MATEMÁTICA (TODO)
N= 0;1;2;3;4;5...+ Z=-3;-2;-1;0;1;2...+
F=2/3;1/2;-8/7...+
Q=-1;-1/2;0;1;1/2...+
I=5,3452..............
R=Todos los anteriores
C=R+ números imaginarios
Naturales (N): Todos los números enteros positivos
Enteros (Z): Todos los números enteros positivos y negativos.
Racionales (Q): Todos los numeros enteros, fraccionarios, positivos y negativos. Se pueden expresar como el cociente. Ej 6/2=3 ; -8/4=-2; -1/2=-0,5
Fraccionarios (F): Fracciones que no expresan un entero
IRRACIONALES (I): Tienes una expresión decimal que no es limitada ni periódica. No puede ser representado exactamente por una fracción o una expresión periódica
CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
DECIMAL EXACTO: Número decimal sin coma /// 1 seguido de tantos 0 como números después de la coma
0,7= 7/10
1,36= 136/100
///=dividido
PERIÓDICO PURO: Número decimal sin coma - parte entera /// Tantos 9 como cifras tenga.
0,7= 7-0/9= 7/9
2,655= 2655-2/9999= 2653/9999
PERIÓDICO MIXTO: Número decimal sin coma - la parte no periódica /// tantos 9 como cifras periódicas seguido de tantos 0 como cifras no periódicas en la parte decimal
0,7376= 7376-73/9900= 7303/9900
1,23= 123-12/90= 111/90
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN (SUMA)
LEY DE CIERRE: a+b pertenece a los R
ASOCIATIVA: (a+b)+c= a+(b+c)
CONMUTATIVA: a+b=b+a
EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO: a+0=a
EXISTENCIA DE INVERSO: a+(-a)=0
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
EXISTENCIA DE INVERSO: a x a-1=1
2 x 2-1= 2 x 1/2= 1
EXISTENCIA DE UN ELEMENTO NEUTRO: a x 1=a
CONMUTATIVA: a x b= b x a
ASOCIATIVA: (a x b) x c= a x (b x c)
LEY DE CIERRE: a x b pertenece a los R
DISTRIBUCIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO DE LA ADICIÓN:
(a+b) x c= a x c+b x c
.
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD (Los números deben pertenecer a los R)
REFLEXIBA: a=a
SIMÉTRICA: a=b entonces b=a
TRANSITIVA: a=b y b=c entonces a=c
.
UNIFORME: a=b entonces a+c=b+c
UNIFORME: a=b entonces a x c=b x c
.
.
Usada generalmente para despejar ecuaciones
LEY CANCELATIVA: b no puede ser 0
a x b=c x b entonces a =c
LEY CANCELATIVA: a+b=c+b entonces a=c
ANULACIÓN DEL PRODUCTO:
a x b=0 entonces a=0 o b=0
No se pueden cancelar los factores igual a 0. Ej: las variables (x)
No se pueden cancelar los factores igual a 0. Ej: las variables (x)
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
DISTRIBUTIVA RESPECTO AL PRODUCTO:
(a x b) = a x b
----- n--------n--------- n
DISTRIBUTIVA RESPECTO AL COSIENTE: (a:b) = a : b
----- n--------n----- n
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
a x a= a
m--------n--------m+n
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
a : a= a
m------n------m+n
POTENCIA DE POTENCIA:
(a )= a
n---m------n x m
No es distributiva respecto a la suma y a la resta, no es conmutativa y tampoco asociativa
⚠letra seguida de número es potencia
(-a-b)2 = (a+b)2
a2 - b2 = (a+b) x (a-b)
(a+b)3 = a3 + 3 x a2 x b + 3 x a x b2 + b3
a3 - b3 = (a-b) x (a2 + a x b+ b2)
(a+b)2 = a2 + 2 x a x b + b2
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Raiz de índice par y radicando positivo no tiene solución en R. Ej Raiz cuadrada de -2
Raiz de índice par y radicando positivo tieno resultado +-
DISTRIBUTIBA RESPECTO DEL PRODUCTO:
n\/¨a x b = n\/¨a x n\/¨b
DISTRIBUTIVA RESPECTO AL COCIENTE:
n\/¨a : b = n\/¨a : n\/¨b
RAIZ DE RAIZ:
m\/¨n\/¨a = (m x n)\/¨a
INTERCAMBIO DE ÍNDICE Y EXPONENTE: n\/¨am = (a\/¨a)m
INVARIANTE:
n\/¨am = (n : k)\/¨a(m : k)
\/¨ es raiz⚠
No es distributiva para la suma y la resta
n\/¨am = a(m/n)
n\/¨a = an
Si el índice y el exponente son iguales se pueden cancelar pero si el radicando es negativo solo se pueden cancelar si son impares
RECTA NUMÉRICA
Punto no es incluido va [ ] ; o (punto abierto) y < >
Punto es incluido va ( ) ; o (punto cerrado)
y < = >
LOGARÍTMOS
log a (y) =x y= xa
PROPIEDADES
log a (x/y) = log a (x) - log a (y)
log a (Xn) = n . log a (x)
log a (x . y)= log a (x) + log a (y)
log a (n\/¨x) = 1/n . log a (x)
El argumento (y) siempre debe ser positivo y mayor a 0
La base (a) debe ser mayor a 0 y diferente a 1
PARA QUE EXISTA: log (mayor a 0) y raiz con radicando positivo o negativo con índice impar
RELACIÓN
Conexión o correspondencia entre dos cosas (x;y)
Una CTE es un valor que permanece fijo, sin cambiar dentro dl contexto en el que está.
