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Matemática - Coggle Diagram
Matemática
FGB
Divisibilidade
Divisão euclidiana
D (dividendo)
d (divisor)
q (quociente)
r (resto)
se r = 0, D é divisível por d; D é múltiplo de d; d é divisor de D
Múltiplos e divisores de um número natural
Múltiplos
Dizemos que a ∈ N é múltiplo de b ∈ N se e somente se a =K.b
Todo natural não nulo tem infinitos múltiplos
0 é múltiplo universal
Divisores
Dizemos que a ∈ N é divisor de b ∈ N, se e somente se b/a = K, K ∈ Z
Todo natural não nulo tem finitos divisores
1 é divisor universal
Números primos
Um número é primo se, e somente se, possuir apenas dois divisores
15 primeiros
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Todo número par maior que 2 é a soma de dois números primos
Como identificar
Efetue a raiz quadrada de n
Dividir n por todos os primos menores que a parte inteira da raiz
Se não dividir por nenhum, ele é primo
Primos de Mersenne
Mn = 2^n - 1, n é primo
Critérios de divisibilidade
2
últimos algarismos: 0, 2, 4, 6, 8
3
soma dos dígitos deve ser divisível por 3
4
2 últimos dígitos devem ser divisíveis por 4
5
últimos algarismos: 0, 5
6
últimos algarismos: 0, 2, 4, 6, 8; soma dos dígitos deve ser divisível por 3
7
6678
667 - 16 = 651
65 - 2 = 63
6 - 6 = 0 ✅
8
3 últimos dígitos devem ser divisíveis por 8
9
soma dos dígitos deve ser divisível por 9
10
último algarismo: 0
11
10934 -+-+-
-1 + 0 -9 + 3 - 4 = - 11✅
Mínimo múltiplo comum (MMC)
O MMC entre dois ou mais números é o menor múltiplo simultâneo não nulo dos números
Questões envolvendo ciclos
Interesse em achar o encontro dos ciclos
MMC é o período mínimo necessário para o encontro dos ciclos
Máximo divisor comum (MDC)
O MDC entre dois ou mais inteiros não nulos é o maior divisor simultâneo dos números
Propriedades
P.1) MDC (1,a) = a, ∀ a ∈ Z
P.2) MMC (a,b). MDC (a,b) =a.b
Dividir na maior parte possível
Encontrar a menor quantidade possível
Otimização de espaços
Razão e proporção
A razão entre
a
e
b
é igual a
a/b
(
a
está para
b
; a cada
a
se tem
b
)
Grandezas proporcionais
Grandeza: tudo que pode ser medido
Diretamente proporcionais: uma aumenta e a outra aumenta na mesma proporção (
x = K.y
)
Inversamente proporcionais: uma aumenta e a outra diminui na mesma proporção (
x = K/y
)
Regra de 3 simples (duas grandezas) e composta (mais de duas grandezas)
IF
Lógica básica
Proposição
Orações declarativas
Símbolo: letras minúsculas
Possuem apenas um valor lógico (V ou F)
Negação
Representada por ~p
~p: O Brasil não é um continente
~(~p): Não é verdade que o Brasil não é um continente
Tabela verdade
p
V
F
.
~p
F
V
.
Composta
Duas ou mais proposições simples, com o uso de conectivos
Conjunção (a e b)
p
V
V
F
1 more item...
q
V
F
V
1 more item...
p^q
V
F
F
1 more item...
Disjunção (a ou b)
p
V
V
F
1 more item...
q
V
F
V
1 more item...
p v q
V
V
V
1 more item...
Disjunção exclusiva (ou a ou b)
p
V
V
F
1 more item...
q
V
F
V
1 more item...
p _v_q
F
V
V
1 more item...
Condicional (se a, então b)
p
V
V
F
1 more item...
q
V
F
V
1 more item...
p --> q
V
F
V
1 more item...
Bicondicional (a se, e somente se q)
p
V
V
F
1 more item...
q
V
F
V
1 more item...
p <--> q
V
F
F
1 more item...
Sentenças que não são proposições
Optativas
Interrogativas
Exclamativas
Imperativas
Paradoxos
Sentença aberta (x)
Proposição; qualificador
∀ : para todo; para qualquer
| : tal que
a: {∀ x = 7 | x + 7 = 14} V
b: {∀ x ∈ N | x - 1 =7} F
Conjuntos
enumerar seus elementos entre chaves
descrevê-lo por meio de propriedades características de seus elementos
escrever seus elementos no interior de uma figura fechada (Diagrama de Venn
Vazio (∅, {})
Representados por letras maiúsculas
Unitário (apenas um elemento)
Subconjuntos
Todos os elementos de A pertencem a B
A ⊂ B; B ⊃ A; C ⊄ B
Operações com conjuntos
Reunião de conjuntos (união)
A ∪ B
Intersecção de conjuntos
A ∩ B
Diferença entre conjuntos
A - B
Complementares
Princípio da inclusão/ exclusão
A ∪ B
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
A ∪ B ∪ C
n (A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n (A ∩ B) + n(A ∩ B ∩ C)
Conjuntos numéricos
Racionais
Dízimas periódicas
Fração geratriz
x = 0,222...
10x = 2,22...
10x = 2 +x
10x - x = 2
9x = 2
x = 2/9
Reais
Intervalos reais
Intervalo fechado: [a - pintado
Intervalo aberto: b[ ou b) - não pintado