Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Spørsmål på faststoffeksamen - Coggle Diagram
Spørsmål på faststoffeksamen
Bølger
Hva er en harmonisk bølge?
En harmonisk bølge er en matematisk modell av bølger vi ser i hverdagen. Formelen er løsningen på bølgeligningen \(\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=c\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}\)
\(u(x,t)=A\cos(kx+\omega t+\phi)=A\cdot \mathrm{Re}\left\{e^{i(kx+\omega t+\phi)}\right\}\)
Hvordan kan en stående bølge oppstå?
En stående bølge oppstår når to motsatt rettede bølger interferer med hverandre, altså lik
\(u(x,t)=A\cos(kx+\omega t+\phi)+A\cos(kx-\omega t+\phi)\)
Hva er forskjellen mellom gruppehastighet og fasehastighet?
Gruppehastigheten (cosinus) er hastigheten til silhuetten av bølgene, mens fasehastigheten (sinus) er hastigheten til hver enkelte bølge.
\(u(x,t)=2A\sin\left(\bar{k}x-\bar{\omega}t\right)\cos\left(\frac{\Delta kx-\Delta\omega t}{2}\right)\)
Hva er svevning? Hvordan oppstår det?
To bølger som interferer og danner en silhuett
Svevning oppstår når bølger med ulik bølgetall, men lik amplitude interferer med hverandre.
Kvantebrønner
Målepostulatet
Målepostulatet i kvantemekanikk sier at når man måler en fysisk egenskap til et kvantemekanisk system, kan man bare få én av de mulige verdiene for den egenskapen, og man kan bare beregne sannsynlighetene for de mulige resultatene.
Kvantebrønn
Endelig dyp
Uendelig dyp
Forestill deg et atom og et elektron i nærheten som binder seg til atomkjernen pga. Coloumb potensialet. Da vil elektronet gå til nederste energinivå som ikke er okkupert i kvantebrønnen
Tunnelering
Lekkasje gjennom vegg av potensial V når E < V
Løsningen til schrodigner gir eksponentiell synkende bølgefunksjon i barrieren
Bundne og frie tilstander
Bundne tilstander er tilstander hvor elektronet er fanget i et rom, mens frie tilstander er tilstander hvor elektronet er fritt
Perturbasjonsteori
Små perturbasjoner til en kvantebrønn kan tilnærmes med å perturbere den ideelle løsningen
Et ikke-degenert system betyr at et energinivå korresponderer til bare et kvantetilstand
Krystallografi og resiprokt rom
Enhetceller
Primitiv
En primitiv enhetcelle inneholder bare ett gitterpunkt (NB! gitterpunkt som deles med andre celler må deles på) i formen av enten parallelepiped (vanlig) eller en helt annen (wigner seitz).
Konvensjonell
En konvensjonell enhetcelle inneholder flere gitterpunkter i formen av en parallellepiped (like/ulike lengder og like/ulike vinkler)
Ideelle krystaller er uendelig store, så man bruker enhetceller, som er en mengde gitterpunkter \(\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3\in\mathbb{R}^3\) i en geometrisk form
Bravaisgitter
Matematisk modell av gitteret med translasjon \(\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3\in\mathbb{R}^3\). Krystallen er invariant under translasjon
Krystaller, basis, gitter
basis (punkt := atom/molekyl) + gitter (punktsystem) = krystall
Kubiske krystallsystem (\(a=b=c\) og \(\alpha=\beta=\gamma=90°\))
FCC
\(\hat{a_1}=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{z})\quad\hat{a_2}=\frac{a}{2}(\hat{y}+\hat{z})\quad\hat{a_3}=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y})\)
SC
\(\hat{a_1}=a\hat{x}\quad\hat{a_2}=a\hat{y}\quad\hat{a_3}=a\hat{z}\)
BCC
\(\hat{a_1}=a\hat{x}\quad\hat{a_2}=a\hat{y}\quad\hat{a_3}=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})\)
Faste stoff
ordnet
regelmessig arrangement av atomer, kan forutsi atomer langt unna
krystall
uordnet
tilfeldig arrangement av atomer, kan forusti atomer bare nærme
amorfe, glasslignende
Miller-indeks
Miller-indeks er en systematisk måte å snakke om retninger og plan
Finne indeks
Ta inversen av hvert tall
Divider/multipliser til laveste heltallindeks
Finn hvor planet treffer aksen
Wigner-Seitz cell
En Wigner-Seitz celle er en systematisk måte på å lage en primitiv enhetcelle. Den har egenskapet at cellen er nærmere ett gitterpunkt enn alle andre gitterpunkt.
