BASE Y DIMENCIONES
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Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un conjunto
linealmente independiente que sea a la vez sistema generador de dicho espacio o
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Otra base de ! 3
distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ! 3
porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como
combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos , , que satisfagan
(a,b,c)= (1,0,0)+ (1,1,0)+ (0,2,-3)
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Base de un subespacio. En ! 3
, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que
los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S.
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo
podemos poner como combinación lineal de (3,2,0) y (1,–1,0). Para ello, buscamos , que cumplan
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
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Significado físico de la dimensión: los planos tienen dimensión 2, las rectas dimensión 1,
el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único que tiene dimensión 0.
- La dimensión de un subespacio en ! n
, coincide con el número de parámetros libres en
su forma paramétrica.
- Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S dim T.
Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, ambos espacios han de coincidir.
- El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.
Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r,
entonces dim S = r.
(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)