Una variable es un símbolo que puede tomar diferentes valores dentro del conjunto dado, puede depender de otras variables o CTE.
RELACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL: y=k.a
X: Independiente
Y: Dependiente
X e Y son las variables y K es la CTE de proporcionalidad. K debe ser diferente a 0
k=y/x
RELACIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL: y=k/x & k.(1/x)
X e Y son las variables y K es la CTE de proporcionalidad. K no debe ser 0.
k=y.x
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
y=a.x
Siempre la ordenada es (0;0)
EJEMPLO: y=2/x
Una variable aumenta y la otra disminuye
Las dos variables aumentan o disminuyen
Al hacer k=y/x en cualquiera de sus puntos debe dar el mismo número.
Al hacer k=y/x en cualquiera de sus puntos no da el mismo número.
FUNCIÓN
Es la representación gráfica de una relación matemática por medio de pares ordenados.
Toda función es una relación pero no toda relación es una función.
Ejemplo: y=2x
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
y=a/x
Es una hipérbola xlq no corta ninguno de los ejes (x;y) gracias a las asíntotas.
.
DOMINIO: Valores que toma X para que la función este definida
Dom (F(x))= {x/x pertenece R}
IMÁGEN: Valores que toma Y para anular a X. IM (R)= {y/y pertenece a R y y>=1}
Para que un Dom sea correcto se deben cumplir reglas matemáticas ej.el log mayor a o, si X es denominador no puede ser 0
REGLAS GENERALES DEL DOMINIO:
-F(x)=x tiene sentido con cualquier valor de x
-F(x)=X2 tiene sentido con cualquier valor de x
-F(X)=\/¨X x tiene que ser >=0 (el radicando no puede ser -)
-F(X)=1/X x tiene que ser diferente a 0 (un número no puede dividirse por 0)
-F(X)= log X x debe ser >0 (el argumento debe ser positivo y diferente a 0)
-F(X)=1/X-2 x no puede ser 2 (el denominador no puede dar 0)
-F(X)=5/2-\/¨X+3 x tiene que ser mayor o igual a 3 y diferente a 1 (el denominador no puede dar 0 y el argumento de la raíz debe ser positivo)
FUNCIÓN LINEAL
F(x)= ax+b
No tiene CTE de proporcionalidad
a y b son las CTE reales
a= Pendiente
b= Ordenada
Si su ordenada es (0;0) es directamente proporcional
a=y2-y1/x2-x1
a=0 CTE
a>0 Crece
a<0 Decrece
.
Dos rectas son PERPENDICULARES cuando sus a son INVERSAS Y DE SIGNO OPUESTO ej. 2 y 1/2
Dos rectas son PARALELAS si sus a son IGUALES ej. 3 y 3
Dos rectas son OBLICUAS si no son paralelas ni perpendiculares
FUNCIÓN CUADRÁTICA
a= Coeficiente cuadrático
b= Coeficiente lineal
c=Independiente
Su representación gráfica es una parábola
a>0 \/
a<o /\
VÉRTICE:
Xv= -b/2.a
Yv= F(Xv)
RAÍCES: (-b+-\/¨b2-4.a.c)/2.a
ORDENADA= c
FORMAS DE EXPRESARLA
Factorizada F(x)= a. (x-x ) . (x-x )
Canónica F(x)= a. (x-Xv)2 +Yv
Polinómica F(x)= ax2+bx+c
1------------------2
Si a y b tienen el mismo signo el vértice está a la izquierda del plano
Si a y b tienen signos opuestos el vértice está a la derecha
FUNCIÓN CÚBICA
F(x)= ax3+bx2+cx+d
FUNCIÓN RACIONAL
F(x)= P(x) / Q(x)
Son dos funciones polinómicas y Q(x) no puede ser 0
SISTEMAS DE ECUACIONES
.
SISTEMA INCOMPATIBLE: El conjunto es vacío (ningún par ordenado resuelve a todas las ecuaciones)
SISTEMA INDETERMINADO: Conjuntos (pares ordenados) infinitos resuelven a las ecuaciones
SISTEMAS COMPATIBLES: Hay un número finito de pares ordenados que satisfacen las ecuaciones
RESOLUCIÓN
para 2 ecuaciones
SUSTITUCIÓN
IGUALACIÓN
Despejar de las ecuaciones la misma variable
Plantear una ecuación con las nuevas ecuaciones despejadas (a=b)
Resolver ecuación
Reemplazamos el valor de la variable despejada en el punto 3) en las ecuaciones originales (las que están en el corchete) obteniendo el valor de la otra variable
Verificamos si reemplazando ambas variables en las ecuaciones originales nos da el valor correspondiente
Reemplazamos el valor de la variable despejada en la otra ecuación
El valor obtenido en el punto 2) lo reemplazamos en las ecuaciones originales
Despejamos una variable de una ecuación
Verificamos reemplazando las variables por los valores obtenidos en las ecuaciones originales
CON n INCOGNITAS
Despejamos otra variable de una de las nuevas ecuaciones del punto 2)
La variable despejada en el punto 3) la reemplazamos en otra ecuación del punto 2)
Reemplazamos la variable despejada en las otras ecuaciones
Reemplazamos la variable obtenida del punto 4) en las ecuaciones del punto 2)
Despejamos una variable en una ecuación
Reemplazamos todas las variables en la ecuación del punto 1)
COMPLEJOS (C): Todos los números reales y los imaginarios