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TEMA 7
Análisis de frecuencias de eventos hidrológicos extremos
PRUEBAS
DE HOMOGENEIDAD E INDEPENDENCIA
El análisis de frecuencia será válido, si datos satisfacen criterios estadísticos: aleatoriedad, independencia, homogeneidad y estacionalidad.
Pruebas paramétricas
(t y f) requieren el supuesto de normalidad.
Pruebas no paramétricas
Obvian la distribución subyacente de los datos.
Resultados de pruebas estadísticas se debe corroborar con evidencias físicas.
Efectuar una transformación si datos no cumplen los supuestos.
ESTADÍSTICAS APLICABLES
ALEATORIEDAD.
Fluctuaciones de la variable hidrológica deben a causas naturales.
No hay pruebas adecuadas para series hidrológicas.
INDEPENDENCIA.
Ninguna observación de la serie de datos influye en las observaciones posteriores, Incluso si son aleatorios.
En una serie anual de lluvias los datos son independientes.
Las pruebas comunes son:
Anderson, como describe Chow(1964).
Coeficiente de Spearman de correlación serial por órdenes de rango, como describe el Consejo Nacional de Investigación de Canadá (1975).
Homogeneidad.
Elementos de la serie de datos provienen de una misma población
Si variabilidad es grande (precipitaciones extremas) la no homogeneidad es difícil de descifrar, pero fácil con sumas de precipitación anual
Estacionalidad.
La serie de datos es invariante con respecto al tiempo.
No-estacionalidad
Consiste en tendencias, saltos o ciclos.
Los saltos por cambio abrupto en una cuenca, como una presa.
Las tendencias por cambios en condiciones climáticas o del uso de la tierra (urbanización)
Serie de tiempo
Estacionario
si su media y varianza son constantes en el tiempo
Covarianza entre 2 periodos
Depende sólo de la distancia o rezago entre los tiempos
De homogeneidad e inconsistencia
Pruebas estadísticas que miden la homogeneidad de una serie de datos presentan una hipótesis nula y una regla para aceptarla o rechazarla.
Analizar serie hidrológica
Tendencia en la media o en la varianza, o cuando ocurren saltos negativos o positivos
Características estadísticas
Media, desviación estándar y los coeficientes de correlación serial,
Pruebas de Homogeneidad
Prueba estadística de Helmert
La serie se considera homogénea si se cumple
Prueba estadística t de Student (homogeneidad)
Si la pérdida de homogeneidad es un cambio abrupto en la media, la prueba del estadístico t es muy útil.
Si se considera una serie Qij para j=1,2,...,n, del sitio ¡, la cual se divide en dos conjuntos de tamaño
El estadístico de prueba se define con:
X1, S1^2: Media y varianza de la primera parte del registro de tamaño n
X2, S1^2: Media y varianza de la segunda parte del registro de tamaño n
Prueba estadística de Cramer (homogeneidad)
Para verificar homogeneidad en el registro Qij de la serie j para i=1,2,...,nj, y determinar si el valor medio no varía significativamente de un período de tiempo a otro.
Considera tres bloques:
tamaño n60 (60% últimos valores de la muestra nj)
tamaño M30 (30% últimos valores de la muestra nj).
tamaño total de la muestra nj
Datos dudosos (outliers)
Se alejan significativamente de la tendencia de la información restante.
La retención o eliminación afecta significativamente la magnitud de los parámetros estadísticos más en muestras pequeñas.
Requieren un criterio con consideraciones matemáticas e hidrológicas.
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Útil en hidrología para interpretación de registros del pasado.
Estadística en hidrología
Objetivo principal
obtener información de los fenómenos hidrológicos pasados y hacer inferencias acerca de su comportamiento en el futuro
Población
Muestra
Estadística
Inferencia
Objetivos Específicos
Interpretación de observaciones.
Análisis de la calidad de la información.
