Una retta si dice orientata quando viene stabilito su di essa un verso positivo che sarà indicato con una freccia.

Se sulla retta si fissa un punto O questo divide la retta in due semirette --> la semiretta positiva parte da O percorrendo la retta nel senso della freccia.

Se fisso sulla retta un secondo punto A il segmento compreso fra O (chiamato origine della semiretta) e A è anch'esso orientato e può essere quindi positivo e negativo.
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Misura del segmento orientato = il numero reale assoluto che esprime il rapporto fra OA e u(unità prefissata)

Si consideri una retta orientata sulla si fissano un'origine O e un secondo punto P --> la misura del segmento OP prende il nome di ascissa del punto P.

L'ascissa è quindi un numero reale positivo, negativo o nullo a seconda che P appartenga alla semiretta positiva, alla negativa oppure coincida con l'origine. Quindi a ogni punto delle retta si associa un numero reale e viceversa, dato un numero reale a esiste sulla retta un punto P .

Assi cordinati = asse delle ascisse (x) e asse delle ordinate (y)
Il punti di intersezione tra i due assi si chiama origine del sistema di riferimento (O). I due assi dividono il piano in 4 parti, i quadranti numerati in senso antiorario.

Se si fissa un punto P nel primo quadrante si tracciano le parallele e si trovano i punti di intersezione con l'asse x e l'asse y trovando quindi le misure dei segmenti orientati OA e OB. I due numeri trovati come punti di intersezione si chiamano coordinate cartesiane ortogonali del punto P --> diventano ascissa di P e ordinata di P.
NB: a ogni punto del piano si associa una coppia di numeri reali.

Dati due punti A e B di coordinate (x1;y1) e (x2;y2) come calcolo la loro distanza e il loro punto medio(punto in mezzo del segmento avente A e B come estremi)?
AB(distanza):

• |y2-y1| --> se x1=x2
• |x2-x1| --> se y1=y2
• √(x2-x1)alla seconda + (y2-y1)alla seconda --> in generale
  
  

M(punto medio):
(x1+x2/2 ; y1+y2/2)

5. Curve nel piano

Qualsiasi equazione in due incognite F(x,y)=0 è detta anche curva. Ogni coppia di numeri che soddisfa tale equazione rappresenta le coordinate di un punto appartenente alla curva.

Un punto P appartiene a una curva solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione della curva.
ES: P(2;3) appartiene alla curva di equazione 4y - 5x - 2 = 0.

La curva di equazione F(x,y)=0 è il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l'equazione stessa.

Una curva è algebrica se F(x,y) è un polinomio:

• F(x,y) = x - 2y +1 = 0 è una curva algebrica del primo ordine
• F(x,y) = x2 + y2 - 2x + y + 1 = 0 è una curva algebrica del secondo ordine
  L'ordine è dato dal grado del polinomio

Se F(x,y) non può essere rappresentato in forma polinomiale, la curva si dirà trascendente.
ES: F(x,y) = y - logx = 0 è una curva trascendente

Il diagramma cartesiano di una equazione lineare è una retta. Infatti se considero l'equazione lineare F(x,y) = 2x - y - 3 = 0, scegliendo alcuni valori per la x si possono determinare dei punti -->
ES: per x=-1 si ha y=-5 ossia il punto (-1;-5)
per x=4 si ha y=5 ossia il punto (4;5)
Ripetendo tali punti sul piano cartesiano e unendoli con una linea continua si ottiene il grafico della funzione ossia una retta.

--> by + c=0 --> y=k (dove k indica una costante)
Il diagramma dell'equazione y=k è una retta orizzontale. Al variare del parametro k si ottengono tutte le possibili rette orizzontali, tra le quali c'è anche l'asse delle x che ha equazione y=0

1.

--> ax + c=0 --> x=h (dove h indica una costante)
Il diagramma dell'equazione x=h è una retta verticale. Al variare del parametro h si ottengono tutte le possibili rette verticali, tra le quali c'è anche l'asse delle y che ha equazione x=0.

2.

--> ax + by=0
è un'equazione sicuramente soddisfatta dalle coordinate dell'origine --> il punto O = (0;0) appartiene alla retta.
Quest'equazione rappresenta un fascio di rette passanti per l'origine.

3.

y = mx + q

equazione canonica della retta

(m --> coefficiente angolare = indice di quanto la retta è inclinata rispetto all'asse x
q --> termine noto)

Però l'equazione generale rappresenta tutte le rette mentre l'equazione canonica tralascia le rette verticali, non rappresenta quindi tutte le rette del piano.

α = angolo orientato in sense antiorario formato dalla retta e dalla semiretta positiva delle ascisse
si ha quindi che:
se l'angolo α è acuto (< 90) --> m > 0
se l'angolo α è ottuso (>90) --> m < 0
se α = 0 --> m = 0

Date due rette, con coefficienti angolari m1 e m2, la condizione di parallelismo è m1 = m2.
La condizione di perpendicolarità è
m1 * m2 = -1