第三冊第三章空間向量
空間中直線、平面的關係
1 空間中直線與直線的關係
空間中相異兩點決定一直線。
若 L1 與 L2 為空間兩直線。討論兩直線的相交情況可能有:
1 L1 與 L2 不相交,在同一平面上。稱 L1 與 L2 為互相平行。
2 L1 與 L2 不相交,但不在同一平面上。稱 L1 與 L2 為互相歪斜。
3 L1 與 L2 交於一點。
4 L1 與 L2 重合。
2 空間中直線與平面的關係
空間中不共線三點決定一平面。
若 L 與 E 分別為空間的直線與平面。討論圖形的相交情況可能有
1 L 與 E 不相交。稱 L 與 E 為互相平行。
2 L 為 E 上一直線。
3 L 與 E 交於一點。
4 若平面 E 上一點,過 P 的每條直線均與直線 L 垂直,則稱 L 與 E 垂直(L ^ E)
空間中平面與平面的關係
1 若 E1 與 E2 為空間兩平面,討論兩平面的相交情況可能有:
1 E1 與 E2 不相交,即 E1 與 E2 互相平行。
2 E1 與 E2 交於一直線。
3 E1 與 E2 重合。
2 平面的兩面角
在兩平面 E1 與 E2 的交線 L 上取一點 P , 自 P 點分別在 E1 與 E2 作兩直線 L1 與 L2,使得 L1 ^ L 且 L2 ^ L。此時 L1 與 L2 的夾角 q 稱為 E1 與 E2 的兩面角。
3 三垂線定理
已知直線 L 與平面 E 垂直於點 P,L1 為平面 E 上不過 P 點的直線,若由 P 點作垂線交 L1 於點 R。則對 L 上的任 一點 Q,QR 恆與 L1 垂直。
空間坐標系
1 空間坐標系
在空間中,取一點 O 為原點,取兩兩垂直的直線為 x、y 與 z 軸 。 並給予固定方向為正向 。 則空間上任意點 P 與數對 (x, y, z) 恆有一對一的對應。也就是空間上任一點 P 可利用 數對 (x, y, z) 表示。
2 坐標軸上的點
1 x 軸上的點坐標為 (a, 0, 0); y 軸上的點坐標為 (0, b, 0); z 軸上的點坐標為 (0, 0, c)。
3 兩點間的距離
2 包含 x 軸與 y 軸的平面為 xy 平面。平面上的點坐標為 (a, b, 0); 包含 x 軸與 z 軸的平面為 xz 平面。平面上的點坐標為 (a, 0, c); 包含 y 軸與 z 軸的平面為 yz 平面。平面上的點坐標為 (0, b, c)。
3 空間被三個坐標軸分成 8 個卦限。其中三個正向坐標軸所圍成的空間為第一卦限。
空間中 P(x1 , y1 , z1)、Q(x2 , y2 , z2) 兩點,連接兩點得 PQ 。
1 PQ 的中點坐標為 ( x1 + x2 2 , y1 + y2 2 , z1 + z2 2 )。
2 線段 PQ 的長度為 (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1)
空間向量的坐標表示法
1 O 為原點,對任意向量 u ,存在 P 點使得 OP = u ,若 P 點的坐標為 (a, b, c),則可 用 (a, b, c) 表示向量 u ,記作 u = (a, b, c),此為向量的坐標表示法。其中 a 為 u 的 x 分量,b 為 u 的 y 分量,c 為 u 的 z 分量。
2 空間上兩點 A(x1 , y1 , z1)、B(x2 , y2 , z2),則:
1 AB = (x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1)。
2 AB | | = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1)
3 零向量與單位向量
1 若 u 為零向量,也就是 u = 0 = (0, 0, 0)。
2 若 u | | = 1,則 u 為單位向量。
4 空間向量的加減法與實數積
若 u = (a1 , b1 , c1)、v = (a2 , b2 , c2),則
1 u + v = (a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2)。
4 與 u 同方向的單位向量為 u u | | = ( a1 a1 2 + b1 2 + c1 2 , b1 a1 2 + b1 2 + c1 2 , c1 a1 2 + b1 2 + c1
2 u - v = (a1 - a2 , b1 - b2 , c1 - c2)。
3 若 t 為實數,則 tu = (ta1 , tb1 , tc1)。
5 若 a 、b 為兩平行向量,則存在實數 t 使得 a = tb Þ a1 a2 = b1 b2 = c1 c2 。
空間向量的內積
1 空間向量內積定義
設 a = (a1 , b1 , c1)、b = (a2 , b2 , c2) 為空間中兩個非零向量,且其夾角為 q (0° £ q £ 180°),定義 a 、b 的內積為 a ×b = a | | b | | cos q = a1a2 + b1b2 + c1c2。
2 空間向量夾角計算
a = (a1 , b1 , c1)、b = (a2 , b2 , c2) 的夾角為 q, 則 cos q = a ×b a | | b | | = a1a2 + b1b2 + c1c2 a1 2 + b1 2 + c1 2 a2 2 + b2 2 + c2
3 空間向量內積的基本性質
a 、b 、c 為空間向量且 k 為常數,則有下列性質:
1 交換律:a ×b = b ×a 。
2 分配律:(a + b )×c = a ×c + b ×c
3 對實數的結合律:(ka )×b = k(a ×b )。
4 a | | 2 = a ×a 。 a + b | | 2 = (a + b )×(a + b ) = a | | 2 + 2(a ×b ) + b | | 2 。
空間向量的垂直與正射影
設 a = (a1 , b1 , c1)、b = (a2 , b2 , c2) 為空間中兩個非零向量。
1 兩向量垂直
若 a 、b 為兩垂直向量,則 a ×b = 0 Þ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0。
2 向量的正射影
a 在 b 方向上的正射影為 w = ( a ×b b | | 2 )b