Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Második blokk - Coggle Diagram
Második blokk
37-40. Polinomok
- Egyhatározatlanú
a(0) + a(1)x + ... + a(n)x^n (a(i) € R)
Olyan többtagú kifejezések, amelyekben minden tag a következőek lehetnek:
- számok
- ismeretlenek (változók) nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzata
Pl: 4xy^2 + 3x^3 + 7
-
Legyen T, egy racionális, valós vagy komplex számok halmaza.
- x egy ismeretlen
- n egy természetes szám
- Ha p(x) m-edfokú, q(x) n-edfokú, akkor a fokszám m+n.
- Gyöktényezős alak
f = an(x - a) ...(x - an)
41-47. Mátrixok
- Egy m * n elemű mátrixot, ha minden eleme valós szám
- Egy n * n mátrix esetén
- Egységmátrix: főátlója 1-eseket tartalmaz
- Nullmátrix: csak nulla elemejet tartalmaz
- Transzponált: Sorokat és oszlopait felcseréljük, vagyis tükrözzük a főátlóra
- Vektorok skalárszorzata
u * v = u1 * v1 + ... + uk * vk
u, v € R^4 = u1 * u1 + u2 * u2 + u4 * u3 + u4 * u4
Összeadás: Két azonos méretű mátrix esetén az ugyanazon helyen álló értékeket összeadjuk
A + B = (a[i][j] + b[i][j])ˇ(m*n)
Összeszorzás
[(a, b, c, d),(e, f, g, h)] = ae + bf + cg + dh
Egy m * n és egy n * k méretű mátrix szorzata m * k méretű lesz, az i sor j oszlop eleme az első mátrix i sorának és a második mátrix j oszlopának skaláris szorzata.
- esetén
AB szorzat lehetséges, fordítva is
-
-
-
Csak akkor lehetnek egyenlőek, ha azonos méretűek
- azonos mátrix
- a skalár mátrix, tehát a főátló elemein kívül minden más 0
-
48-52. Determinánsok
Egy 2x2-es determináns kiszámítása esetén a főátló elemeinek szorzatból kivonjuk a mellékátló elemeinek szorzatát.
| a b |
| c d | = ad - bc
3x3 esetén a fő- és mellékátlók mellett a párhuzamos "átlóval" is számolni kell
| a b c |
| d e f | = aei - afh - bdi + bfg + chd - ceg
| g h i |
3x3-nál nagyobb mátrix esetén nem használható, helyette kifejtési tétel
Sorbavesszük az első sor értékeit, amiket egyesével megszorzunk az alatta lévő, nem azonos oszlopban lévő determináns értékével
-
a * (fkp - flo - gjp + gln + hjp - hkn) -
b * (ekp - elo - gip + glm + hio - hkm) +
c * (ejp - elm - fip + flm + hip - hjm) -
d * (ejo - ekn - fio + fkm + gio - gjm)
-
- Sor többszörösének hozzáadása
-
Szorozzuk meg az adott sor elemeit a c számmal, majd minden j elemét adjuk hozzá a célzott sor minden j-edik eleméhez
-
-
-
33-36. Komplex számok
Képzetes, vagyis képzeletbeli komplex szám
Jelölése i
i = gyök(-1)
i^2 = -1
i^4 = 1
i^3 = -i
Vannak olyan egyenletek, amelyeknek valós számok halmazán nincs megoldása, ezért kikellett terjeszteni a valós számokat úgy, hogy a másokfokú egyenleteknek mindig legyen megoldása, de a valós számoknak az eddig megismert tulajdonáságai az új számok között is érvényesek maradjanak.
-
Legyen z € C, z = (a, b)
Kanonikus alak: z = a + bi
Trigonometrikus alak: z = r(cos(ϕ) + i*sin(ϕ)
-
Helyezzük be az x1,2 = (-b +/- gyök(b^2 - 4ab)) / 2a képletbe
x1,2 = (3 +/- gyök((-3) - 4 * 1 * 25/4)) / 2 * 1
-
-
-
Osztás: A számlálót és a nevezőt megszorozzuk a nevező konjugált alakjával
- Nevezőben a valós szám és az i^2 imaginárius egység marad
- Vége egy kanonikus alak
Konjugálás: A képzetes egység előjele megváltozik
Jelölése: Konjugálandó rész felé húzunk egy vonalat
Pl: konj(3 + 2i) = 3 - 2i, konj(8 - 5i) = 8 + 5i
Ellentett: A valós és a képzetes egység előjele megváltozik
Jelölése: -z
Pl: -(3 + 2i) = 3 - 2i, -(8 - 5i) = 8 + 5i
-
- Trigonometrikus alak műveletek
-
z1 = r(cos ϕ + isin ϕ), z2 = s(cos α + isin α)
-
-
-
-
-
A z komplex szám trigonometrikus alakja z = r (cos(ϕ) + i · sin(ϕ)), ahol r = |z| = √(a2 + b2), és ϕ = arg(z) az a szög, amivel a valós tengely pozitív felét el kell forgatni az origó körül úgy, hogy átmenjen a z-nek megfelelő ponton.
-
59-61. Kombinatorika
59. BB BB SSS
- B: angol ABC 26 betű
- ismétlődés lehet - helyenként 26 lehetőség
- 26^4
- S: 0-9 - 10 szám
- ismétlődés lehet - helyenként 10 lehetőség
- 3^4
- Összesen: 456976000
C(n, k) = n alatt a k = n! / ( k! * (n - k) )
n! (faktoriális) = 1 * 2 * ... (n - 1), 0! = 1! = 1
Pl: Ha egy 16 elemű halmazból (n = 16) 3-at akarunk kiválasztani (k = 3), akkor 16 alatt a 3 = 16! / ( 3! * (16 - 3)! ), így azt 560 féleképpen tehetjük meg
= (n alatt a 0) * a^0 * b^(n-0) + (n alatt az 1) * a^1 * b^(n-1) + ... + (n alatt a k) * a^n*b^0
0 <= k <= n
(1 + x)^4 polinom esetén
(4 alatt a 0) * 1^0 * x^4-0 + (4 alatt az 1) * 1^1 * x^4-1 + (4 alatt a 2) * 1^2 * x^4-2 + (4 alatt a 3) * 1^3 * x^4-3 + (4 alatt a 4) * 1^4`` x^4-4