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INTERPOLAZIONE (guarda slide) - Coggle Diagram

- - - - tipo le y
- - - - det(V)=PI(xi-xj)
        con i>j
    - - il polinomio interpolante
        esiste ed è unico
  - - - 1 se k=i
        0 se k!=i
    - - permette di non amplificare
        il caricamento dell'errore
        
        non c'è un sistema lineare
        da risolvere
  - - - w(n)=PI(x-xi)
      - f^(n+1) f derivato n+1 volte
      - csi valore per cui f(t)-pn(t)-en(x)=0
      - dipende sia dalla distribuzione delle ascisse di interpolazione
        sia dalle proprietà di regolarità della funzione da interpolare
        
        abs(en(x))<=(b-a)^(n+1) M/(n+1)!
  - - - n° di condizionamento del problema
      - = O(log n) problema mal condizionato
        = e^(n/2) per ascisse equidistanti
  - - - p° polinomio di
        migliore approssimazione
- - - - h=max (x(i+1)-xi)-->0
      - su ciascun sottointervallo [xi, x(i+1)] consideriamo un polinomio di grado m fissato, interpolante la funzione f(x) nei due punti estremi
        
        si riesce a contenere il problema del condizionamento
        
        avendo anche la convergenza dell'errore a zero
    - - è continua
      - se il tratto da xi a x(i+1) è un polinomio di grado al più m
      - S m,delta=spazio spline di grado m
  - - - solo se m=1
  - - - condizioni aggiuntive da scegliere
        
        spline completa
        
        s'3(a)=f'(a) s'3(b)=f'3(b)
        
        se si conoscono i valori di f'(x) negli estremi della partizione
        
        spline periodica
        
        s'3(a) = s'3(b) s''3(a)=s''3(b)
        
        se la f(x) è periodica e [a,b] contiene un # intero di periodi
        
        spline naturale
        
        s''3(a)=0 s''3(b)=0
        
        condizioni knot a knot
        
        si impone che anche la derivata terza sia continua in x1 e x(n-1)
        
        lo stesso polinomio di TT3 costituisce la restrizione della spline su [x0,x1]U[x1,x2] e analogamente su [x(n-2),x(n-1)]U[x(n-1),xn]
  - - - (t-x)+^m =
        0 se t<=x
        (t-x)^m se t>x
        potenza troncata m-sima di (t-x)
      - differenze divise
        
        [t j, ..., t j+m-1] f;= f[t j+1,...,t j+m] - f[tj, ..., t j+m-1] / (t j+m-1 -t j)
    - - w j,m := (x-tj)/ (tj+m - tj)
      - Bj ^(0) (x) =
        1 se tj<=x< t j+1
        0 altrimenti
    - - l'insieme di (m+n) B spline di grado m ... costruite sulla sequenza di nodi Epsilon è una base dello spazio Sm,delta
    - - leggi slide 116
    - - sm(x) sum ajBj^(m) (x)
        
        si risolve il problema d'interpolazione imponendo che sm(xi)=fi, i=0,...,n