PRODUCTO:f'(x)=u'v+uv'
Está regla se utiliza cuando hay dos funciones que se están multiplicando entre si.
Para derivar se utiliza la regla de la potencia y la regla de la cadena si es necesario.
EJERCICIO:
f(x)= (3x⁴+5x) (-x³+4x²)
Es recomendable derivar por separado cada una de las funciones.
u= 3x⁴+5x. v=-x³+4x²
u'=12x³+5. v'=-3x²+8x
Una vez derivadas las funciones aplicamos la regla del producto.
Reemplazamos los valores en la fórmula:
f'(x)=(12x³+5)(-x³+4x²) + (3x⁴+5x)(-3x²+8x)
Utilizando operaciones algebraicas reducimos la expresión
f'(x)=(-12x⁶+48x⁵-5x³+20x²)+(-9x⁶+24x⁵-15x³+40x²)
f'(x)=x²(-21x⁴+72x³-20x+60)

CADENA: f'(x)=nu^{n-1} u'
Está regla se utiliza cuando toda una función está elevada a un exponente.
Ejercicio:
f(x):(4x²-2)²
1.Se aplica la regla de la potencia, se pasa el exponente a multiplicar por lo que está delante del paréntesis, seguido se le resta (1) al exponente.
f'(x)= 21(4x²-2)²-¹. Lo que está dentro del paréntesis se mantiene
f'(x)= 2(4x²-2)
2.Se aplica la regla de la cadena, se debe abrir un paréntesis y colocamos la derivada de lo que se encuentra dentro del paréntesis (4x²-2) aplicando la regla de la potencia (4x).
f'(x)=2(4x²-2)(4x)
Luego de tener la derivada, se puede aplicar operaciones algebraicas para reducir la expresión.
f'(x)=8x(4x²-2)
f'(x)=32x³-16x

POTENCIA: f'(x)=nx^{n-1}
EJERCICIO:
f(x)=3x³-2x+2
f(x)=9x²-2
•Se deriva termino a termino:
1.El exponente baja a multiplicar por el término que se encuentra delante de la variable "x" (3x3= 9x) se mantiene la "x" y al exponente se le resta (1) ,(3-1=2) por lo tanto la derivada del primer término de la función es: 9x².
2.Segundo termino (2x):La variable x tiene como exponente (1) por lo tanto se multiplica (21) y al exponente se le resta (1) ,(1-1) es igual a 0. Esto quiere decir que cuando tengamos "x" con exponente (1) su derivada será el término numérico. En el caso de este término es el (2).
3.Tercer término(2): Cuando tenemos un número sin la variable x significa que es una constante, la derivada de cualquier constante es igual a 0 por lo tanto ya no es necesario escribirla.

COCIENTE: f'(x)=u'v - uv'/ v²
EJERCICIO:
f(x)=-6x³+8x/4x-9
Derivamos por separado las funciones.
u= -6x³+8x. v=4x-9
u'= -18x²+8 v'=4
Aplicamos la regla del cociente aplicando la fórmula:
f'(x)=(-18x+8)(4x-9) - (-6x³+8x)(4)/ (4x-9)²
Reducimos la expresión utilizando operaciones algebraicas
f'(x)=(-72x²+162x + 32x - 72) - (-24x³ + 32x) / (4x-9)²
f'(x)= 24x³ -72x² + 162c -72 / (4x-9)²

DERIVADA DE UNA FUNCION DIVIDIDA POR UNA CONSTANTE:Es igual a la derivada de la función dividida entre la constante.
f(x)= w/a. f'(x)= w'/a
Ejercicio:
f(x)=7x² - x / 4
Derivar la función
w=7x²-x
w'=14x - 1
Reemplazar en la fórmula:
f'(x)= 14x-1 / 4

