Considera tre numeri naturali consecutivi. Sommali tra loro.
Ad esempio, 1+2+3=6
Dimostrazioni
DIMOSTRAZIONE DI "differenza tra terne = 9":
(differenza di due multipli di 3 = multiplo di 3)
3x-3y = 3(x-y)
Aspetti teorici usciti fuori dalla discussione
Multiplo: Un numero intero a si dice multiplo di un numero intero b, se è possibile scrivere a come il prodotto di
b con un altro numero intero.
Osservazione: 0 è multiplo di qualsiasi intero k, perché 0 = 0*K
Numero primo: Un numero intero diverso da 1 si dice primo se è divisibile solo per sé stesso e per 1.
Scomposizione in fattori primi: scrivere il numero come prodotto di fattori primi o potenze di fattori primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica garantisce che ogni numero intero maggiore di 1 può essere scomposto in fattori primi; tale fattorizzazione è unica, a meno dell'ordine dei fattori.
DATA QUESTA AFFERMAZIONE, abbiamo cancellato la congettura riguardo la scomposizione in fattori primi di tutti i risultati, nozione, quindi, base e imprescindibile della matematica, inutile da rinforzare
Proprietà
Commutativa: x+y=y+x
xy=yx
Associativa: a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
abc=(ab)c=a(bc)
Distributiva (della moltiplicazione rispetto all'addizione): x(a+b)=xa+xb
Osservazioni teorico didattiche
Per giustificare, non basta fare ipotesi a parole sul perché accada quella tale osservazione nel problema.
Non è giusta neanche l'elencazione di esempi, anche se esempi di numeri grandi.
Queste due modalità NON sono dimostrazioni, non sono processi che avvalorano la validità in ogni caso delle regolarità osservate.
Cosa possiamo intendere allora come DIMOSTRAZIONE/GIUSTIFICAZIONE?
Regola che accomuni e verifichi la veridicità degli esempi, tramite la generalizzazione (come e cosa sia la generalizzazione si affronterà più avanti)
Considerazioni utili
Pari e dispari
Somme = multipli di 3.
Differenza tra somme
Somma primo e ultimo addendo = doppio del centrale
Tutte le terne di numeri consecutivi, sommate tra di loro, danno come somma un multiplo di tre.
Se indichiamo con n il numero centrale della terna considerata, la somma è uguale al triplo di n.
(collegata anche a "Se dividiamo la somma (...) terna = 3")
Indichiamo con n il numero centrale della terna considerata: se n è pari, la somma è pari; se n è dispari, la
somma è dispari.
Se il primo addendo è pari, il risultato sarà dispari; se il primo addendo è dispari, il risultato sarà pari.
Se dividiamo la somma ottenuta per il numero centrale della terna = 3
DIMOSTRAZIONE DI "somma di terne consecutive = multiplo di 3", "Se dividiamo la somma ottenuta per il numero centrale della terna = 3, ossia la somma è il triplo del centrale" (1), "ogni terna di numeri consecutivi contiene sicuramente un multiplo di 3, dimostrando che, data una terna di numeri consecutivi, la somma dei
due numeri che non sono multipli di 3 è un multiplo di 3." (2):
(1) Caso 1 = n numero centrale: (n-1) + (n) + (n+1) = 3n
Caso 2 = n primo numero della terna: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3 (n+1)
Caso 3 = n ultimo numero della terna: (n-2) + (n-1) + (n) = 3n - 3 = 3 (n-1)
(2) Caso 1 = multiplo di 3 è primo numero terna: (3x) + (3x+1) + (3x+2) --> somma dei due non multipli di 3: (3x+1) + (3x+2) = 6x + 3 = 3 (2x+1)
Caso 2 = centrale è multiplo di 3: (3x-1) +(3x+1) = 3x
Caso 3 = ultimo è multiplo di 3: (3x-2) + (3x-1) = 6x - 3= 3 (2x-1)
Pari e dispari
DIMOSTRAZIONE DI "La somma di due numeri dispari è un numero pari"
(2x+1)+(2y+1)=2x+2y+2=2(x+y+1)
DIMOSTRAZIONE DI "La somma di due numeri pari è un numero pari":
2x+2y=2(x+y)
DIMOSTRAZIONE DI "La somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari"
Dimostrazione: 2x+(2y+1)=2x+2y+1=2(x+y)+1
QUINDI:
DIMOSTRAZIONE DI " N = centrale; se n è pari, la somma è pari; se n è dispari, la
somma è dispari." E "Se il primo addendo è pari, il risultato sarà dispari; se il primo addendo è dispari, il risultato sarà pari.":
Caso 1 = se numero centrale pari o dispari: pari --> come se sommassi la somma di un dispari e un pari + un dispari = pari; dispari --> somma pari e dispari + pari = dispari
Caso 2 = primo numero pari o dispari: pari --> pari e dispari + pari = dispari; dispari --> dispari e pari + dispari = pari
Pari e dispari
DIMOSTRAZIONE DI "La somma di due numeri dispari è un numero pari"
(2x+1)+(2y+1)=2x+2y+2=2(x+y+1)
DIMOSTRAZIONE DI "La somma di due numeri pari è un numero pari":
2x+2y=2(x+y)
DIMOSTRAZIONE DI "La somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari"
Dimostrazione: 2x+(2y+1)=2x+2y+1=2(x+y)+1
DIMOSTRAZIONE DI "Se indichiamo con il termine "terne successive" due terne di numeri consecutivi tali che il primo termine della seconda terna è il successivo dell'ultimo termine della prima terna, la differenza tra le somme di due "terne successive" è sempre 9":
Caso n = centrale: terna 1 --> (n-1)+n+(n+1)=3n
terna 2 --> (n+2)+(n+3)+(n+4)=3(n+3)
Differenza tra le somme --> 3(n+3)-3n=3n+9-3n=9
DIMOSTRAZIONE DI "somma primo e terzo = doppio centrale":
Caso 1 = n numero centrale: (n-1) + (n) + (n+1) --> (n-1) + (n+1) = 2n = 2(n)
Caso 2 = n primo numero della terna: n + (n+1) + (n+2) --> (n) + (n+2) = 2n + 2 = 2 (n+1)
Caso 3 = n ultimo numero della terna: (n-2) + (n-1) + (n) --> (n-2) + (n) = 2n – 2 = 2 (n-1)
Se indichiamo con il termine "terne successive" due terne di numeri consecutivi tali che il primo termine della seconda terna è il successivo dell'ultimo termine della prima terna, la differenza tra le somme di due "terne successive" è sempre 9.