Limites

Modos de convergencias

Convergencia en Ley

Convergencia en probabilidad

Convergencia Casi Segura

Cuando una secuencia variables aleatorias y de funciones de distribución convergen a una función de distribución continua.

Requiere que la probabilidad de la diferencia entre la variable aleatoria y su límite exceda cualquier ε positivo tienda a 0.

Implica que la probabilidad de que la secuencia de variables aleatorias converja al límite es 1.

Teoremas Relevantes

Teorema de implicación

Leyes de los Grandes Números

Teorema del límite central

Convergencia en probabilidad implica convergencia en ley.

Ley débil de los grandes números

Ley fuerte de los grandes números

Afirma que la media de una muestra converge en probabilidad a la media esperada.

La media de una muestra converge casi seguramente a la media esperada.

Establece que la suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, normalizada, converge en distribución a una distribución normal.

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Markov

Matriz de Transición

Es el arreglo de los números pij en una matriz, denotado por P, donde su (i+1)-ésima fila es la distribución de probabilidad de los valores de Xn+1 bajo la condición Xn=i.

La suma de cada fila debe ser igual a 1

La matriz P^n es el arreglo de los números pij^n,
donde Pij n=P([Xm+n=j]|[Xm=i]) para m=0,1,...

La matriz P^n describe la matriz de transicion luego de n pasos

Clasificación de Estados

Un estado i es accesible de un estado j si hay una probabilidad positiva que en un número de transiciones finitas se llegue de uno al otro

Dos estados están comunicados si uno es accesible desde el otro y viceversa

Una cadena de Markov es irreducible si cualquier
estado j es accesible de cualquier estado i.

Un estado es absorbente si después de haber entrado ahí no vuelve a salir

Un estado se llama transitorio si después de haber entrado a el no vuelve a regresar

Un estado es recurrente si después de haber entrado a ese estado definitivamente volverá

Una cadena de Markov en la cual cada estado tiene período 1 es llamada aperiódica

Es una familia de variables aleatorias. Un proceso estocástico donde, dado el valor de Xt, los valores de Xs para t<s no dependen de los valores de Xu para u<t.