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Spé Maths - Coggle Diagram

- - - - Valeurs interdites
        
        (X) denominator nulle
        
        valeurs pour laquelle la fonction n'est pas defini
        
        EXEMPLE: ln(x-1) n'est pas defini sur ln(0) donc une valeur interdite est 1. On note donc R/{1} ou ]-∞;1[U]1;+∞[
    - - (ax+b)'= a
      - (x^2)'=2x
      - (1/x)'= -1/x^2
      - (x^n)'=nx^(n-1)
      - (sqrt(x))'= 1/2sqrt(x)
      - (exp(x))'= exp(x)
      - (ln(x))'= 1/x
      - (sin(x))'= cos(x)
      - (cos(x))' = -sin(x)
    - - (uv)' = (u'v+uv')/v^2
      - (sqrt(u))'= u'/2sqrt(u)
      - (ku)' = ku'
      - (1/u)' = -u'/u^2
      - (u+v)' = u'+v'
      - (exp(u))'= u'exp(u)
      - (ln(u))'= u'/u
      - (u^n)' = nu'u^(n-1)
      - (cos(u))' = u'sin(u)
      - (sin(u))'= - u'cos(u)
    - - On note f' la derivee de f et f'' la derivee seconde de f
      - Ex: f(x)= x^3 +2x --> f'(x)=3x^2 +2 et donc f''(x)=6x
      - Derivee seconde permet de determiner la convexite d'une fonction
        
        Convexite
        
        Convexe
        
        Soit A et B deux points appartenant a la courbe Cf. Si f convexe, alors le segment [AB] est en dessous
        
        Si tangentes sont en dessus de la courbe
        
        Si f''>0
        
        Concave
        
        Soit A et B deux points appartenant a la courbe Cf. Si f concave, alors le segment [AB] est au dessus
        
        Concave si tangentes sont au dessus de la courbe
        
        Concave si f''<0
        
        Point d'inflexion
        
        = point où la courbe change de convexite
        
        point d'inflexion = endroit où f''=0 et change de signe
        
        Faut donc etudier signe de f'' (tableau de signes) pour determiner point d'inflexion
  - - - ∞/∞
      - ∞ * 0
      - 0/0
      - ∞ - ∞
    - - +∞
      - -∞
      - reel a
    - - Factoriser par le monome de plus haute degre
      - Multipliez par la quantite conjuguee
    - - Asymptotes horizontales
        
        Quand on etudie limite de f en +/- ∞, si la limite tend vers un reel a , alors on dit que la fonction f admet une asymptote horizontale d'equation y= a
      - Asymptotes verticale
        
        Quand on etudie limite de f en un reel a (limite de gauche/ limite de droite), si la limite tend vers +/- ∞, alors on dit que la fonction f admet une asymptote verticale d'equation x= a
    - - Exponentielle
        
        lim (-∞) exp(x)*x =0 car exp tend + rapidement que x
        
        lim (+∞) x/exp(x) = 0
        
        lim(-∞) exp(x)=0
      - Logarithme neperien
        
        lim (0) ln(x) = -∞
        
        lim (-∞) xln(x) =0
        
        lim (+∞) ln(x) = +∞
        
        lim (+∞) ln(x)/x = 0
    - - lim (x-> +∞) 1/x = 0
      - lim (X->0) sqrtX = 0
      - Soit f(x)= sqrt(1/x)
      - Donc, lim (x--> +∞) sqrt(1/x) = 0
    - - Théorème des gendarmes (uniquement pour limite en reel a)
        
        Soit h(x)<f(x)<g(x)
        
        Si Lim(∞) h(x) = a et lim(∞) g(x)= a ALORS, Lim(∞) f(x) = a d'apres le théorème des gendarmes
      - Comparaison
        
        Soit f (x) > g(x)
        
        Si Lim(∞) f(x) = -∞ alors lim(∞) g(x) = -∞ par comparaison
        
        Soit f(x)< g(x)
        
        Si Lim (∞) f(x) = +∞ alors lim (∞) g(x) = +∞ Par comparaison
  - - - Récurrence
        
        Proposer la propriete Pn: "Un<Un+1" ou "Un>Un+1" ou "m<Un<M" etc.. Pour tout n appartenant a N
        
        Initialisation: montrer que Pn vraie au rang 0
        
        Hérédité: montrer que Pn vraie pour tout rang
        
        Soit k un reel appartenant a N fixé
        
        Conclusion: Pn vraie au rang 0 et héréditaire donc par principe de recurrence, Pn vraie pour tout n appartenant a N
        
        Supposons que Pn est vraie au rang k: "Uk <0" et Uk+1 = 3Uk
        
        Montrer que Pn vraie au rang k+1 en transformation Pk en Pk+1 (Ex: Uk < 0 <=> Uk*3 <0 donc Uk+1<0
      - Croissante
        
        Un+1 - Un > 0
        
        Un+1 / Un > 1
      - Décroissante
        
        Un+1 - Un < 0
        
        Un+1 / Un < 1
  - - - exp(x) = exp(x)
      - 1/(2sqrt(x)) = sqrt(x)
      - sin(x) = - cos(x)
      - x^n = (x^n+1)/(n+1)
      - cos(x) = sin(x)
      - 1/x = ln(x)
      - 1/sqrt(x) = 2sqrt(x)
    - - u'exp(u) = exp(u)
      - -u'sin(u) = cos(u)
      - u'/u = ln(u)
      - u'cos(u) = sin(u)
      - u'/2sqrt(u) = sqrt(u)
      - -u'/u^2 = 1/u
      - u'v+uv' = uv
      - (u'v - uv')/v^2 = u/v
    - - Linearité = ∫ [a;b] f(x)dx+ ∫ [a;b] g(x)dx= ∫ [a;b] [f(x) + g(x)] dx
      - =Integrale de f(x) allant de a à b = primitive de f en a et b
      - ∫ [a;b] f(x)dx= [F(x)][a;b]
      - DONC: ∫ [a;b] f(x)dx= F(b) - F(a) où F est une primitive de f (CAR f CONTINUE)
      - ∫ [a;b] kf(x)dx = k ∫ [a;b] f(x)dx (Car k est une constante, avec k appartenant a R)
      - Donc: ∫ [a;b] [f(x)+g(x)] dx =[F(b) + G(b)] - [F(a) + G(a)]
      - Relation de Chasles:
        
        ∫ [a;b] f(x) + ∫ [b;c] f(x) = ∫ [a;c] f(x)
      - Integration par parties:
        
        = méthode permettant de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales.
        
        ∫ [a;b] (u'v)(x) dx= [uv][a;b] - ∫ [a;b] (uv')(x) dx