Cálculo Diferencial e Integral II
Primitivas
Integral Indefinda
As primitivas de funções (também conhecidas como antiderivadas) são um conceito fundamental no estudo do cálculo
integral indefinida de uma função está associado a uma família de primitiva dessa função.
Usando esse conceito é possível determinar a função integranda.
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∫ = é o símbolo da integração, f(x) = é o integrando, F(x) = é uma função primitiva, C = é uma constante, dx = é o diferencial de x o qual indica que a primitiva dever ser calculada em relação à variável x
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Em cálculo, integração por substituição, também conhecido como substituição u ou mudança de variáveis, é um método para calcular integrais e antiderivadas. É a contraparte da regra da cadeia para derivadas, e pode ser vagamente considerada como o uso da regra da cadeia "para trás".
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A integração por partes é um método de integração frequentemente usado para integrar os produtos de duas funções. Essa técnica é usada para encontrar as integrais, reduzindo-as às formas padrão.
APROXIMANDO ÁREAS
Arquimedes ficou fascinado em calcular as áreas de várias formas — em outras palavras, a quantidade de espaço envolvida pela forma. Ele usou um processo que ficou conhecido como método de exaustão, que usava formas cada vez menores, cujas áreas podiam ser calculadas com exatidão, para preencher uma região irregular e, assim, obter aproximações cada vez mais próximas da área total. Nesse processo, uma área delimitada por curvas é preenchida com retângulos, triângulos e formas com fórmulas de área exata. Essas áreas são então somadas para aproximar a área da região curva.
INTEGRAL DEFINIDA
O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de se calcular a área de uma região curva não simétrica. Por exemplo, a área sobre o gráfico da função f(x) = x² é difícil de ser calculada, pois não existe uma ferramenta exata para isso.
O TEOREMA FUNDAMENTAL DO
CÁLCULO
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro.
as integrais de funções simétricas exploram a simetria de uma função para facilitar o cálculo da integral.
INTEGRAIS DEFINIDAS POR
SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE
FUNÇÕES SIMÉTRICAS
As integrais definidas por substituição são uma técnica de cálculo usada para simplificar a integração, substituindo uma parte da integral por uma nova variável
Funções simétricas são aquelas que têm propriedades iguais quando seus argumentos são permutados. No contexto de integrais, se uma função é par (simétrica em relação ao eixo y), a integral de (-a) a (a) pode ser simplificada para o dobro da integral de 0 a (a). Se a função é ímpar (simétrica em relação à origem), a integral de (-a) a (a) é zero. Isso pode facilitar muito o cálculo de integrais definidas.
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Integrais trigonométricas envolvem funções integradoras que contêm funções trigonométricas. Métodos comuns para resolvê-los incluem o uso de identidades trigonométricas, substituição e integração por partes
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
TRIGONOMÉTRICA
A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.
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INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES
RACIONAIS POR FRAÇÕES
PARCIAIS
A integração por fracções parciais é uma técnica de integração que consiste em reescrever uma função racional como a soma de fracções simples. Depois, a integral de cada fracção pode ser facilmente encontrada.
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
As integrais impróprias são chamadas de convergentes se os respectivos limites existem (como números ), e divergentes se os limites não existem.
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APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS
DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS
E VOLUME
As aplicações das integrais definidas são vastas, e duas das mais comuns são o cálculo da área entre curvas e o cálculo de volumes.
Área entre curvas: Para calcular a área entre duas curvas, você subtrai a integral da função inferior da integral da função superior no intervalo desejado.
Volume: Existem várias maneiras de calcular volumes usando integrais definidas, dependendo da forma do sólido. Um método é o método dos discos, que é usado quando o sólido pode ser descrito como uma pilha de discos (ou círculos) de diferentes raios.
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APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS
DEFINIDAS: SÓLIDOS DE
REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA
SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃ
cálculo de sólidos de revolução, que é uma técnica para encontrar o volume de um objeto tridimensional que é criado ao girar uma forma bidimensional em torno de um eixo. A fórmula geral para calcular o volume de um sólido de revolução usando integrais definidas é:
V=π∫ab[f(x)]2dx
cálculo da área da superfície de revolução, que é a área da superfície do objeto tridimensional criado pela rotação.
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA Y=F(X) E TRABALHO
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as Aplicações das Integrais não se limita a geometria, podemos ainda utilizá-las no calculo do trabalho feito por uma força. O trabalho realizado é dado por
onde d é a distância em que se realizou a força F. Assim, se o trabalho foi feito com uma força variável ao longo do deslocamento, podemos calculá-lo através das integrais.
Outra aplicação é na economia, ao chamado valor do benefício ao consumidor. Este valor é dado quando um consumidor compra um produto com um preço inferior ao que vinha sendo cobrado. Este preço é obtido com a curva de demanda, ou seja, oferta e procura.
SISTEMAS DE COORDENADAS ESPECIAIS
Existem vários sistemas de coordenadas especiais usados para diferentes propósitos. Por exemplo, coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas são comuns em matemática e física