第三冊第二章指數與對數
指數及其運算的意義
正整數的指數
1 指數記號
a Î ¡、n Î ¥,符號 a n = a14 ́ a ́24L ́ 3a n 個 。其中 a 為底數,n 為指數。
2 正整數的指數律:a、b Î ¡,m、n Î ¥,則
1 a m ́ a n = a m+n。 2 (a m ) n = a mn。 3 (ab) n = a n ́ b n。
零整數與負整數指數
零整數與負整數的指數律
a、b Î ¡,a 1 0,m、n Î ¢,則
1 規定 a 0 = 1(0 0 不存在)。 2 a -n = 1 a n。 3 a m a n = a m-n。 4 a m ́ a n = a m+n。 5 (a m ) n = a mn。 6 (ab) n = a n ́ b n。
分數指數
分數的指數律
a、b 為正實數,n 為正整數,m 為整數,則:
1 規定 a 1 n = a n ,稱為 a 的 n 次方根。
2 a m n = a n m。 3 = 3 1 2 , 4 3 = 2 2 3
當 p、q 均為分數時,下列性質恆成立
3 a p ́ a q = a p+q。 4 (a p ) q = a pq。 5 (ab) p = a p ́ b p。
實數指數
實數的指數律
a、b > 0,m、n Î ¡,則有下列性質
1 a m ́ a n = a m+n。 2 (a m ) n = a mn。 3 (ab) n = a n ́ b n。 4 a 0 = 1。 5 a m a n = a m-n。 6 a n m = a
實數的指數定義,需利用實數的完備性,所以只需瞭解其存在性即可。
2 1.4 < 2 1.41 < L < 2 2 < L < 2 1.42 < 2
指數函數及其圖形
指數函數及其圖形
1 指數函數
令 a > 0,且 a 1 1、f(x) = a x,此為以 a 為底的指數函數恆有 f(x + y) = f(x)f(y)。
2 當 a > 1,f(x) = a x 有下列性質
1 定義域:所有實數,x Î ¡。
2 值域:y > 0。
3 y = a x 恆過定點 (0, 1)。
4 f(x) 為一嚴格增函數。
5 x 軸(y = 0)為漸近線。
3 當 0 < a < 1,f(x) = a x 有下列性質
1 定義域:所有實數,x Î ¡。
2 值域:y > 0。
3 y = a x 恆過定點 (0, 1)。
4 f(x) 為一嚴格減函數。
5 x 軸(y = 0)為漸近線。
4 y = a x 與 y = ( 1 a ) x 的圖形對稱 y 軸。
指數函數的應用
1 指數不等式
a > 0,且 a 1 1,則有下列性質
2 0 < a < 1 時,a f(x) > a g(x) Û f(x) < g(x)。
1 a > 1 時,a f(x) > a g(x) Û f(x) > g(x)。
2 指數方程式
a > 0,且 a 1 1,則 a f(x) = a g(x) Û f(x) = g(x)。
對數的意義
1 對數的定義
2 對數的限制
設 a > 0,且 a 1 1,對正實數 b,存在 x 滿足 a x = b。將 x 記作 loga b,其中 a 稱為 loga b 的底,b 稱為 loga b 的真數。
1 因為 2 3 = 8 Þ log2 8 = 3
2 因為 ( 3 ) 4 = 9 Þ log 3 9 = 4
為了 a x = b 有唯一的實根,所以必須限制 a > 0,a 1 1,且 b > 0,這樣對數式 loga b 才有意義。
log0 1、log-2 4、log3 (-9) 與 log1 1,都不是正確的對數表示法
對數的性質
click to edit
1 對數的運算性質
設 a > 0、a 1 1、x > 0、y > 0
1 loga 1 = 0、loga a = 1。
2 loga x + loga y = loga xy;loga x - loga y = loga x y 。
3 r Î ¡,loga x r = r loga x。
4 (換底公式)loga x = logb x logb a ,其中 b > 0,b 1 1。
交叉相乘可得連鎖律 logb x = (logb a)(loga x)。
其中 1 (loga b)(logb a) = 1。 2 (loga b)(logb c)(logc d)(logd e) = loga e。
2 換底公式的應用
1 loga n x n = loga x。 2 loga n x m = m n loga x。
1 log4 9 = log 2 3 = log 1 2 1 3 = log2 3
2 log4 27 = 3 2 log2 3