Inferencia sobre el comportamiento de la variable
Extracción del máximo de información de los registros.
Información en gráficas tablas, ecuaciones para toma de decisiones en la planeación de los Recursos hídricos
Probabilidad de un evento
Relación entre el número de sucesos favorables, m, y el número de sucesos totales, n
P(X=x), siempre tiene un valor entre 0 y 1.
La probabilidad de un evento cierto es 1.
Si X1 y X2 son eventos independientes y mutuamente excluyentes entonces.
Conceptos básicos
Eventos independientes
Si la probabilidad de ocurrencia de uno no se ve afectada por la ocurrencia del otro.
Eventos mutuamente excluyentes
Cuando la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del otro.
Variable aleatoria
Variable cuyo comportamiento no puede predecirse con certidumbre
Frecuencia
Absoluta
Número de realizaciones de un evento
Relativa
Número de realizaciones de un evento como fracción del número de observaciones
Parámetros Estadísticos
Punto medio
Mediana
Media geométrica
Media aritmética
Variabilidad
Desviación estándar
Coeficiente de variación
Varianza
Simetría
Coeficiente de asimetría
Funciones de probabilidad y frecuencia
Función de frecuencia relativa.
fs(x) indica la probabilidad que la variable aleatoria “x” caiga en un intervalo dado. El subíndice “s” indica que la función se cálculo con datos muestrales.
Función de frecuencia relativa acumulada.
Es un estimativo de la probabilidad acumulada de xi, P(X≤Xi)
Análisis de frecuencia.
Analiza registros de datos históricos de variables hidrológicas con el fin de estimar las probabilidades de que vuelvan a ocurrir.
Los datos deberán cumplir:
Satisfacer criterios estadísticos, como los de aleatoriedad, independencia, homogeneidad y estacionalidad.
Pueden ser de un único emplazamiento o regionales, o de ambos tipos.
Deben ser completos y de cierta duración.
Los fenómenos hidrológicos presentan variabilidad, aleatoriedad e incertidumbre, y el análisis estadístico de datos hidrológicos no siempre arrojará una respuesta acertada.
El análisis hidrológico suele estar basado en principios de hidrodinámica, termodinámica y estadística sólidamente establecidos.
Análisis espacio- temporales
Obtiene generalizaciones regionales y relaciones entre las variables.
Se basa en
Metodología determinística.
Análisis paramétricos.
Método probabilístico.
Planteamiento estocástico.
Eventos hidrológicos extremos:
Caudales bajos
Crecidas máximas anuales.
Precipitaciones tormentosas
Periodo de Retorno Tr
Tiempo promedio que transcurre entre la ocurrencia de un evento y la próxima ocurrencia de un evento de la misma magnitud.
Riesgo
Se define R de un diseño como la probabilidad de que la avenida para la cual se diseña la obra sea excedida.
Parámetros Estadísticos
Desviación estándar
Raíz cuadrada de la varianza
Mide la dispersión en las mismas unidades que los datos
Coeficiente de variación (CV)
Definido entre la desviación estándar y la media
Medida adimensional de la variabilidad
Asimetría
Tercer momento alrededor de la media
Mide el sesgo de la distribución
GRÁFICAS DE PROBABILIDAD
La distribución de probabilidad de datos hidrológicos, se grafican en papel de probabilidad a escala que linealice la PDF.
las ordenadas son el valor de x a escala y las abscisas la probabilidad P (X => x) o P (X < x), T o la variable reducida yT.
Linealizar P permite la interpolación, extrapolación o comparación.
Métodos
Método de graficación no sesgado
Para muestras grandes e igual tamaño, el promedio de los para muestras grandes e igual tamaño, el promedio de los
Método de graficación con varianza mínima,
Minimiza la varianza de los puntos graficados alrededor de la línea teórica.
Método graficación de Weibull
Es sesgada y grafica los valores máximos de una muestra con T pequeños.
