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BASES Y DIMENSIONES EN ESPCAIO VECTORIAL - Coggle Diagram
BASES Y DIMENSIONES EN ESPCAIO VECTORIAL
BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.
Tipos de bases
Base ortogonal: Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal: Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.
Bases en el espacio: Tres vectores con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.
CAMBIO DE BASE
Consideremos en R 2 las dos bases siguientes: la base del ejemplo (1) anterior, B ={ (2,3), (1, –1) } la base canónica B’ ={ (1,0), (0,1) }
En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.
Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al que se refieren las bases.
Toda matriz de cambio de base es inversible (es decir, con determinante no nulo). Además, la matriz de cambio de B a B’ es inversa de la matriz de cambio de B’ a B.
La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad.
DIMENSIONES DE UN ESPACIO VECTORIAL
La dimensión de un espacio es el número máximo de vectores linealmente independiente que esta contiene
Si el número de vectores es finito, la dimensión es un número natural y se dice que la base es finita.
De lo contrario se llama base infinita del espacio. Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos.
La dimensión de un espacio vectorial no nulo Ves el número de vectores en una base para V. Con frecuencia escribimos dim V para la dimensión de V. Como el conjunto {0} es linealmente dependiente, es natural decir que el espacio vectorial {0} tiene dimensión 0
