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Operadores Lógicos Fundamentais, contraditórias, contrárias, subcontrárias…

- - - - Na Lógica Booleana, só existem as proposições absolutamente verdadeiras e as proposições
        falsas. Não é possível haver um meio termo.
        
        Se um único exemplo contraria a proposição, ela não é absolutamente verdade, logo ela é falsa
- - - - Parte de conhecimentos anteriores (ou premissas)
      - Usa o raciocínio
      - Prova verdades absolutas, desde que suas
        premissas sejam verdadeiras
    - - Parte de observações da realidade
      - Cria experimentos científicos
      - Propõe teorias e hipóteses, que podem ser abandonadas,
        caso não se adéquem a um experimento futuro
- - - - Sentenças Interrogativas
      - Sentenças Imperativas
      - Sentenças Exclamativas
      - Sentenças Vagas: são utilizados adjetivos ou advérbios que não possuem um sentido bem definido ou são subjetivos
  - - - Não possui conectivos lógicos
        
        Os eventuais conectivos devem articular termos que compartilham o mesmo predicado, ou seja, formam a mesma oração
      - Propõe apenas uma tese
      - Ver se possui apenas um verbo declarativo
    - - Possuem conectivos lógicos
        
        articulam termos que não compartilham o mesmo verbo e predicado - orações diferentes
      - Propõe mais de uma tese
    - - conectivos E e OU
        
        Como conjunções, podem articular tanto orações diferentes, como termos de uma mesma oração - tomar cuidado
      - Exemplos: E, OU, SE... ENTÃO, SE E SOMENTE SE
    - - Ex.: “ontem”, “há alguns anos”, “faz alguns dias”.
      - Ainda que haja verbo, não é uma proposição
        autônoma. É parte da proposição a que se refere.
  - - - Proposição que diz respeito a uma categoria, não apenas a um único indivíduo
    - - Particulares e Universais
        
        Proposições Particulares: quando se referem a apenas alguns dos elementos de uma categoria. É geralmente caracterizada pela presença de quantificadores, como “algum”, “alguns”, “a maioria”, “parte”, “pelo menos um”, “existe um”.
        
        Proposições Universais: quando dizem respeito a todos os elementos de uma categoria. É geralmente caracterizada pela presença de quantificadores, como “todos”, “nenhum”, “nunca”, “sempre”.
      - Afirmativas e Negatias
        
        Proposição Afirmativa: caso contrário, ela será uma proposição afirmativa.
        
        Proposição Negativa: quando possui um qualificador de negação, por exemplo, “não”, “nunca”, “nada”, “nenhum”, “jamais”.
    - - Subalternas: quando uma proposição é uma condição suficiente para a outra
        
        proposição particular positiva é subalterna a uma proposição universal negativa (idem para negativas). Ex.: “Todo Auditor é Engenheiro” - “Algum Auditor é Engenheiro”
      - Contraditórias: quando as duas proposições necessariamente apresentam valores lógicos
        contrários.
        
        É o que acontece entre uma proposição universal afirmativa e uma particular negativa ou entre uma universal negativa e uma particular afirmativa. Ex.: “Todo Auditor é Engenheiro” - “Algum Auditor não é Engenheiro”
      - Contrárias: quando podem ser ambas falsas, mas nunca ambas verdadeiras.
        
        É o que acontece entre uma proposição universal afirmativa e uma universal negativa. Ex.: “Todo Auditor é Engenheiro” - “Nenhum Auditor é Engenheiro”
      - Subcontrárias: quando podem ser ambas verdadeiras, mas nunca ambas falsas.
        
        É o que acontece entre uma proposição particular afirmativa e uma particular negativa. Ex.: “Algum Auditor é Engenheiro” - “Algum Auditor não é Engenheiro”
- - - - Negar uma verdade é contar uma mentira. Logo, a negação de qualquer sentença verdadeira é uma sentença falsa
      - A recíproca também é verdadeira. Quando você nega uma mentira, você está contando uma verdade.
      - A conclusão geral é que o operador NEGAÇÃO troca o valor lógico da proposição. O que era verdadeiro se torna falso e o que era falso se torna verdadeiro.
    - - Ao negar duas vezes, você está afirmando. Portanto, ao negar duas vezes, retornamos à frase original
      - Uma forma muito simples de negar uma sentença negativa é simplesmente retirar o NÃO.
    - - Uma proposição aritmética envolve contas, sendo que o principal é o sinal de igualdade (“=”) ou de desigualdade (maior que “>”, menor que “<”, maior ou igual a “>”, menor ou igual a “<” e diferente “≠”).
      - as expressões aritméticas podem ser negadas por meio de antônimos absolutos:
        
        • A negação de “igual” é “diferente”;
        
        • A negação de “maior” é “menor ou igual” e
        a negação de “menor” é “maior ou igual”.
        
