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第三冊第一章三角函數 - Coggle Diagram
第三冊第一章三角函數
複數的絕對值
1 複數平面
數學家高斯採用平面坐標上的點 (a, b) 來對應複數 a + bi。表示複數的坐標平面,稱為「複數平面」。 其中橫軸(x 軸)上的點為實數,稱為實軸。縱軸(y 軸)上的點為純虛數,稱為虛軸。
2 複數的絕對值
若 a 、 b Î ¡ , 複數 z = a + bi 的絕對值 |z| = |a + bi| = a 2 + b 2 。表示在複數平面上點 (a, b) 與原點 (0, 0) 的 距離。
3 複數絕對值的性質
設 z、z1、z2 為複數,則: 1 |z| = z | | 2 z×z = |z| 2 3 z1 ×z2 | | = z1 | |× z2 | | 4 z n | | = |z| n,n 為整數 5 1 z | | = 1 |z| ,z 1 0 6 z1 z2 | | = z1 | | z2 | | ,z2 1 0
1 極坐標
直角坐標上的點 P(a, b),令 OP = r,q 為以 OP 3⁄4® 為終邊的標準 位置角,即稱 (r, q) 為 P 點的極坐標。其中 r 為 P 點的向徑, q 為 P 點的輻角。當 0 £ q < 2p,q 為 P 點的主輻角。
1 複數的極式
將極坐標的觀念引入複數平面,則複數 z 的標準式為 a + bi,可化成 r(cos q + isin q),稱為 z 的極式。
和差角公式與二倍角公式
和差角公式
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3 正切函數:tan(a + b) = tan a + tan b 1 - tan atan b ,其中 tan atan b 1 1。
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3 兩直線的交角
設兩直線 L1、L2 的斜率存在,分別為 m1 及 m2,斜角
分別為 q1 及 q2,則 m1 = tan q1 且 m2 = tan q2。
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2 若 m1m2 1 -1,則利用 tan q = m1 - m2 |1 + m1m2 ,求得交角 q,另一交角為 180° - q。
二倍角公式
將「和角公式」中的兩個角視為相等,即 a = b = q 代入公式整理後,可得以下的二倍
角公式。
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正餘弦函數的疊合
設 a、b 為實數且 a2+ b2=0,
則 f(x) = asin x + bcos x 之最大值為 a2+ b2,最小值為 - a2+ b2。
利用正餘弦的和差角公式,可將 f(x) = asin x + bcos x 化成振幅為 a2+ b2 的正弦函數。
a2+ b2sin(x + q),其中 cos q =a|a2+ b2,sin q =b|a2+ b2
平面三角測量
1 測量術語
1 1 圓周 = 360°,1° = 60¢(分),1¢= 602(秒)
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5 方位:「東 37° 北」為從東邊向北邊轉 37°,與「北 53° 東」表示同一方位。
2 平面三角測量步驟
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2 直角三角形,常利用「畢氏定理」或「三角函數定義」解之。
3 一般三角形,若知兩角角度即一邊長時,用正弦定理。
4 一般三角形,若知兩邊及其夾角或知三邊時,用餘弦定理。
立體三角測量
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3 用特別角、三角函數定義、正弦或餘弦定理,列式解未知數。