Funciones y modelos
Las funciones aparecen siempre que una cantidad dependa de otra
Una función f es una regla que asigna a cada elemento de x de un conjunto D, exactamente un elemento, llamado f(x) de un conjunto E
El conjunto D se llama dominio de la función, el número f(x) es el valor de f en x y se lee "f de x".
El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f(x) cuando x recorre todo el dominio.
Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente y un símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente.
Se puede usar un diagrama de una función ya sea mediante un diagrama de máquina o un diagrama de flechas
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Prubea de la recta vertical, una curva en el plano xy es la gráfica de una función x si y sólo si ninguna recta vertical cruza la curva más de una vez.
Hay cuatro formas de representar una función:Verbalmente, numéricamente,visualmente y algebraicamente.
La función P es típica de las funciones que aparecen siempre que tratemos de aplicar cálculo al mundo real.
Simetría, si una función f satisface f(-x) = f(x) para todo número x en su dominio, entonces f se llama función par.
Si f satisface f(-x) = -f(x) para todo número x en su dominio, entonces f se llama función impar.
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Una función f se llama creciente en un intervalo I si 
La función se llama función exponencial porque la variable x es el exponente, una función exponencial es una función de la forma:
Se llama decreciente en I si
Un modelo matemático es una descripción matemática(con frecuenca por medio de una función) de un fenómeno real, su propósito es entender el fenómeno y quizá hacer predicciones acerca de su futuro comportamiento.
Modelo lineal, cuando decimos que y es una función lineal de x, queremos decir que la gráfica de la función es una recta, de modo que podemos usar la forma pendiente-intersección con y de la ecuación de una recta para escribir una fórmula como: en donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección con y.
Polinomios, una función P se llama polinominal si donde n es un número entero no negativo y donde las a son constantes llamadas coeficientes del polinomio.
Un polinomio de grado 1 es la forma y es una función lineal, un polinomio de grado 2 es la forma y se llama función cuadrática. Un polinomio de grado 3es de la forma y se llama función cúbica.
Funciones de potencia,una función de la forma donde a es una constante.
La gráfica de función recíproca Su gráfica tiene la ecuación y es una hipérbola con los ejes de coordenadas como asíntotas.
Funciones racionales, una función racional f es una razón entre dos polinomios donde P y Q son polinomios.
Una función f recibe el nombre de función algebraica si se puede construir usando operaciones algebraicas empezando con polinomios.
Las gráficas de funciones seno y coseno
Las funciones exponenciales son las funciones de forma: donde la base a es una constante positiva.
Las funciones logarítmicas donde la base a es una cosntante positiva, son las funciones inversas de las funciones exponenciales.
Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones de un modo semejante a comos sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números reales, las funciones de suma y resta están definidas por: y las funciones de producto y cociente por:
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De todas las bases posibles para una función exponencial, hay una que es la más conveniente para fines de cálculo, la selección de una base a está influida por la forma en que la gráfica de cruza el eje de y.
A la función se le llama función exponencial natural.
Una función f recibe el nombre de función biunívoca si nunca toma el mismo valor dos veces:
en donde sólo es si y sólo si hay una recta horizontal que cruce su gráfica más de una vez.
Sea f una función biunívoca con dominio A y rango B, entonces su función inversa tiene dominio B y rango A y está definida por: para cualquier y en B.
La forma para hallar la función inversa de una función biunívoca f:
Una función inversa que recibe el nombre de función logarítmica con base a y está denotada por
Leyes de logaritmos si x y y son números positivos:
El logaritmo con base e se denoina logaritmo natural y tiene una notación especial:
Cálculo Diferencial
José Gerardo Martínez López
Matrícula 70802, Grupo B
Tutor Roberto Medina Ortíz
San Nicolás, Nuevo León
16 de junio de 2024
Límites y derivadas
La palabra tangente se deriva de la palabra tangens que significa tocar, entonces, una tangente a una curva es una recta que toca esa curva.
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Ley de Galileo:
Fórmula para velocidad promedio:
Para encontrar nuestro límite:
La función H de Heaviside está definida por
Para los límites laterales:
Leyes de los límites, suponiendo que c es una constante y tenemos limites entonces tendremos:
Verbalmente podemos expresarlas como:1)El límite de una suma es la suma de los límites. 2)El límite de una diferencia es la diferencia de los límites. 3)El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función. 4)El límite de un producto es el producto de los límites. 5)El límite de un coeciente es el cociente de los límites.
Si se usa la Ley del producto g(x) = f(x) se tiene la siguiente ley:
Al usar estas 6 leyes del límite se necesitan usar 2 límites especiales:
Si se pone f(x) en la Ley 6 y usamos la Ley 8 se obtiene otra Ley:
Para raíces usamos:
La siguiente Ley es:
Si f es una función o una racional y a está en el dominio de f entonces:
Algunos límites se calculan mejor si primero encontramos los lñimites por la izquierda y por la derecha, debemos utilizar los siguientes teoremas:
Una función f es continua en un número a si
En la discontinuidad removible podemos remover la discontinuidad al redefinir f en exactamente el número individual. En la discontinuidad de salto la función salta de un valor a otro.
Una función f s continua por la derecha en un número a si: y es continua por la izquierda en a si
Una función f es continua en un interb¿valo si es continua en todo el numero en el intervalo.
Si f y g son continuas en a y c es una constante, entonces las siguientes funciones también son continuas en a:
Toda función polinomial es continua en cualquier punto, es decir, es continua en R = (-∞,∞) y cualquier función racional es continua siempre que esté definida, o sea, si es continua en su dominio.
Tipos de funciones continuas en todo número de sus dominios: Polinomiales, Funciones raíz, Funciones exponenciales, Funciones racionales, Funciones trigonométricas, Funciones logarítmicas
Si f es continua en b y
es decir:
El teorema del valor intermedio expresa que una función continua toma todo valor intermedio entre los valores de función f(a) y f(b)
La recta x = a se denomina asíntota vertical de la curva y = f(x) si al menos uno de los siguiente enunciados es verdadero:
Sea f una función definida en algún intervalo (a, ∞), entonces:
La recta y se llama asíntota horizontal de la curva y= f(x) si:
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Si n es un entero positivo, entonces:
La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a,f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente siempre que exista este límite
Función de posición del objeto:
Velocidad instantánea:
La derivada de una función f en un número a, denotada por f'(a) es: si este límiet existe.
La recta tangente a y=f(x) en (a,f(a)) es la recta que pasa por 8a, f(a)) cuya pendiente es igual a f'(a), la derivada de f en a.
promedio de rapidez de cambio = . La derivada f'(a) es la rapidez de cambio instantánea de y=f(x) con respecto a x cuando x=a
Si se usa la notación tradicional y=f(x) para indicar que la variable independientemente es x y la variable dependiente es y, entonces algunas notaciones alternativas comunes oara la derivada son: Los símbolos D y d/dx son llamados operadores diferenciales porque indican la operación de derivación.
Una función f es f¿derivable en a si existe f'(a). Es derivable en un intervalo abierto(a,b) si es derivable en todo número del intervalo
Las rectas tangentes se hacen cada vez más empinadas ciando x→a.
Di f es una función derivable, entonces su derivada f' también es una función, de modo que f' se puede tener una derivada propia, denotada por (f') = f", esta nueva función f" se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f.:
La rapidez instantánea de cambio de velocidad con respecto al tiempo recibe el nombre de aceleración:
Tercera derivada:
Una antiderivada de f es una función F tal que F' = f.
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