概率论与数理统计基础知识
一、随机变量的数字特征
（一）、随机变量的数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
2、连续性随机变量的数学期望
3、数学期望的性质
（1）、设C为常数，则E(C)=C
（2）、设X为一随机变量，且E(X)存在，C为常数，则E(CX)=CE(X)
（3）、设X,Y为两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)
（4）、设X,Y是两个相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)
（二）、随机变量的方差
1、方差的定义
2、方差的计算
（1）、定义法
（2)、公式法：D(X)=E(X²)-[E(X)]²
3、方差的性质
（1）、设C为常数，则D(C)=0
（2）、设X为一随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X),D(C+X)=D(X)
（3）、设X,Y为两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.
特别的，若X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)
二、随机事件及其概率
（一）、随机现象与随机试验
1、随机现象
2、随机试验
（二）、样本空间和随机事件
1、样本空间
2、随机事件
3、事件的关系与运算
（1）、包含关系
（2）、相等关系
（3）、和事件
（4）、积事件
（5）、差事件
（6）、互斥事件
（7）、对立事件
（8）、完备事件组
4、事件的运算律
（1）、交换律
（2）、结合律
（3）、分配律
（4）、德摩根律
（三）、随机事件的概率
1、概率的定义及性质
（1）、定义
1.非负性
2.规范性
3.可列可加性
（2）、概率的性质
1.P(∅)=0
2.有限可加性
3.逆事件的概率
4.减法公式
5.加法公式
2、古典概型
（1）、定义
1.只有有限个样本点
2.每个样本点的出现具有等可能性
（2）、计算方法：P(A)=n(A)/n(Ω)
3、几何概型
（1）、定义
1.样本空间Ω为一个可度量的几何区域
2.样本点的出现具有等可能性
（2）、计算方法：P(A)=m(A)/m(Ω)
（四）、条件概率
1、定义：设A,B是任意两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B∣A)
2、乘法定理：设P(A)>0，则称P(AB)=P(B)P(A)
（五）、随机事件的独立性
1、定义：设A，B是任意两个事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立
2、三个事件的独立性
（六）、全概率公式与贝叶斯公式
1.全概率公式
2.叶贝斯公式
三、大数定律和中心极限定理
（一）、切比雪夫不等式
（二）、依概率收敛
（三）、大数定律
1、辛钦大数定律
2、伯努利大数定律
（四）、中心极限定理
1、 [列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）]
2、[棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布的中心极限定理）]
四、数理统计的基本概念
（一）、总体和样本
1、总体
2、样本
3、简单随机样本的概率分布
（二）、统计量与样本的数字特征
1、统计量
2、样本的数字特征
（1）、样本均值
（2）、样本方差
（3）、样本标准差
（三）、常用的统计抽样分布
1、X²分布
2、t分布
3、F分布
（四）、正态总体的抽样分布
五、随机变量及其分布
（一）、随机变量：对于样本空间Ω中的每一个样本点ω，按照某种对应法则，都与一个实数对应，这样定义一个样本空间Ω到实数集R的映射X=X(ω)，称这个映射为随机变量
（二）、随机变量的分布函数
1、定义：设X是一个随机变量，对于任意实数x，令F(x)=P(X≤x),称F(x)为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数
2、分布函数的性质
（1）、有界性
（2）、单调性
（3）、右连续性
（三）、离散型随机变量及其分布律
1、定义：若随机变量的取值为有限个或可数无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。设离散型随机变量X的所有可能取值为x₁,x₂,…,x_k,称P(X=x_k)=p_k(k=1,2,…)为离散型随机变量X的分布律
2、离散型变量的分布函数
3、常用的离散型随机变量
（1）、0-1分布
（2）、伯努利实验与二项分布
（3）、泊松分布
（4）、超几何分布
（5）、几何分布
（四）、连续性随机变量及其概率密度函数
1、定义：如果对于随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x，有F(x)=∫ f(t)dt，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数
2、概率密度函数的性质
（1）、非负性
（2）、规范性
3、常用的连续性随机变量
（1）、均匀分布
（2）、指数分布
（3）、正态分布
（五）、随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布
2、连续型随机变量函数的分布