DERIVADA DE UN COCIENTE: Es el cociente de:
Numerador; derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador de denominador.
Denominador: denominador al cuadrado .
f(x)= v/w. f'(x)=v'w) - (v w' ) / w²
EJERCICIO:
f(x)=. 9x²+2x / x³ - 5
Derivar las funciones por separado.
v=9x²+2x. w= x³-5
v'=18x + 2 w'=3x²
Aplicar la regla del cociente:
f'(x)=(18x+2)(x³-5) - (9x²+2x) (3x²) / (x³ - 5)
f'(x)=(18x⁴ -90x + 2x³ - 10) - (27x⁴ + 6x³) / (x³-5)²
f'(x)= -9x⁴ - 4x³ - 90x - 10 / (x³-5)²

DERIVADA DE UNA RAIZ DE GRADO "n": Es igual a la derivada del radicando dividida entre el producto del índice de la raíz por la raíz de grado "n" del radicando elevado a "n-1"
f(x)= n√w. f'(x)= w' / n n√w ^{n-1}
EJERCICIO:
f(x)=⁵√(3x²+2x)
Derivar la función que está dentro de la raíz
w= 3x² + 2x
w' = 6x + 2
Reemplazar los valores en la fórmula.
f'(x)= 6x + 2 / 5 ⁵√(3x²+2x)⁴

DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN: Es igual a la cantante para la derivada de la función.
f(x)=a w. f'(x)= aw'
EJERCICIO:
f(x): 6(x⁴-2x³+3)
Derivamos la función:
w=(x⁴-2x³+3)
w'=(4x³ -6x²)
Multiplicamos la contante por la función derivada.
f'(x)=6(4x³-6x2)

DERIVADA DE UNA RAIZ CUADRADA: Es igual a la derivada del radicando dividido entre 2 por la raiz cuadrada del radicando.
f(x)= √w. f'(x)= w' / 2 √w
EJERCICIO:
f(x)= √4x + 3
Derivar la función que está dentro de la raíz
w=4x + 3
w'= 4
Reemplazamos los valores en la fórmula
f'(x)= 4 / 2√4x + 3

DERIVADA DE UN PRODUCTO:Es la derivada del primer factor por el segundo factor sin derivar más el primero sin derivar por la derivada de la segunda.
f(x)= v w. f'(x)=(v' w) + (v w')
EJERCICIO:
f(x)= (2x⁴-3) (7x²+5x+6)
Derivamos por separado las funciones utilizando la regla de la potencia y la regla de la cadena.
v= 2x⁴-3. w=7x²+5x+6
v'=8x³. w'= 14x+5
Aplicamos la regla del producto.
f'(x)=(v' w) + (v * w')
f'(x)= (8x³) (7x² + 5x +6) + ( 2x⁴ - 3)(14x +5)
f'(x)= (56x⁵ + 40x⁴ + 48x³) + ( 28x⁵ +10x⁴ - 42x -15)
f'(x)= (84x⁵+50x⁴ +48x³ - 42x -15

DERIVADA DE UNA CONSTANTE DIVIDIDA POR UNA FUNCIÓN: Es igual a menos la constante por la derivada de la función, dividida entre la función al cuidado.
f(x)= a / w. f'(x)= -a * w' / w²
EJERCICIO:
f(x)= 7 / 2x³ + 5x
Derivar la función
w= 2x³ + 5x
w'= 6x² + 5
Reemplazar los valores en la fórmula
f'(x)= -7(6x² + 5) / (2x³ + 5x)²

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE GRADO "n":
f(x)=ax^{n} + bx^{n}. f'(x)= anx^{n-1} + bnx^{n-1}
a y b son coeficientes.
EJERCICIO: f(x)= 5x⁶-3x⁴+7x³-x²
Derivamos termino a termino:
•Derivada de (5x⁶) es (30x⁵)
•Derivada de (-3x⁴) es (-15x³)
•Derivada de (7x³) es (21x²)
•Derivada de (-x²) es (-2x)
Entonces:
f'(x)= 30x⁵ - 15x³ + 21x² -2x

DERIVADA DE UNA RESTA: Es la resta de las derivadas.
f(x)=v - w. f'(x)=v' - w'