        • A negação de “maior ou igual” é “menor” e
        a negação de “menor ou igual” é “maior”.
    - - Proposição Universal negação ➡️ Proposição Particular
        (e vice-versa)
      - Preposição Afirmativa negação ➡️ Preposição Negativa
        (e vice-versa)
      - Exemplo: Todos os alunos vieram para a aula
        Negação: Pelo menos um aluno não veio para a aula
  - - - Se qualquer uma das proposições simples que o compõem seja falsa, a proposição inteira será falsa.
    - - Exs.: “Paulo estudou, mas não passou”
        “Embora Lucas tenha dormido, ele não perdeu a festa.”
  - - - O operador OU somente será falso se todas as proposições simples que o compõem sejam falsas.
  - - - Operador E é o mais exigente, necessita que todas as proposições simples sejam verdadeiras
      - A forma mais simples de fazer a negação verbal dessa proposição composta é “Não é verdade que João estudou Matemática e Pedro estudou Português”.
      - Mas só basta uma proposição se tornar falsa para todo o conjunto ser falso. Assim, a proposição composta será falsa quando “João estudou Matemática” for FALSA OU quando “Pedro estudou Português” for FALSA.
        
        Daí, temos a primeira Lei de De Morgan.
        ¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
        • Trocar o operador E por OU;
        • Negar todas as proposições simples.
        
        Exemplos:
        A negação de "João estudou matemática E Pedro estudou português" é: "João não estudou matemática OU Pedro não estudou português".
        A negação de "Bruna não é paulista E Carla é recifense" é:
        "Bruna é paulista OU Carla não é recifense".
    - - A Segunda Lei de De Morgan estabelece que a negação do operador OU deve ser feita:
        • Trocando-se o operador OU por E,
        • Negando todas as proposições simples.
      - A forma mais simples de negar essa frase é dizendo simplesmente que “Não é verdade que Catarina é administradora ou Afonso não é carioca”. Porém, podemos também utilizar a Lei de Morgan.
      - Exemplo: a negação de “Catarina é administradora ou Afonso não é carioca” é: “Catarina não é administradora E Afonso é carioca”
- - - - Comutativa
        
        podemos trocar a ordem das sentença, sem alterar o valor lógico global da afirmação inteira
        p ∨ q = q ∨ p
        p ∧ q = q ∧ p
        
        Em linguagem verbal, podemos dizer que são equivalentes as proposições: “Catarina não é recifense e Pedro é paulista” e “Pedro é paulista e Catarina não é recifense”.
      - Distributiva
        
        Propriedade importante. Válida quando o operador E está
        fora do parênteses e o operador OU dentro do parênteses
        p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
        Observe a analogia com as operações matemáticas.
        p × (q + r) = (p × q) + (p × r)
  - - - Se o operador E é verdadeiro, podemos concluir que cada uma de suas proposições simples que o contém é verdadeira.
        p ∧ q => p, q
      - Ex.: Premissa: “João é contador e Laura é advogada” Conclusões:“João é contador” “Laura é advogada”
    - - Quando o operador OU é verdadeiro, pelo menos uma de suas proposições atômicas deve ser verdadeira. Se sabemos que uma delas é falsa, podemos concluir que a outra é verdadeira. p ∨ q, ¬q => p
      - Ex.: Premissas:
        “Não cai Lógica ou eu acerto tudo”
        “Caiu Lógica”
        Conclusão:
        “Eu acertei tudo”
    - - Quando o operador OU é falso, podemos concluir que todas as suas proposições atômicas são falsas.
        ¬(p ∨ q) => ¬p, ¬q
      - Ex.: Premissa:
        “João é contador ou Laura é advogada” é falso
        Conclusões:
        “João não é contador”
        “Laura não é advogada”
    - - quando o operador E é falso, sabemos que alguma de suas proposições atômicas é falsa.
      - Ex.: Premissas:
        “Thiago gosta de camarão e Lucas gosta de frango” é falso
        “Thiago gosta de camarão”
        Conclusão:
        “Lucas não gosta de frango”
  - - - É uma afirmação exatamente correspondente. Trata-se apenas de uma forma diferente de dizer a mesma coisa.
      - Por exemplo, “Não é verdade que João saiu de casa e fechou a porta” é equivalente logicamente a “João não saiu de casa ou não fechou a porta”.
    - - é uma afirmação subalterna de uma premissa. Trata-se, portanto, de uma afirmação mais fraca, porém, normalmente um caso particular importante que se deseja destacar.
      - Ex.: Premissa:
        “João é contador e Laura é advogada”
        Conclusão:
        “João é contador”
      - Ex.: Premissas:
        “Todo homem é mortal”
        “Sócrates é homem”
        Conclusão:
        “Sócrates é mortal”