Séries de Fourier

Séries de Fourier

Primeiramente devemos obter os coeficientes de Fourier, que são dados pela seguinte expressão:

Conceito

Visualizando funções como vetores em um espaço vetorial de dimensão infinita, queremos representar uma função como uma combinação linear de uma base desse espaço. É importante comentar que as séries de Fourier só são bem definidas para funções periódicas.

É extremamente importante que nossa base seja ortogonal, já que isso garante uma forma extremamente direta de obter os coeficientes de cada vetor na combinação linear: o produto interno da função de interesse por uma das funções da base (normalizado caso a base não seja ortonormal).

Quando nossas funções são definidas no intervalo $[-\pi,\pi]$ , a base ortogonal que utilizamos é {1,exp(ix),exp(2ix),exp(3ix),...} para funções complexas e {1,sen(x),cos(x),sen(2x),cos(2x),...} para funções reais. É fácil ver a conexão entre as duas através do teorema de Euler (exp(ix) = cos(x)+isen(x)).

Aplicações

O tipo de espaço vetorial que obedece às propriedades que desejamos é chamado espaço de Hilbert. Uma propriedade importante desse tipo de espaço é ser dotado de um produto interno. No nosso caso, esse produto interno se torna uma integral.

As séries de Fourier têm aplicações em uma quantidade imensa de áreas, sendo o coração de áreas como o processamento de sinais. Muitas das aplicações surgem da interpretação das séries de Fourier como passarmos do "mundo do tempo" para o "mundo das frequências", ou seja, nós descrevemos nossa função através das frequências que a compõem.

Alguns exemplos de aplicações práticas são: compressão de dados (especialmente arquivos de imagem e de aúdio), reconhecimento de voz (através da análise das frequências), remoção de ruído em um sinal (através da remoção de frequências não-relevantes), etc.

Exemplo Teórico

Aqui exemplificaremos a obtenção da série de Fourier da onda quadrada $SW(t)$ com período 2$\pi$ (definida de $-\pi$ a $\pi$ com $SW(0)=1$). Segue uma imagem exemplo da onda quadrada e a fórmula da série de Fourier.

Primeiramente devemos obter os coeficientes de Fourier, que são dados pela seguinte expressão:

Temos então que:

$f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}cos(nt) + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}sin(nt)$

$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} SW(t)\,dt$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} SW(t)cos(nt)\,dt$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} SW(t)sin(nt)\,dt$

Vemos que podemos substituir $SW(x)$ por $2(H(t)-H(t-\pi))-1$, onde $H(x)$ é a função de Heaviside.

Portanto $SW(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi}\frac{(1-(-1)^{n})}{n}sin(nt)$

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [2(H(t)-H(t-\pi))-1]\,dt = 0$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [2(H(t)-H(t-\pi))-1]cos(nt)\,dt = 0$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [2(H(t)-H(t-\pi))-1]sin(nt)\,dt = \frac{2}{\pi}\frac{(1-(-1)^{n})}{n}$

Devido à natureza discreta da maior parte das nossas tecnologias que tratam e interpretam sinais, a maioria dessas aplicações usa uma versão discretizada dos mesmos conceitos que vemos nas séries de Fourier, a transformada discreta de Fourier (DFT).