EJERCICIO:
f(x)=8x²-5x-3
Derivamos termino a termino utilizando la regla de la potencia.
•Derivada de (8x²) es (16x)
•Derivada de (-5x) es (-5)
•Derivada de (-3) (una constante) es igual a 0.
Entonces:
f'(x)=16x - 5

DERIVADA DE UNA SUMA: Es igual a la suma de las derivadas de los sumandos.
f(x)=v+w. f'(x)=v' + w'

EJERCICIO:
f(x)= 7x²+6x
Derivar termino a termino utilizando la regla de la potencia.
f'(x)= 27x²-¹ + 16x¹-¹
f'(x)=14x +6

OPTIMIZACIÓN
La optimización busca obtener los mejores elementos de x* a partir de un conjunto X según un criterio f(x).
Este criterio se expresa a través de una función matemática denominada función objeto.
Matemáticamente, se trata de obtener los puntos extremos de una función. En el caso de un problema de minimización, Dada una función f:X€ R^{n} -> R se trata de hallar el vector x€X que minimice dicha función como se indica en (1.1)
min f(x) (1.1)
x€X
sujeto a
g_i (x) >= 0. i=1,...,q. (1.2)
h_j(x) =0. j=q+1,...,m. (1.3)
donde X es el dominio de la función o espacio de búsqueda, Y el codominio o espacio objeto, y f(x) la función para la cual se desea obtener el valor mínimo o función objetivo.
Las restricciones definidas acotan el espacio de soluciones, dividiendo el espacio de búsqueda en dos regiones:
•Soluciones Factibles: Aquellos elementos del espacio de búsqueda que cumplen con todas las ecuaciones de restricción.
•Soluciones No Factibles: Aquellos elementos del dominio de la función que no cumplen con al menos una de las restricciones del problema.
Los métodos de optimización más básicos son aquellos que se utilizan para resolver problemas de optimización no lineales de variables reales en un espacio continúo, sin restricciones. En estos problemas, se asume que f(x) es dos veces continuamente diferenciable.
La mayoría de los métodos para optimizar este tipo de funciones son algoritmos iterativos basados en la expansión de las series de Taylor de f(x), requeriendo el cálculo de derivadas parciales [2]. Muchas de las técnicas de optimización existentes estiman las derivadas parciales utilizando diferencias finitas. De esa forma, si la derivada no se puede resolver analíticamente, o si no se desea calcularla, estimando la misma por diferencias aún es posible resolver problemas.

PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Entre los valores que puede tener una función f(x), puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente puntos máximos y puntos mínimos absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.
Es importante recordar que la pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que su entorno.
En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente,su derivada pasa de positiva a negativa.
En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

RAZON DE CAMBIO
Sea una función y=f(x) , si para un valor de la variable independiente "x" , se da un incremento ∆x y se cancela el correspondiente incremento ∆y de la variable dependiente al dividir ∆y entre ∆x se obtiene la razón de cambio promedio de "y" con respecto a "x".
∆y / ∆x. = Razón de cambio
Cuando se calcula la razón de cambio promedio geométricamente estamos calculando el valor de la pendiente de la recta secante a la curva en dichos puntos de análisis.
Cuando se calcula la razón de cambio instantánea estamos calculando la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x)
Estás operaciones se pueden realizar con las derivadas.
dy/dx. dy/dt->tiempo
La derivada como razón de cambio nos permite calcular esa taza de variación de una variable con relacion a otra en cualquier punto de análisis de un proceso.

REGLA DE L'HOPITAL
Es muy útil para evaluar los límites que aplican las formas indeterminadas 0/0 o bien ∞/∞.

EJERCICIO: limx->2. X³-8 / x²-4.
= 2³-8 / 2² -4 =8-8/4-4 = 0/0 indeterminación
Está regla consiste en derivar toda la función para hallar un valor que no sea indeterminado.
lim x->2 f'(x) ( x³-8) / f'(x) (x²-4)
Derivar
= lim x->2 3x² / 2x
Sustituir x=2 en toda la expresión
= 3(2)² / 2(2)
= 3(4) / 4
=12/4
Simplificamos la fracción
= 3