Reelt og resiprokt gitter
Reelt gitter representerer det ordnete faste stoffet (krystallen) arrangement av atomer. Resiprokte rommet er diffraksjonstoppene til e
Atomer og bindinger
Hydrogenatomet
Har bare ett elektron som er i grunntilstanden \(1s^1\)
Elektronet kan eksiteres til høyere orbitaler (mot evig)
Bindingsenergi
\(E=-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}\)
Hvis \(E=0\) så vil elektronet løsrive seg fra atomkjernen
Det periodiske systemet
Oksygen: \((1s^2)2s^22p^4\)
Potens er antall elektroner som fyller orbitalen
Notasjon: siste edelgass + nye fylte orbitaler
Edelgass \(ns^2np^6\) har en veldig stabil konfigurasjon
Degenert tilstander
Tilstander (orbitaler) med lik energi, fører til lik sannsynlighet for at en av orbitalene blir fylt.
I hydrogenatomet så er det bare ett elektron, så det er ingen interaksjoner mellom elektronene, som fører til degenerte orbitaler
Elektronkonfigurasjon
Enhver atom har en elektronkonfigurasjon, det vil si en mengde elektroner med ulike bøglefunksjoner (Pauli eksklusjonsprinsipp)
Parametere
\(n=1,2,3,\ldots\) : hovedkvantetallet, avstand til kjernen, total energi
\(l=0,1,2,\ldots,n-1\) : banespinkvantetallet, drivmoment
\(m=-l,\ldots,0,\ldots l\) : magnetiske kvantetallet, retning på snurren
spinn
observasjoner
skaper et magnetisk felt (dipol) som oppfører seg som en sfære med bevegende ladninger
roterer ikke det magnetiske feltet mot en stor magnet, akkurat som en snurrebass som spinner og ikke velter av tyngdekraften
målt dreieimpuls er proporsjonal til dipolmomentet
Måles i z-akse slik at opp er \(+\frac{\hbar}{2}\) og ned er \(-\frac{\hbar}{2}\)
Orbitaler
2s => n = 2, k = 0
2p => n = 2, k = 1
3s => n = 3, k = 0
3p => n = 3, k = 1
3d => n = 3, k = 2
Pauli's eksklusjonsprinsipp
Dette forklarer hvorfor ikke alle elektroner følger aufbau-prinsippet og okkuperer den laveste energinivået, som resulterer i en kollaps av atomstruktur
To elektroner kan ikke ha samme bølgefunksjon, eller rettere sagt
Kvantebrønn i 3D (partikkel i boks)
En atomkjerne skaper en type elektrisk boks/sfære rundt seg som fungerer som en partikkel i en boks for elektroner i boksen
Orbitaler vil ha en ikke-uniform sannsynlighet for hvor du kan finne elektronene. S-orbitaler er kuler med tomrom for noen radiuser (løk)
Når en elektron blir eksitert til en høyere orbital så vil det være en sannsynlighetsfunksjonen strømme fra den ene orbitalen til den andre.
