Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Теория вероятностей - Coggle Diagram
Теория вероятностей
Определения
Опыт (испытание) — совокупность условий, при которых рассматривается появление случайного события
-
-
Как запомнить знаки
Знак \(\cap\) похож на букву П, что означает «Пересечение»
Знак \(\cup\) похож на букву И (и), что можно понять как «Взять И то, И то», то есть «Объединение»
Вероятность события — это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию \(A\) (\(m\)), к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов данного опыта (\(n\)): \(P(A) = \frac{m}{n}.\)
События
Виды событий
Достоверное — то, что обязательно произойдёт в данном опыте
Невозможное — то, что точно не произойдёт в данном опыте
Случайное — то, что может произойти или не произойти в данном опыте
-
-
Зависимые и независимые
Зависимые — те события, на которые влияют результаты событий, произошедших ранее
Независимые — те события, возникновение которых не зависит от какого-либо другого события
Оперции над событиями
\(A \cap B\) или \(AB\) происходит, когда происходят оба события \(A, B\)
\(P(A \cap B) = 0\), если события \(A, B\) несовместные
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\), если события \(A, B\) независимые
-
\(A \cup B\) или \(A+B\) происходит, когда происходит хотя бы одно из событий \(A, B\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\), если \(A, B\) несовместные (см. следующую формулу — в этом случае \(P(A \cap B) = 0\), так как они несовместные)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), если \(A, B\) совместные
\(P(\bar{A}) = 1-P(A),\quad P(\bar{A})+P(A) = 1\)
\(A \mid B\) или \(A / B\) — условная вероятность: вероятность события \(A\), если событие \(B\) уже произошло
\(P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\), также записывается как \(P_B (A)\)
Выводим:
\(P(AB) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A)\) #
Если события \(A, B\) независимые, то \(P(A \mid B) = P(A)\)
Полная вероятность
Теорема Байеса. Если событие \(A\) может произойти с одной из гипотез \(H_1\dots H_n\), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность гипотез после опыта, когда событие уже имело место:
Формула Байеса. \(P(H_i \mid A) = \frac{P(A \mid H_i) \cdot P(H_i)}{P(A)}\) (см. формулу полной вероятности; \(B\) можно заменить на \(H_i\))
#
Формула полной вероятности. \(P(A) = P(A) \cdot P(H_1|A) + P(A) \cdot P(H_2|A) + \dots + P(A) \cdot P(H_n|A) =\) \(\quad\quad = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + \dots + P(H_n) \cdot P(A|H_n),\) где \(H_1 \dots H_n\) — гипотезы, группа попарно несовместных событий, включающих в себя \(A\), сумма которых равна \(\Omega\)
Методы
Метод координатной прямой. Если в задаче даются несколько вероятностей, события которых происходят на разных интервалах времени, или количества чего-либо, то можно использовать метод координатной прямой:
Алгоритм. Чертим координатную прямую. Отмечаем на ней только числа, что даны в задаче. Отмечаем вероятности, выделяя ту часть прямой, которую определяет эта вероятность. Далее находим нужный интервал на прямой и вычисляем его вероятность путем вычитания, сложения и инвертирования вероятностей.