Numerik
Normen
LinA
Matrizen
Zerlegungen
LU-Zerlegung A=LU
QR-Zerlegung \(A = QR\)
Relationen
ähnlich \(B=S^{-1}AS\) (A, B quadrat.)
=> äquivalent \(B=Q^{-1}AP\) (auch \(\mathbb{R}^{n,m}\))
Eigenschaften
Eigenschaften
symmetrisch
Matrixnormen
Operatornorm/induzierte Matrixnorm
Vektornormen
Frobenius-Norm / Hilbert-Schmidt-Norm
lp-Normen
2 Euklidische Norm
∞-Norm / Maximumsnorm
1 Taxi Norm
Eigenschaften
durch lp-Normen
induzierte Matrixnormen
2 Spektralnorm
∞ Zeilensummen-Norm
1 Spaltensummen-Norm
stetig
Relationen
äquivalent
submultiplikativ
das Infimum der induzierten Matrixnormen
Cholesky-Zerlegung \(A = LL^*\)
Werte
Spektralradius
Lemma von Schur \(A = UBU^{-1}\)
irreduzibel
hermitesch
Eigenzerlegung \(A = V \Lambda V^{-1}\)
reel diagonalisierbar/
diagonalähnlich /
a square matrix ?? unitär diagonalisierbar
mit reellen Eigenwerten
normal
\(\bar A^TA = A\bar A^T\)
\(A = UD\bar U^{T}\)
<=> nach Spektralsatz
orthogonal
\(QQ^T = I\)
arithm- / geometrische Vielfachheit
Eigenwerte
unitär
komplex diagonalisierbar/
unitär diagonalisierbar
Dreiecksmatrix
invertierbar/
regulär
charakteristisches Polynom
Komplement
Symmetrisch/Schiefsymmetrisch (Hermitesch) \(A = \frac 1 2 \underbrace{(A + A^T)}_\text{symmetrisch} + \frac 1 2 \underbrace{(A - A^T)}_\text{schiefsymmetrisch}\)
\(\begin{bmatrix}0 &1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\)
ist nicht reell diagonalisierbar aber normal
schiefsymmetrisch
schiefhermitesch
\(\begin{bmatrix}0 &1\\ 2 & 0\end{bmatrix}\)
ist invertierbar aber nicht normal
nur reelle
Eigenwerte
what of this holds only for square matrices?