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线性方程组 - Coggle Diagram
线性方程组
向量组的线性相关性
向量组的线性组合
设n维向量x,a1,a2,...,am,如果存在一组数k1,k2,....,km使得x=k1a1+k2a2+....+kmam,则称向量x可以由向量组a1,a2,....,am线性表示,或称向量x是向量组a1,a2,....,am的一个线性组合,常数k1,k2,....,km为该线性组合的组合系数,注:定义中的一组数k1,k2,...,km可以全为0,因此n维零向量可以由任意一组n维向量线性表示
向量组的线性相关性
一个零向量线性相关,一个非零向量线性无关
任何包含零向量的向量组线性相关
两个向量线性相关(共线)的充分必要条件是对应分量成比例
向量组线性相关的几个定理
若向量组a1,a2,...,as线性无关,而向量组a1,a2,...,as,x线性相关,则向量x可以由向量组a1,a2,...,as线性表示,且表示法唯一
m个n维向量线性无关的充分必要条件是由他们组成的m×n矩阵的秩为m
向量组a1,a2,...,am(m≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
线性相关向量组添加向量后仍然线性相关,线性无关向量组的子向量组必线性无关;线性无关向量组中的每个向量扩大相同的维数,得到的新向量组仍然线性无关
向量组a1,a2,...,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,...,am)的秩R(A)<m;向量组a1,a2,..,am线性无关的充分必要条件是R(A)=m
任意m(m>n)个n维向量线性相关
向量组的极大无关组及向量组的秩
极大无关组
在向量组A中有r个向量a1,a2,...,ar线性无关
A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关
注
只含零向量的向量组没有极大无关组,规定其秩为0
线性无关向量组的极大无关组是它本身
向量组的极大无关组与向量组本身等价
若向量组B:b1,b2,...bs可由向量组A:a1,a2,...,ar线性表示,则R(B)≤R(A)
若向量组A与向量组B等价,则R(A)=R(B)
矩阵的初等行变换不改变列向量之间的线性关系
矩阵的初等列变换不改变行向量之前的线性关系
矩阵的秩等于它的行(列)向量组的秩
向量及其运算
由n个数a1,a2,....,an组成的有序数组(a1,a2,...,an)称为一个n维行向量,用x表示,即x=(a1,a2,....,an),同理可知n维列向量
分量都为0的向量称为0向量
向量的运算和矩阵的求和一样
线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的结构
对于n元齐次线性方程组Ax=0,当其系数矩阵的秩R(A)=n时,该方程组只有唯一零解;当R(A)<n时,该方程组有无穷多解
若x1,x2均为齐次线性方程组Ax=0的解向量,则x1+x2也是齐次线性方程组Ax=0的解向量
若x1为齐次线性方程组Ax=0的解向量,k是任意常数,则kx1也是齐次线性方程组Ax=0的解向量
基础解系
齐次线性方程组Ax=0的任意一个解向量都可以由a1,a2,...,as线性表示
a1,a2,...,as线性无关
若a1,a2,....,as是n元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,k1,k2,...ks为任意常数,则k1a1+k2a2+...+ksas为该齐次线性方程组的解
若n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r,且r<n,则该方程组有无穷多解,其基础解系含有n-r个线性无关的解向量
非齐次线性方程组解的结构
n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为R(A)=R(B),且当R(A)=R(B)=n时,方程组有且仅有唯一解,当R(A)=R(B)=r<n时,方程组有无穷多解
设a是非齐次线性方程组Ax=b的一个解向量,b是它所对应的齐次线性方程组Ax=0的解向量,则a+b是Ax=b的解向量
设a和b是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量,则a-b是它所对应的齐次线性方程组Ax=0的解向量
设a0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,a1,a2,...,an-r是相应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对于Ax=b的任意解x,存在系数k1,k2,..,kn-r,使得x=a0+k1a1+...+kn-r an-r