símbolo del igual (dijo x+1=y+1=z del mismo modo que pensaba que decir 5+3=8+1=9 era correcto)
        
        Poco a poco fue haciéndolo bien, hubo un desarrollo gradual
        
        En algunas tareas mostró un enfoque numérico (nivel 1)
        
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        En otras llegó a representar el objeto intensivo con símbolos (nivel 2)
        
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  - - - Ej: Situación 6
        
        Se les pidió hallar la 4ª, la 5ª, la 10ª y la 100ª figura
        
        Con una tabla en las figuras cercanas, vieron rápido que a cada paso había 3 palillos más
        
        Emir encontró que en cada paso el nº palillos es tres veces el nº paso más uno
        
        Lo justificó diciendo que funcionaba en todos los casos vistos
        
        Prueba y error, Baha igual
        
        La maestra pidió justificación basada en el patrón figurativo
        
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        Tras discutir la regla, Arda la usó para encontrar la 100ª figura
        
        Vieron la relación directa entre nº paso y nº palillos
        
        Pensamiento por correspondencia
        en todo el grupo
        
        Este ejemplo fue una ilustración típica de estudiantes al trabajar con patrones
        
        Lo cercano = pensamiento recursivo y covariacional; lo lejano = pensamiento por correspondencia
        
        En algunas situaciones crearon directamente la regla del patrón mostrando evidencia del pensamiento abstracto generalizador y de correspondencia
        
        Patrón proveniente de figuras no ostensivas
        
        Pensamiento algebraico
        
        El profesor siempre pedía examinar la estructura del patrón promoviendo este pensamiento
        
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        En otras crearon una tabla y hallaron la regla por prueba y error
        
        Esto pasa por alto el proceso de abstracción y no puede considerarse pensamiento algebraico (Radford, 2014b)
        
        En cualquier caso, las representaciones verbales permitieron organizar el pensamiento y traducir a representaciones simbólicas
- - - - Configuración geométrica y regularidad del patrón
        (Radford, 2003)
      - Relación entre objetos extensivos y su orden en secuencia
  - - - Cuantas más funciones semióticas, más profunda la comprensión y el pensamiento algebraico (Font et al, 2007 ; Montiel et al, 2009 ; Radford, 2014a,b)
        
        Esta investigación da un valor adicional y nueva perspectiva a las representaciones verbales
        
        Las usaban continuamente para dar sentido a lo que aprendían en procesos de abstracción y generalización
        
        Esto explica su éxito en estudios anteriores (Panasuk, 2010 ; Wilkie, 2016)
  - - - Usaron analiticidad: Operaron con valores desconocidos
    - - El mal entendimiento en aritmética afecta en álgebra (Stacey y MacGregor, 1997 ; Madriguera, 2003)
      - Además, Emir necesitaba más oportunidades (colores en ejercicio de las T) para formar sus funciones semióticas
        
        Sólo así llegaba a la forma institucional simbólica en algunos casos, es decir, al nivel 2.
  - - - Este es importante (Butts, 1985), pero se debe exigir al estudiante justificar
        
        Sólo así se promueve la analiticidad (Radford, 2014b)
- - - - Deben pedir que verbalicen las características visibles y que expliquen su relación con el orden en la secuencia
  - - - Las respuestas deben estar basadas en más estrategias además del simple ensayo y error