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SISTEMI LINEARI (le slide guardale lo stesso) - Coggle Diagram
SISTEMI LINEARI
(le slide guardale lo stesso)
m equazioni in n incognite
Ax=b
x= vettore incognite
b= vettore termini noti
b=0 <=> sistema omogeneo
A= matrice coefficienti
colonne:
c_j= A e_j ^ (n)
vettore base canonica:
e_k= [0 .. 1 .. 0]^T
righe:
r_i^T= (e_i^(m))^T A
elementi:
a_ij= (e_i^(m) )^T A e_j^(n)
n° operazioni per calcolare b
m*n operazioni
m(n-1) addizioni
Non sempre, fissato un vettore b
di dimensione m, si può trovare
un vettore x tale che Ax=b
se è solo se b appartiene a ran(A)
ammette soluzione unica se rank(A)=n
Algebra Lineare
Partizionamento
decomposizione matrice
in sottomatrici
Matrice a blocchi
A_ij sotto matrice
Trasposta
inverto righe e colonne
A^T
Coniugata
cambiando di segno la parte immaginaria
A con la barra sopra
Aggiunta
trasposta della matrice coniugata
A^*
Range
tutti i vettori y che posso
ottenere moltiplicando A*x
ran(A)
Rango
dimensione di ran(A)
rank(A)
Matrice Non Singolare
A è non singolare se rank(A)=n
x=A^-1 b
Matrice Simmetrica
A=A^T
antisimmetrica A= - A^T
Matrice Hermitiana
A=A*
antihermitiana A= - A *
Matrice Ortogonale
A^-1 = A^T
Matrice definita positiva
x^T A x > 0,
Ogni x diverso da 0
Matrice Unitaria
A^-1 = A*
Determinante
sum (-1)^(i+1) a_i1 det(A_i1)
A è non singolare se det(A) diverso da 0
Autovalore
lambda tale che esista x (autovettore)
tale che Ax = lambda x
Spettro
insieme autovalori
raggio spettrale: max valore assoluto di lambda
Norme
||x||_p := (sum |xi|^p)^(1/p)
Norma indotta su matrice
||A|| := max ||A_x||
||x||=1
Sistemi Lineari Quadrati
n equazioni in n incognite
Risoluzione Numerica
Metodi Diretti
trasformazione sistema in uno equivalente
in assenza di errori di arrotondamento
forniscono la soluzione esatta
distruggono sparsità matrice
Fattorizzazione
matrici diagonali
matrici triangolari
matrici ortogonali
Fattorizzazione LU
Metodo di Eliminazione
di Gauss
da Ax=b
a Ly=b
e Ux=y
L matr triang inf diagonale 1
U matr triang sup
Se A=LU esiste e A è non singolare,
allora essa è unica
se A è non singolare, A=LU esiste se e solo se tutti i minori principali di A sono non nulli
non completamente generale
instabilità numerica
soluzione: PIVOTING
scambio tra righe o colonne
se A è nonsingolare, allora esiste pivot tale che PA=LU
CASI PARTICOLARI
matrici a diagonale dominante
ogni elemento diagonale è maggiore della somma degli altri elementi sulla stessa riga(colonna)
matrici simmetriche definite positive
A=A^T e per ogni x diverso dal vettore nullo
x^T A x >0
tutte le sottomatrici principali di una matrice sdp sono sdp
Metodi Iterativi
splitting matrice e poi op. ricorsivamente fino ad ottenere un approssimazione della soluzione esatta
Soluzione ottenuta come limite di una successione
sfruttano sparsità matrice dei coefficienti
Metodi Iterativi
Stazionari
successioni vettori
x(k) t.c. x(k+1)=Qx(k)+d
Metodo di Jacobi
A=D-L-U
D matr diag
L matr strett triang inf
U matr strett triang sup
si risolve Mx(k+1)=Nx(k)+b
con M=D e N = U+L
se A è diagonale dominante.
metodo di Jacobi converge sempre
Metodo di Gauss Seidel
A=D-L-U
D matr diag
L strett triang inf
U strett triang sup
si risolve Mx(k+1)=Nx(k)+b
con M=D-L e N=U
Se A è simmetrica definita positiva
Gauss Seidel converge
Convergenza: e(k) converge a 0
se esiste una norma naturale
per l quale ||Q||<1
e(k) converge se e solo se la matrice di iterazione Q è convergente
raggio spettrale<1
(più vicino a 0 più velocemente converge)
Criteri di Arresto
criterio di salvaguardia
fisso n max di iterazioni
criterio di controllo sul residuo
si controlla ||b-Ax(k)||/||b||<epsilon
criterio di controllo su due iterative consecutive
si controlla ||x(k)-x(k-1)||<epsilon