Hvis det er en ledig lavere orbital (hull) så vil den gå tilbake og emittere et foton med energi tilsvarende energihoppet
Bindinger i faste stoff
ione (isolator)
et atom som gir bort elektron(er) til et annet atom som trenger, for at begge blir edelgass
metallisk (leder)
mange atomer gir bort sin ekstra elektron(er) til en gigantisk elektronsky som gjør de edelgass, konsekvensen er at de til sammen oppfører seg som et stort "atom"
kovalent (semileder)
et atom som deler (kan være begge på et sted eller en på hver) et eller flere elektronpar for å bli edelgass
alle atomer får edelgass-konfigurasjon når de skaper en binding (mest stabil, lavest energi)
Dobbel kvantebrønn
For å forstå hvordan bindinger fungerer, forestill deg \(H_2^+\), det vil da være en dobbel kvantebrønn
Det vil være en barriere imellom, som man kan tenke er også en brønn med høyere potensial (elektronet foretrekker en av atomene istedenfor midten)
De to orbitalene (grunnivået) vil skape to molekylerorbitaler, en bonding og en antibonding orbital (lineær kombinasjon). Den bonding orbitalen er molekylets grunnnivå (lavere energi pga elektron imellom), mens antibonding orbital har høyere energi (elektron bak en av atomene)
Det interatomære potensiale
Interatomært potensial er et mål på kraften mellom to atomer, bestemt av avstanden mellom atomkjernene og elektronenes konfigurasjon.
Når atomer former et molekyl så er ikke noe vits å se på orbitaler til hver enkelte atom men det totale system siden de påvirker hverandre
Kronig-Penney modellen
Bloch's teorem
Bloch's teorem sier at løsningen til Schrödinger-likningene i flere kvantebrønner med periodisk potensial er \(\Psi(x)=e^{ikx}u(x)\)
Løsningene til Kronig-Penney modellen
\(\cos(\ldots)=\ldots\)
Cosinus kan bare være mellom -1 og 1, så vi kan plotte RHS for å se når den også er mellom -1 og 1
Forenklinger i Kronig-Penney modellen
Firkantet potensial istedenfor Coloumb potensial
Uendelig gitter istedenfor et gigantisk gitter
Dispersjonsrelasjonen, E(k)
Forholdet mellom energi og bølgetallet
\(E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}=\frac{p^2}{2m}\)
\(p=hk=mv\)
\(k=\frac{n\pi}{L}=\frac{2\pi}{\lambda}\)
Kronnig-Penney modell for 1D gitter
Effektiv masse (kvasipartikkel)
Effektiv masse er massen som et elektron ser ut som den har i en krystallstruktur/materiale ut i fra hvordan den akselerer av en elektrisk/magnetisk kraft F
Den effektive massen kan til og med være negativ, så det er tilfeller hvor elektronet går motsatt av elektrisk felt.
Istedenfor å beregne på en tierpotens antall elektroner som vekselveriker med hverandre i et leder, så kan vi behandle det som en enkel partikkel som går gjennom vakuum med en annen masse
Båndstruktur
Tilstandstetthet (DOS)
Tilstandstetthet er tallet på hvor mange kvantetilstander det finnes i et gitt energiintervall \(\Delta E\) på et bånddiagram.
Fermi-Dirac fordeling
Fermi-Dirac fordeling forteller oss sannsynligheten om å finne et elektron med energinivå E (hvis den tilstanden finnes).
\(E_F\) er høyeste energinivået som er fyllt av en elektron eller i et båndgap og \(k_B\) er Boltzmann's konstant
\(f(E,T)=\frac{1}{1+e^{(E-E_F)/k_BT}}\)
Fordelingen følger fra Paulis eksklusjonsprinsippet, som sier at to elektroner kan ikke ha helt identiske kvantetall, dvs. være i samme kvantetilstand
Båndstruktur i 3D
Båndstruktur i 1. Brillouinsone
Direkte og indirekte båndgap
I en direkte båndgap så er energien til VBM og CBM ulik men bevegelsesmengden er lik.
I en indirekte båndgap så er både energien og bevegelsesmengden til VBM og CBM ulik.
Forenklet bånddiagram
Elektron og hull i båndstrukturen
Et hull
Bragg, Miller, brilluion
miller plan
\(g_{hkl}=hb_1+kb_2+lb_3\)
\(d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}\)
